时间：2022-09-17 14:13:59
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关键词 例题 心理品质 思维品质 “引导性”问题
数学例题是数学学习的重要内容，数学知识的掌握、数学能力的提高、数学思想方法的养成、学生综合素质的培养都需要数学例题的教学去实现，“通过例题教学，要达到掌握双基、传授方法、揭示规律、启发思想、培养能力的目的”。[1]因此，数学例题教学是决定数学教学效果的关键之一。
一、数学例题教学存在的问题
1.对数学例题教学功能没有全面的认识
《谈新课标下高一数学差生的原因及培养策略》一文，作者对某地高一年级学生做了调查，分析发现：“70%的学生数学成绩差，不理想，学习困难吃力；20%学生成绩属于中等水平；10%的学生数学成绩较好。”[2]我们不妨把这70%的数学成绩差的学生称为“学差生”，“学差生”的比例很高，这不禁让人深思，新课标下的数学教育存在哪些问题？数学“学差生”的产生，有智力的与非智力的因素。通过对有关研究数学“学差生”文献资料的分析，我们可以发现，为解决学生数学学习困难，老师们想了很多方法和措施，这些方法和措施的实施，共同的作用就是加大了学生的学习强度。比如有研究者认为：“数学课教师要在新课程理念指导下科学设置例题，精讲多练，逐步培养学生的知识迁移能力”。[3]而从改进例题教学的角度去解决数学“学差生”问题的研究不多。
实际上，数学例题教学的过程，既是“掌握双基、传授方法、揭示规律、启发思想、培养能力”的过程，又是学生“思维品质、心理品质”的培养过程。解决数学问题的过程中，不仅需要良好的“思维能力”，也需要“不怕困难、勇于探索”的精神，需要“沉着冷静、细致周密”的处事风格等“心理品质”。也就是说，例题教学除了具有“掌握双基、传授方法、揭示规律、启发思想、培养能力”的功能之外，还应该具有培养学生“心理品质”的功能。这可以说是过去我们对数学教育研究的一个空白，需要教师去探索、去发掘。
2.数学例题教学方法认识偏差
在实际教学工作中，对于数学例题的教学，很多教师教学目的单纯，就是以解决例题所涉及的问题为目的。因而也就不会花时间和精力去分析例题、研究例题对于学生的其他教育功能。“不少教师照本宣科，其枯燥乏味让学生大倒胃口，失去学习的兴趣和热情。”[4]我们常常看到，在例题教学中，有很多老师要求学生记住一类问题的解法，数学题目解法类型化。大多数学生则只是模仿老师的解题思路与方法，例题教学对于他们来说就是一种“模仿”学习，提高学习效果、实现学习目的的方法就是做大量的练习，学习方法简单地成为了“题海战术”，因而造成“一听就懂，一做就错”[5]的学习怪圈。学生的学习，都要依赖于多讲、多练、多辅导，节假日、双休日要补课就不足为奇了。
波利亚认为，中学数学教育的根本目的是让学生学会思考，数学例题教学也是这样。实际上，问题是千变万化的，只有培养学生有良好的心理品质，有较强的思维能力，才能使学生具备灵活解决问题的能力。“人的正确思想是从哪里来的？是从天上掉下来的吗？不是。是自己头脑里固有的吗？不是。人的正确思想，只能从社会实践中来，只能从生产斗争、阶级斗争和科学实验这三项实践中来”。任何数学例题的解决都有其知识经验的、思想方法的根源。因此，在数学例题教学方法上，不是老师教学生解题，应该是老师组织、指导学生分析问题，师生一道探究问题的解决策略，寻找例题的解决方法。
3.数学例题教学要求认识偏差
“懂了吗？”我们常常听到老师上课时会向学生发出这样的提问，尤其低年级更是如此。对于数学例题的教学，很多老师和学生也是把“听懂了”作为例题教学任务是否完成、教学目的是否实现的标志。“对例题学习的重要性，学生必须明确一点，学习数学没有‘差不多’已经懂了的概念，而只有懂与不懂两个层次。”[5]尤其是“学差生”，他们往往把“听懂了”作为学习数学的最高境界，“听懂了”他就满足了。什么叫“听懂了？”“懂”即“了解”、“明白”之意。对于数学学习来说，“懂了”不是数学例题教学的终极目的，“懂了”不应该是我们最终要达到的数学例题教学效果。从思维水平上分析，“了解”、“明白”只是学生对教师例题解法的认同与接受。而不是在教学互动中掌握了解题的思想方法，形成了自己的分析问题的思维结构。对于例题教学的目的要求，应该达到的教学效果，目前没有确定的标准，但数学家波利亚的“怎样解题”表为我们指明了方向。根据波利亚的“怎样解题”表，学生的数学例题学习就不止于“懂与不懂”两个层次了。
二、数学例题教学中心理品质的养成
许多学生数学学习失败的主要原因在于其心理品质，许多学生数学学习良好也可归功于其良好的心理品质。学生的心理品质对能否有效解题影响很大。“数学差生的行为受到来自自我（self）的影响。他们对自我的认识是消极的、偏执的、顽固的，对未来的自我是不怀希望的”[6]。
以“意志”为例，很多数学“学差生”不是因为智力低下，而是意志品质薄弱，自制力差，缺乏毅力和恒心，缺乏战胜困难的勇气和锲而不舍的精神，不能长期坚持勤奋刻苦的学习状态，一遇到困难就裹足不前、垂头丧气，甚至自暴自弃。由于各种因素，我国当代青少年特别是独生子女，意志品质薄弱者占有很大的比例。爱因斯坦告诫人们：“优秀的性格和钢铁般的意志，比智慧和博学更为重要”。“对于青少年积极心理品质发展而言，……如果我们能在学校心理健康课堂或学科教育课堂以及其他活动中对于适合其年龄阶段的积极心理品质进行全方位培养，学生积极心理品质的发展就能获得最有效的促进。”[7]
对于不同的学生，他的心理品质在他的解题过程中都能体现出来。有的沉着冷静、有的浮燥冒进、有的粗心大意、有的细致周密、有的自信勇敢、有的消沉懦弱等。因此，在例题教学中，教师可以通过学生的解题尝试，发现其心理品质方面存在的问题，要向学生指正，说明这些心理品质欠缺对其学习、成长的危害，并给予正确的导向。从而帮助学生改善其不良心理品质，发展、培养良好的心理品质。应该让学生认识到，数学学习不仅是获得数学知识、发展数学能力的过程，而且是检验人的心理品质，促进心理发展的过程，作为学生，要在数学学习中，有意识、有目的地健全自己的心理品质。
三、数学例题教学中思维品质的养成
关于数学思维的积极性活动，人们共同的看法是它决定于思维品质。“数学思维品质”[9]实质就是人的数学思维的个性特征，它体现了每个个体思维水平、智力与能力的差异，是衡量数学思维优劣、判断数学能力高低的主要指标。它包括思维的目的性、思维的深刻性、思维的灵活性、思维的批判性、思维的独创性、思维的条理性、思维的严谨性和思维的广阔性等。学生思维能力的高低主要就体现在思维品质的差异上。
多年来，国内外许多先进的教学方法与经验表明，培养学生的数学思维品质是发展其数学能力的突破点和有效的途径。所以，在数学能力的培养上，往往要抓住数学思维品质这个突破口，而数学例题教学则是学生数学思维品质养成的主要平台。在例题教学时，重视对分析问题、解决问题过程中的思维品质的培养，让学生在体验思维品质的过程中养成良好的思维品质，既是当前数学教学的短板，更是提高数学教学效果的突破口。
四、数学例题教学分析举例
一般情况下，这个例题的教学就结束了。但如果是这样，作业布置下去，就会发现，会有绝大多数学生采用第一种解法。而这个例题是在学习“三角函数的基本关系”时为巩固新知识、运用新知识的一道例题。学生为什么会选择解法一，原因很简单，就是解法一相对容易，解法二相对较难。因此，教师接下来还应该与学生一起比较两种解法，既肯定他们没有忘记旧知识，得出解法一，又强调学习上为获得新知识、培养新能力，要不怕困难，要有迎难而上的进取精神。一开始老师的三个提问，用到的都是第一人称“我们”，老师把自己与学生摆在同样的角色位置，学生和老师都是探索的主体，这样有助于学生主动性的发挥。三个问题都是引导性问题，引导学生思考的方向、目标，引导学生怎样思考与分析研究，问题（1）是常见的，多数学生也能这样思考；问题（2）的提出，启发了学生的思维，使其思维指向广阔的知识经验；问题（3）则使学生思维有明确的目的。三个问题联结起来，形成解决问题的系统思路，对于培养学生思维的条理性和系统性，是必不可少的。
例2 求函数y=的最大值和最小值。
如果没有相关的经验，或没有得到思维品质的培养，学生一开始看到此题，真的一头雾水，不知所措。因此，教师应该指导学生观察分析：首先这是求函数最值的问题，不同类型函数的最值问题有不同的解决方法，师生共同回顾有关函数的最值问题，这就使得学生的思维得到广阔的展开。其次，可以从本题函数的内容、结构、变形上设计“引导性”问题，引导学生进行分析：从内容上，有正弦、余弦，要讨论函数的性质，应该考虑弦化切；从函数式的结构形式上，可以类比两点连线的斜率公式；从函数变形上，可以考虑对函数式作适当变形，从而转化成asinx+bcosx的形式，这就是大家熟悉的了。老师在教学过程中，设计的“引导性”问题，要点到为止，启而不发，引导学生从不同角度去观察、分析问题，培养学生思维的灵活性等思维品质。
参考文献
[1] 涂荣豹，王光明，宁连华.新编数学教学论[M].上海：华东师范大学出版社，2006.
[2] 王付光.谈新课标下高一数学差生的原因及培养策略[J].才智，2011（1）.
[3] 周博.简析创设数学典型例题的策略和意义[J].中小学教学研究，2011（9）.
[4] 卢忠扬.对高中数学例题教学的思考[J].语数外学习：高中数学教学，2014（9）.
[5] 屠丰庆.例题教学有效性的现状，分析和思考[J].复印报刊资料：中学数学教与学，2009（11）.
[6] 彭熹.基于社会心理学的数学差生问题研究[D].长沙：湖南师范大学，2007.
关键词：
例题是数学教学过程中不可缺少的内容，是向学生展示应用基础知识解决问题的窗口，是向学生渗透数学思想方法，传播解题技巧、技能的途径。学生对例题的理解掌握程度的优劣，直接影响教学效果和学生的解题能力 。因此，研究和改进数学例题的教学，是今天数学教改的重要课题。
那么如何设计例题教学，使它们真正发挥例题应有的教学价值昵？ 现结合我在教学实践过程中总结的一些点点滴滴，谈一点看法。
一、精选例题，示范讲解，充分发挥例题的作用
1．以书为本挖掘潜力
对于课本上的例题、习题要认真研究、挖掘和改造，从“简单”中求方法，从“老题""中求新意，才能给学生很多启发。特别是选题和处理题时，要注意研究和选择恰当的启发点，抓住问题的关键、言简意赅、一语中的、力求启而得发。
第一，要一题多解，用多种知识和方法处理同一题。使例题涉及的知识和方法延伸到数学的各个分支，力求沟通它们之间的联系。
第二，改变例题的条件和结论，一步步地向纵深递进，从而得到更深更多的方法和结论。
教材中的例题、习题甚至一个问题情境往往是中考高考试题的“母题”。
如：(2007年资阳)21．(本小题满分8分)
(1)探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
(2)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出al，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数(不必说明理由)．
这道题就是以华师版八年级上一道复习题，说明两个连续奇数的平方差是8的倍数，为母本加以编制而成。
2．以学生身边生活与实际选材
初中数学新课标明确要求学生能“初步运用数学思想理解和处理现实生活中的简单问题”，而且将“发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断""作为数学课程的一个重要目标。我们要注重联系学生身边生活与实际，有效地培养学生运用所学的知识解决实际生活、生产中的问题的能力，让学生感到所学的知识并非莫不可测，在现实生活中处处有它的身影。
3．适度选择题型新颖的综合题
引入一批题型新颖的综合题是必要的，其目的是注重培养学生对知识的迁移能力，为学生后继学习打下坚实的基础，特别是与高中知识密切衔接的有关题型，如不等式、对数、数列等有关命题深受中考命题者的青睐。
二．数学例题教学要注重以学生为主体，注重例题教学的开放性
课程标准明确指出：数学教学要重视教学开放性，应采取“开放性”的教学策略，为学生提供更多的机会和时间，让学生提问和质疑、尝试和探究、讨论和交流、归纳和总结等，促使学生的思维空间充分开放。近年来，初中毕业生统一学业考试中，开放性问题也很多，于是，开放题就成了中学数学教师普遍关注的一个问题。要适应教育改革的需要，我们的课堂例题教学就要进行开放式的教学，真正做到“题目开放，思维开放，过程开放”。
例如：“三角形中位线”教学，首先让学生独立自学课本，接着让学生思考下面的问题，①什么是三角形的中位线?②怎样画出三角形的中位线?③三角形的中位线与中线有什么区别?④请学生动手测量有关角的大小和中位线及第三边的长度，三角形的中位线与第三边有什么关系?⑤试用简洁的文字归纳你的猜想。最后要求学生证明自己的猜想，并能应用到简单的和证明中。然后再设计以下几个例题，加以拓展。
例l：已知如图E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，
求证；四边形EFGH是平行四边形。
变式、(1)顺次连结矩形各边中点，形成的四边形是 。
(2)顺次连结菱形各边中点，形成的四边形是
。
(3)顺次连结正方形各边中点，形成的四边形是 。
(4)顺次连结等腰梯形各边中点，形成的四边形是 。
教师通过引导学生置身于问题情境中，揭示知识背景，从数学家的废纸篓里寻找探究痕迹，让学生体验数学家们对一个新问题是如何去研究创造的，对数学规律作出充分观察、思考、猜想、交流，使规律的出现适合学生自己的数学需求。
三．数学例题教学注重知识的整合
课本例题的安排，主要是强化和应用当前所学知识，知识点方面有时显得单调。为了训练和培养学生运用知识解决综合问题的能力，对课本例题的课堂中进行拓展变式训练是十分必要和有效的，在拓展变式训练中，学生可以放开手脚自己去想象、琢磨，从而有机会从多角度，多侧面，多层次，多结论等方面去认识知识，从而实现了知识的整合。同时，学生的创造性思维也会得到发展，思维活动的质量也会得到提高，实现了学生思维的拓展与延伸。
通过拓展训练、实现知识的整合，可使学生学会掌握事物的本质特征的方法，使他们懂得怎样从事物的千变万化的复杂现象中去抓住本质，达到举一反三，触类旁通，从而培养思维的深刻性和灵活性。
关键词数学 例题 教学
例题教学是初中数学课堂教学的重要环节。不但为学生提供解决数学问题的范例，揭示数学方法，规范思考过程，而且为其数学方法体系的构建提供了基石。那么，如何进行初中数学的例题教学呢？
一、初中数学例题的作用和地位
例题在教材中所占的地位是由它的功能与作用所决定的.数学教材是由数学知识、例题、习题三个有机部分所组成，例题在教材中具有替代的结构性和作用。
例题的作用，主要体现在以下两个方面：
1、从结构上看，例题是把知识、技能、思想和方法联系起来的一条纽带。
知识的价值，技能的操作、思想与方法的作用都是通过例题来体现的。例题的讲解与示范是教学中传授知识，培养技能必不可少的一个环节。学习知识的最终目的是要转化为能力，例题作为学以致用的重要环节，在教学过程中担负着把知识转化为能力的重要使命，这是它的首要作用。
2、从功能上看，教学例题具有知识功能、教育功能、发展功能与示范功能。
在教学过程中，主要是通过例题和习题，使学生获得系统的数学知识，形成必要的数学技能技巧。例题的思路分析、解题方法与书写格式帮学生掌握分析的方法，了解书写格式与规范，熟悉适用的解题方法，使学生在思想上和行为上都受到数学熏陶，对学生的思维及解题行为起着潜移默化的作用，启迪学生掌握解各类数学问题的钥匙，通过数学例题，还可以向学生进行辩证唯物主义世界观的教育。
二、初中数学例题教学的策略
1、恰当选题，帮助学生减负增效
例题选择恰当与否，直接关系着学生对知识的理解和掌握，切不可盲目选择例题进行“满堂灌”。例题的选择不能过多、过杂、过难，必须要有一定的基础性和代表性，遵循从易到难。恰当选择例题，不能一味追求解题的难度和技巧，要选择典型的，能体现现阶段教学目标，能蕴含数学基本思想和方法的例题，必要时可以根据学生的实际情况更换课本例题或补充课外例题。另外，例题的精选能在很大程度上避免“题海战”，使学生减负增效，提高教学的有效性。一般说，填空题重概念辨析，选择题重方法，解答题重思维，证明题重演绎，综合题重逻辑。教师应根据不同的教学目的而选择不同的题型，使学生从不同的途径和角度去加深理解并巩固知识。
2、例题教学需懂得逐层递进。
初中数学例题教学，首先是要让学生能够听懂教师教学所讲的内容，只有当学生听懂之后，学生才能够接受知识进行消化，也就是所谓的逐层递进。想要做到这一点，教师需要从两个方面入手：其一，将例题吃透，也就是抓住例题本质，懂得将前后知识点相互的结合在一起，对于难易程度也能够了熟于心；其二，将学生吃透，掌握学生知识水平与理解能力，能够针对学生不同的年龄段而给予不同的解题技巧教学。如果部分例题难度较大，学生很难接受，就需要教师进行铺路搭桥，将难度降低到适合学生的高度，也就是要让学生懂得这一题就像树上的桃子，伸伸手不一定能够碰得到，但是如果自己跳一下，就能够将桃子摘下来。
3、讲解到位，全面呈现发现过程
数学教学不仅仅要让学生看到数学结果，最重要的是让学生看到数学结果是如何获得的。学习解题最好的途径是学生自己发现，倘若教师没有全面呈现解法的发现过程，学生通常只知其然，而不知其所以然，解题时只能机械地模仿。“授之以鱼不如授之以渔”，例题讲解要重视思维过程的指导，要全面呈现发现过程，暴露如何想，揭示怎样做。例如解题的关键条件是什么？解法是如何想到的？思路是怎样打通的？如果出现解题困难，是否需要重新审视条件和结论，该引发什么新的思考，思维上的差距何在，等等。某些特殊情况下，教师还应“稚化”自己的思维，有意识地退回到与学生相仿的思维态势，或者假装遭受挫折，一筹莫展，让学生独立分析原因再继续探索等等。
4、拓展例题的知识范围，触类旁通，举一反三
有的例题仅仅针对一个知识点，解决一个问题，但在实际教学时有时可能会根据实际情况，需要“借题发挥”，对例题的知识范围进行拓展。例如在学习方程、不等式和函数知识，如何理解三者之间的关系，可以结合具体的例题，配合图像让学生理解函数的对应的本质，函数是整个过程中的对应，不等式是某个范围内的对应，而方程式是某个瞬间的对应，加深学生对三者之间的关系的理解。
5、错题辨析、改正
在教学中我们发现讲解题目的正确解法有时达不到教学目的，因为学生不知道自己为什么错，错在哪里，无法对症下药。错误是正确的先导，正如哲学家波普尔所说：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素”。课堂例题教学时，根据学生学习过程中会感到疑难或者易发生认知偏差的问题，设置错题辨析、改正，让学生发现错解及产生错解的原因，从错题中体会到知识的关键点和易错点，辨析出知识的异同，加深对知识的理解，让学生经历“数学化”和“再创造”的过程，找到正确的解法和结论，有效地知错、改错、防错
一、在解题的方法规律处反思
“例题千万道，解后抛九霄”难以达到提高解题能力、发展思维的目的。善于作解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩，再进一步作一题多变，一题多问，一题多解，挖掘例题的深度和广度，扩大例题的辐射面，无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益的。
例如：（原例题)函数在闭区间上的最小值记为．试写出的函数表达式．
变式1 （1）求函数在的最大值和最小值．
（2）求函数在的最大值和最小值．
（3）求函数在的最大值和最小值．
变式2 已知函数在时有最大值2，求的值．
变式3 已知为实数，函数．求的最小值．
通过例题的层层变式，学生对二次函数的最值问题的四种类型的认识又深了一步，有利于培养学生数形结合思想，培养学生从具体到抽象地分析问题、解决问题的能力.
又如 求经过两圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程．
此题可先求两圆的交点再求解，也可设圆系方程求解。
从而使学生通过比较方法的优越性而有选择性的选择解题方法．通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生打破思维定势；有利于培养思维的变通性和灵活性。
二，在学生易错处反思
学生的知识背景、思维方式、情感体验往往和成人不同，而其表达方式可能又不准确，这就难免有“错”。例题教学若能从此切入，进行解后反思，则往往能找到“病根”，进而对症下药，常能收到事半功倍的效果!
例如 (1)求函数的最值.
(2)求函数的值域.
解此两题学生基本上直接套用均值不等式.出现这些错误的原因有哪些? 怎样克服这些错误呢? 同学们各抒己见，针对“病因”开出了有效的“方子”。实践证明，这样的例题教学是成功的，学生在计算的准确率、计算的速度两个方面都有极大的提高。
三、在情感体验处反思
一、要突出本质属性――“概念型”例题
在数学教学过程中，让学生理解基础的数学概念是培养学生具备独立思考问题能力并进行推理证明能力的基础依据。教学中多是通过列举出典型例题然后进行科学分析从而总结出抽象的概念，通过典型例子把握具体内容，理解数学概念。
例如，初一学生初次接触正负数的概念，教学时我们可先向学生提供一些相反意义的例题（如“气温的零上、零下”，“仓库的进出”，“存款、贷款”，“向东、向西”等），然后抓住这些实例的本质特征真正引出正负数的概念，这样学生就从一个感性认识自然地过渡到理性认识，使他们既容易接受又容易理解了。因此，对于建立概念的例题，我们必须抓住例子的实质特征，突出概念的本质，讲清概念的形式。
二、紧扣定理、法则――“基础型”例题
在基础知识的教学中，我们教师在讲清基础知识的同时，必须设计若干巩固基础知识的例题（如判断题、填空题、口答题），对例题分析引导时，要紧扣定义、定理、法则、公式，并善于指出学生容易犯错误的地方，再通过一定量的练习、作业，使学生最终自行掌握基础知识。
例如，在乘方的教学过程中选择例题：请分别指出（-2）2，-22的意义并计算；在幂的运算的教学过程中选择如下例题：请辨析下列各式：①a2+a2=a4；②a4÷a2=a4÷2=a2；③-a3・（-a）2=（-a）3+2=-a5；④（-a）0÷a3=0；⑤（a-2）3・a=a-2+3+1=a2。这样的例题教学巩固所学的基础知识，教师通过引导学生学习示范例题，掌握数学定义、定理、法则以及公式，学生在计算的准确率、计算的速度两个方面都可以有所提高。
三、“规律型”例题，要注意归纳综合
为了使学生在解题时有较敏锐的观察能力和较丰富的联想能力，举一反三，触类旁通，提高解题能力，规律型例题是培养学生能力的一座桥梁。我们在规律型例题教学中，必须善于采用比较、分析、归纳、综合的方法，揭示其解题规律，这就等于交给了学生解决问题的钥匙，从而使学生能够自己去解决新问题。
例如：（原例题）已知等腰三角形的腰长是4，底长为6，求周长。（我们可以将此例题进行一题多变）
变式1 已知等腰三角形一腰长为4，周长为14，求底边长。（这是考查逆向思维能力）
变式2 已知等腰三角形一边长为4；另一边长为6，求周长。（前两题相比，需要改变思维策略，进行分类讨论）
变式3 已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，求周长。（显然“3只能为底”否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾，这有利于培养学生思维的严密性）
变式4 已知等腰三角形的腰长为x，求底边长y的取值范围。
变式5 已知等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是14。请先写出二者的函数关系式，再在平面直角坐标内画出二者的图象。（与前面相比，要求又提高了，特别是对条件0
四、“综合型”例题，要寻求知识联系
综合型题是培养学生运用综合知识灵活解题的能力，也是考试中最为常见的类型，因而，综合型例题教学环节十分必要。但由于综合题知识往往覆盖面广，联系较复杂，因此，教师需要选好题型并在分析例题的过程中将综合题分解成几个小部分，与学生详细分析涉及的基本知识。
例如：某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师。现有甲、乙两种大客车，它们的载客量是45人每辆和30人每辆，租金是400元每辆和280元每辆。
（1）共需租多少辆汽车？
（2）给出最节省费用的租车方案。
本题是经济类讨论问题，可让学生相互讨论，经过讨论发现本题是利用方程、函数、不等式知识互相渗透来解决这个问题。
当然，上述情况与学生的知识水平、理解能力等都有一定的关系。其中，例题教学这一块值得反思，例题教学是数学教学的重头戏，一方面数学例题占了题目数量的大多数，另一方面讲解数学例题占用了课堂时间的绝大多数。数学例题教学是知识由产生到应用的关键一步，把例题教好是把数学教好的重要环节。如果学生在学习的时候只是停留在会解题，而不思考的状态，出现知识脱节的情况也就不奇怪了。
一、通过例题的变式进行反思
很多老师为了中考使用“题海”战术，虽然做的题目很多，但却难以达到提高解题能力和发展思维的目的。就像磨坊中拉磨的毛驴，虽然每天辛勤劳作，却总在原地打转。教师应该充分挖掘例题资源，从广度和深度进行拓展，采用一题多变的形式，提高学生解题的能力和促进学生思考的发展。例题的变式有利于学生从特殊到一般，有条理地分析问题、解决问题。通过例题变式的教学帮助学生形成数学解题思维模式，根据具体题目打破固定思维模式有利于学生培养数学思维的一般性和灵活性。
二、抓住学生易错知识进行反思
初中学生正处青春期，思维方式还不成熟。知识积累、思维方式、情感体验往往和作为教师的成年人不同，因此，他们的表达方式可能与教师所理解的有所差异。数学课堂中的例题教学若能从此切入，进行解后反思，往往能找到学生出错的“病根”，然后对症下药，达到药到病除的效果。
在初中数学教学中，对于课堂出现的问题，教师应尽量现场解决，帮助学生在出现错误时就能及时认识并纠正错误，这对于学生今后杜绝此类错误是极其有利的。同时在课堂教学结束后，教师应根据学生的实际情况，积极进行课后小结，特别是要总结学生的典型错误，对于学生的课堂表现进行点评，反复进行教学思考，并且在今后的教学中注重引导学生进行复习与再次总结，以保证学生在不断的自我总结中形成较强的数学解题思路与能力。
三、在情感培养之处反思
数学例题的解题过程并非只是一个纯粹数学知识的运用、数学技能训练的过程，而是一个伴随着学生整个内心情感世界参与的综合过程。在此处引导学生进行解后反思，有利于激励学生学习的兴趣，点燃学生学习的热情，变“要我学”为“我要学”；还有利于锤炼学生持之以恒的学习毅力和面对困难时顽强的意志品格。在此过程中，学生自主探究与团队合作的能力都有提高。
例题：A，B两家公司都准备面向社会招聘人才，两家公司条件基本相同，只有工资待遇有如下的差异：A公司年薪10000元，一年后每年加工龄工资400元；B公司半年薪5000元，半年后每半年加工龄工资100元，求A、B两家公司第n年的年薪分别是多少？从经济角度考虑，选择哪家公司更有利？然后围绕问题设计以下几个问题让学生思考并分组讨论。
1.要计算两公司第n年的工资，首先要从哪儿开始？
2.两公司的工资又应如何分别计算？相等关系是什么？
此举通过设计有梯度的问题，层层深入，使学生始终处于主动状态。问题提出后，学生经过思考，展开讨论，A公司的工资大部分学生都能得到正确答案，而对于B公司的工资有的学生认为“整年计算较简单”，有的则认为“分为前半年和后半年分别计算不容易出错”等等。根据不同学生所得出的不同答案，教师直接给予肯定或学生发表个人意见，这样师生之间、学生之间都融于交流互动的氛围中。而后，教师利用表格让学生填写并对式子进行讲解，其他同学对他们的讲解进行讨论，此时同学们参与教学的情绪较为高涨。而对另一个问题让学生自己考虑如何选择，锻炼他们将数学问题与实际相结合的能力。
孔子云：学而不思则罔。“罔”即迷惑而没有所得，把其意思引申一下，我们也就不难理解例题教学为什么要进行解后反思了。事实上，解后反思是一个知识小结、方法提炼的过程；是一个吸取教训、逐步提高的过程；是一个收获希望的过程。从这个角度上讲，例题教学的解后反思应该成为例题教学的一个重要内容。本文拟从以下三个方面作些探究。
1在解题的方法规律处反思
“例题千万道，解后抛九霄”难以达到提高解题能力、发展思维的目的。善于作解题后的反思、方法的归类、规律的小结和技巧的揣摩，再进一步作一题多变，一题多问，一题多解，挖掘例题的深度和广度，扩大例题的辐射面，无疑对能力的提高和思维的发展是大有裨益的。
例如：（原例题）已知等腰三角形的腰长是4，底长为6；求周长。我们可以将此例题进行一题多变。
变式1 已知等腰三角形一腰长为4，周长为14，求底边长。（这是考查逆向思维能力）
变式2 已等腰三角形一边长为4；另一边长为6，求周长。（前两题相比，需要改变思维策略，进行分类讨论） 变式3已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，求周长。（显然“3只能为底”否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾，这有利于培养学生思维严密性）
变式4 已知等腰三角形的腰长为x，求底边长y的取值范围。
变式5 已知等腰三角形的腰长为X，底边长为y，周长是14。请先写出二者的函数关系式，再在平面直角坐标内画出二者的图象。（与前面相比，要求又提高了，特别是对条件0y2x的理解运用，是完成此问的关键）
通过例题的层层变式，学生对三边关系定理的认识又深了一步，有利于培养学生从特殊到一般，从具体到抽象地分析问题、解决问题；通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成思维定势，而又打破思维定势；有利于培养思维的变通性和灵活性。
2在学生易错处反思
学生的知识背景、思维方式、情感体验往往和成人不同，而其表达方式可能又不准确，这就难免有“错”。例题教学若能从此切入，进行解后反思，则往往能找到“病根”，进而对症下药，常能收到事半功倍的效果！
有这样一个曾刊载于《中小学数学》初中（教师）版2004年第5期的案例：一位初一的老师在讲完负负得正的规则后，出了这样一道题：―3×（―4）= ？，A学生的答案是“9”，老师一看：错了！于是马上请B同学回答，这位同学的答案是“12”，老师便请他讲一讲算法：……，下课后听课的老师对给出错误的答案的学生进行访谈，那位学生说：站在―3这个点上，因为乘以―4，所以要沿着数轴向相反方向移动四次，每次移三格，故答案为9。他的答案的确错了，怎么错的？为什么会有这样的想法？又怎样纠正呢？如果我们的例题教学能抓住这一契机，并就此展开讨论、反思，无疑比讲十道、百道乃至更多的例题来巩固法则要好得多，而这一点恰恰容易被我们所忽视。
3在情感体验处反思
