时间：2022-03-21 21:46:11
序论：在您撰写数学模型时，参考他人的优秀作品可以开阔视野，小编为您整理的7篇范文，希望这些建议能够激发您的创作热情，引导您走向新的创作高度。
【关键词】金融数学 模型
一、金融数学概念
金融理论的核心问题,就是研究在不确定的环境下，经济人在空间和时间上分配或配置金融资产的活动。这种金融行为涉及到金融资产的时间因素、不确定性因素即金融资产的价值和风险问题。处理这种复杂性常常需要引入复杂的数学工具。金融数学是指运用数学理论和方法,研究金融运行规律的一门学科。其核心问题是在不确定多期条件下的证券组合选择和资产定价理论。套利、最优和均衡是其中三个主要概念。证券组合理论、资本资产定价模型、套利定价理论、期权定价理论和资产结构理论在现代金融数学理论中占据重要地位。
二、金融数学中的模型
1有效市场理论
市场的有效性这一概念起源于本世纪法国人Bachelier的研究。他首次运用布朗运动模型来导出期权公式是在1900年,市场有效性的起源也正是在那个时候。然而市场有效性与信息相联系,是近几十年来的工作。Fama指出价格完全反映了可以使用的信息时,这个市场才能被称为是有效的，但是市场是有套还是无套利,是高效还是低效,不是非此即彼的问题,而是程度问题。
有效市场假设一直是激烈争论的问题，学者们进行了无数次理论研究和实证考察,对有效的市场理论的逻辑基础提出疑义：一方面市场的有效性是投机和套利的产物,而投机和套利都是有成本的活动；另一方面,因为市场是有效的,所以投机和套利是得不到回报的,这些活动就会停止，但是一旦停止了投机和套利的活动,市场又怎么能继续有效呢？无疑,投机和套利活动使得价格更为有效。正是这一矛盾统一体的不断变化,才使市场呈现出统计上的周期性变化。
2证券组合理论
金融学从定性分析到定量分析始于马科维茨的证券组合选择理论。马科维茨首先将概率理论与数学规划成功地结合在了一起，把组合投资中的股票价格作为随机变量，用其均值表示受益，方差表示风险。当收益不变、使风险最小的投资组合问题可归结为二次规划的最优解。通过数量分析得出的这种结论,迎合了投资者规避风险的需要。随着量化研究的不断深入,组合理论及其实际运用方法越来越完善,成为现资学中的交流工具。但马科维茨组合理论中的许多假设条件无法满足,使其在现实中失效。为了克服这一困难,后来发展了基于神经网络的证券优化算法。
3资本资产定价模型（CAPM）
资本资产定价模型主要描述了当市场处于均衡状态下，如何决定资产的相关风险以及收益和风险的相互关系。在均衡的市场中，理性的投资者都会持有市场证券组合的比例。市场证券组合是包含对所有证券投资的证券组合，其中每一种证券的投资比例等于它的相对市场价值，一种证券的相对市场价值等于这种证券总的市场价值除以所有证券总和的市场价值。该模型首先给出了风险资产收益率与市场风险之间的线性关系。同时也给出了单个证券的收益与市场资产组合收益之间的数量关系。资本资产定价模型的理论精华是一种证券的预期收益,可以用这种资产风险测度β来测量，既建立了期望收益率与β之间的线性关系。这一关系给出了很好的的两个命题。第一,为潜在的投资提供了一种估计其收益率的方法。第二,也为我们不在市场上交易的资产同样作出合理的定价。比如估计一级市场股票发行价。
4 APT模型
资本资产定价模型刻画了在资本市场达到均衡时资本收益的决定机制，他基于众多的假设，而且其中一些假设并不符合现实，在检验CAPM时，一些经验结果与其不符，为此在1970年罗斯提出了一种新的资本资产均衡模型即套利定价模型。该模型认为风险是由多个因素产生的，不仅仅是一个市场因素，尤其是他对风险态度的假设比CAPM更为宽松，也更为接近现实。APT的核心是假设不存在套利机会，证券的预期收益与风险因素存在近似的线性关系。APT理论的贡献主要在于其对均衡状态的描述。但由于APT理论只是阐明了资产定价的结构，而没有说明是哪些具体的经济的或其它的因素影响预期收益，所以这一理论的检验和实际应用都受到了一定的限制。
5期权定价模型
布莱克和斯科尔斯的期权定价模型的推导建立在没有交易成本、税收限制等6个假设基础上。该模型表明:期权的价格是期权商品市场价格、商品市场价格的波动、期权执行价格距到期日时间的长短以及安全利息率的函数。自从布莱克和斯科尔斯的以后,由默顿、考克斯、鲁宾斯坦等一些学者相继对这一理论进行了重要的推广并得到广泛的应用。期权定价模型可用来制定各种金融衍生产品的价格,是各种衍生产品估价的有效工具。期权定价模型为西方国家金融创新提供了有利的指导,是现代金融理论的主要内容之一。
6资产结构理论
在现代金融理论中,公司的资产结构理论(也称为MM定理)与有效市场理论和资产组合理论几乎是在同一时期发展起来的具有同等重要地位的成果。MM定理的条件是非常苛刻的，正是因为这些假设抽象掉了大量的现实东西，从而揭示了企业金融决策中最本质的东西即企业经营者和投资者行为及其相互作用。该定理公开发表以后,一些经济学家又对这一定理采用不同的方法从不同的角度作了进一步证明。其中最著名的有Hamda用资本定价模型进行了再证明,还有Stiglize用一般均衡理论作了再证明,结论都与MM定理是相一致的。
三、结语
数学模型已经大量的应用在金融学中，极大的促进了金融理论的发展。金融数学模型都是在很多假设的条件下才能成立，这些假设有些与客观现实有一定差距甚至抵触,因而解决这类问题就不理想，范围也十分狭窄,需要在数学上改进和发展。世界各国金融背景和管理模式各异，需要大量建立符合自己国情的金融模型和分析方法。
参考文献：
关键词：数学建模；解模；释模；数学模型
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2016）06-0054-04
2015年，上海市教委教研室颁布的新版《上海市中等职业学校数学课程标准》中，把数学建模、解模、释模的能力提到了一个新的高度。如在第6页的“能力架构”一节中提到：中职数学课程应更多体现数学的工具性，培养学生解决各类问题的能力，在问题解决的各种形态转化过程中，需要数学知识和认知情感方面的保障，需要“建模、解模、释模”三个环节中相应的数学能力。
同时，上海中职校从2015年起就要开始实施学业水平考试，这些新要求、新情况给广大的中职校数学教师及学生带来了新的挑战。
作为一名一线的数学教师，本人已在平时的教学过程中不断加入了对于数学建模的思考，下文就是本人在一年级新生中开设的一堂关于如何进行数学建模的理念课的教学过程。
笔者所在学校使用的是上海教育出版社2015年8月出版的《中等职业学校教材试用本――数学》，该教材第一册中，在第2.1小节《不等式的基本性质》后面，有一节拓展阅读内容，名为“烹饪中的数学模型”。本堂课就是依据这一教材内容来设计的。
一、导入过程
本过程选取了两个已经学过的知识点，配置相关场景，让学生了解：数学建模不是一个新鲜的东西，而是我们之前已经碰到过的东西。
老师：同学们，我们每个班级里面的同学，都有着不同的体育爱好，参加过不同的比赛，比如有的同学参加过篮球比赛，有的参加过足球比赛，还有的参加过乒乓球比赛，等等。如果这个班级总共有40人，其中参加过篮球比赛的同学有25人，参加过足球比赛的同学有22人，请问，同时参加过篮球和足球比赛的学生有多少？
学生：同时参加过篮球和足球比赛的学生有7人。
老师：回答正确。但是，这个问题可以和我们前面学习的什么知识联系起来呢？
马航失联至今为止都是一个未解开的谜团，而飞机失事也越发受到人们的关注。飞机失事后的救援工作更是重中之重，全世界都会关注救援的进度。如何准确快速的进行搜救也就成为了一个重要的问题。
本文将整个救援问题分为三个步骤：落点确定，搜索范围确定，搜索路径确定。通过对每一个步骤的确定，可以汇总出一个完整的搜救方案。首先，飞机坠落时，考虑到飞机种类不同，我们综合了飞机重量，机翼面积，升阻比等参数，研究了飞机飞行高度与落点位置之间的关系，可以确定不同种类的飞机在不同高度坠落时落点的位置，对搜救工作进行第一步的定位。第二步，飞机坠毁解体后，会有不同种类的物体掉入海中，物体在海中受到洋流，风，海浪等等因素的影响做漂移运动。我们考虑了风和洋流对不同物体的作用不同，结合物体自身性质，研究了物体的漂移轨迹，通过风和洋流的实时信息，可以模拟推算出物体所在区域。不同种类的物体分布在不同的区域。根据第一步的落点和这一步的物体漂移范围可以确定搜索的区域，不同的区域运用不同的搜救设备会使搜救效率提升，比如搜索沉没海中的物体可以用携带探测水下设备的飞机进行搜救。第三步，对前面确定的区域进行搜索，因为区域内概率分布不均匀，所以根据区域内的概率制定搜救路径，使搜救效率最高，增加救援成功率。通过这种方法，我们可以较为精准的确定搜救方案，方案的适用范围较广，模型灵敏度较高，模型可以自由调节精度。
失事飞机海上搜救问题需要抓住两个重要因素：准确性和迅速性。准确性就是保证确定的搜救区域的准确性，因此需要考虑飞机落点的准确性和漂移轨迹的准确性。因此必须尽可能多的考虑影响因素，并搜集实时的准确数据以保证模型的准确性。迅速性就是搜索方案要保证最优，以最短的时间搜索尽可能大的范围，搜救工作就是与时间赛跑，方案越迅速，搜救成功率越高。
飞机下降过程受到重力及斜向上的气流阻力，气流阻力与空气密度有关，由机下坠落差很大，空气密度变化很大，故而需要考虑空气密度带来的影响。将气流阻力及重力分解在运动轨迹切线方向及其法线方向上，产生切线加速度及向心加速度，建立平面直角坐标系上的微分动力学方程，用MATLAB数值解法求解微分方程曲线，即为运动轨迹。
本文的研究可以对海上失事飞机的搜救工作起到一定参考作用。还有许多改进的地方，我们会继续努力完善，希望可以对失事飞机的搜救工作做出更大的贡献。
关键词：泡沫驱；总量平衡模型；阻力因子；数学模型；数值模拟
DOI：10.16640/ki.37-1222/t.2017.06.217
1 引言
泡沫驱是一种新型化学驱油技术，应用前景广阔[1]。根据室内试验研究，泡沫驱油机理主要机理为选择性封堵高渗带，扩大波及。目前泡沫驱数学模型主要采用等效模型，且考虑的影响参数较少[2-5]，需要进一步改进完善，提高应用适应性。
2 基于总量平衡方程的泡沫驱数学模型
2.1 泡沫总量平衡方程
流体系统包含油、气、水三相，可考虑的组分包括：油、气、水组分，表面活性剂（起泡剂），聚合物，阴阳离子，泡沫；表面活性剂、聚合物、阴阳离子存在于水相中，泡沫组分存在于气相中；考虑起泡剂和聚合物在油藏中的对流、扩散和吸附损耗。基于质量守恒，各组分的平衡方程为：
其中为相数，为油藏介质孔隙度，%，为组分的密度，g/cm3，是第组分的总浓度，%，为组分在相中的浓度，%，为包含分子扩散的Fick弥散张量，为相速度，m/day。
对于泡沫组分，其右端项为，其中，，分别为泡沫生成、聚并以及破灭速度，该项包含了动态的物理化学反应平衡，因此，称为总量平衡方程。泡沫生成和聚并速度表达式：
式中，、分别为水和气体的流速，m/s。k1为泡沫生成 速度常数，与起泡剂浓度和含油饱和度有关。k2是聚并系数，无量纲，与毛管力有关。
室内研究表明，随着含油饱和度的增大，气相中泡沫的浓度显著降低，泡沫稳定性下降，泡沫遇油破灭的速度表达式为：
式中为临界含油饱和度，%，为聚合物浓度，%，为实验参数，无量纲。
2.2 泡沫阻力因子模型
通过渗透率下降因子描述泡沫的选择性封堵、气相剪切等机理，根据实验结果与认识，引入临界含油饱和度，临界表面活性剂浓度，临界毛管力来描述遇油消泡，遇水生泡特征。
（1）临界含油饱和度、表活剂浓度与毛管力。当含油饱和度低于或表面活性剂浓度大于临界浓度时，形成泡沫，反之不形成泡沫。毛管力高于临界毛管力的一个邻域，不形成泡沫，低于该邻域，所形成的泡沫的强度会很高。
（2）渗透率下降因子。泡沫有选择性封堵作用，渗透率越高，泡沫的流动阻力越大，反之流动阻力越小。记为气相渗透率下降因子，则，其中为泡沫引起的渗透率下降因子，为修正因子，用于描述气相剪切和选择性封堵。
综合泡沫的生成机理和临界毛管力模型，建立如下气相相对渗透率下降因子模型：
其中为低毛管力时的泡沫最佳强度对应的渗透率下降因子，无量纲，，分别是气相的实际流速和参考流速， m/s，是油层渗透率对有效厚度的加权平均，md，为常数，根据实验得到。
3 模型测试与应用
本节通过概念模型测试改进后的数学模型对机理的描述是否合理。建立如下模型：网格规模31×31×6，网格大小为10×10×2 m3，采用正五点布井，注入井为定量井，生产井为定压井，初始水、气饱和度均为20%，水平方向渗透率为2000md，Z方向渗透率为20md，油藏顶深1200m。模拟时间3650天（10年），日注水量为20m?，日注气量为20m?，设计1000天-2700天分别注入泡沫驱段塞、表活剂段塞、纯水驱段塞三种方案。不同方案含水及采收率曲线如下：
通过图1可以看出，相比水驱，泡沫驱能够有效降低油气流度比，从而降低含水，提高油藏采收率，而低张力表活剂驱尽管能够降低残余饱和度，由于不能改变流度比，因此增油效果并不好。下图中对比了不同的气液比与泡沫剂浓度对提高采收率的影响：
由图2可以看出，增加气液比并没有显著提高采收率，这是因为在注入流体中提高气体的比例过高，容易发生气窜。采收率随起泡剂浓度提高而提高，当注入浓度达到一定值后，再提高注入浓度效果有限。
4 结论
本文改进了泡沫驱的数学模型，考虑了泡沫的生成、聚并与破灭，阻力因子模型考虑了饱和度、渗透率、表活剂浓度、流速等多因素的影响，数值模拟算例验证了数学模型的合理性。在泡沫的动态生成与破灭的进一步准确描述，以及多参数阻力因子的表达式方面，还有待进一步研究。
参考文献：
[1]周国华，宋新旺，王其伟等.泡沫复合驱在胜利油田的用[J]. 石油勘探与开发，2006，33（03）：369-373.
[2]陈国，赵刚，廖广志.泡沫复合驱油三维多相多组份数学模型[J]. 清华大学学报（自然科学版），2002，42（12）：1621-1623.
[3]赵刚，王本，陈国等.泡沫复合驱三维多相多组分数学模型的应用[J].大庆石油学院学报，2004，28（04）：35.
[4]李和全，郎兆新，胡靖邦等.泡沫复合驱数学模型[J].大庆石油学院学报，1997，21（03）：20-24.
[5]朱维耀，程杰成，吴军政.多元泡沫化学剂复合驱油数值模拟研究[J].石油学报，2006，27（03）：65-69.
一、经济数学模型的基本内涵
数学模型是数学思想精华的具体体现，是对客观实际对象的数学表述，它是在一定的合理假设前提下，对实际问题进行抽象和简化，基于数学理论和方法，用数学符号、数学命题、图形、图表等来刻画客观事物的本质属性及其内在联系。当数学模型与经济问题有机地结合在一起时，经济数学模型也就产生了。所谓经济数学模型，就是把实际经济现象内部各因素之间的关系以及人们的实践经验，归结成一套反映数量关系的数学公式和一系列的具体算法，用来描述经济对象的运行规律。所以，经济数学模型是对客观经济数量关系的简化反映，是经济现象和经济过程中客观存在的量的依从关系的数学描述，是经济分析中科学抽象和高度综合的一种重要形式。
经济数学模型是研究分析经济数量关系的重要工具，它是经济理论和经济现实的中间环节。它在经济理论的指导下对经济现实进行简化，但在主要的本质方面又近似地反映了经济现实，所以是经济现实的抽象。经济数学模型能起明确思路、加工信息、验证理论、计算求解、分析和解决经济问题的作用，特别是对量大面广、相互联系、错综复杂的数量关系进行分析研究，更离不开经济数学模型的帮助。运用经济数学建模来分析经济问题，预测经济走向，提出经济对策已是大势所趋。
在经济数学模型中，用到的数学非常广泛，有些还相当精深。其中包括线性规划、几何规划、非线性规划、不动点定理、变分发、控制理论、动态规划、凸集理论、概率论、数理统计、随机过程、矩阵论、微分方程、对策论、多值函数、机智测度等等，它们应用于经济学的许多部门，特别是数理经济学和计量经济学。
二、建立经济数学模型的基本步骤
1.模型准备。首先要深入了解实际经济问题以及与问题有关的背景知识，对现实经济现象及原始背景进行细致观察和周密调查，以获取大量的数据资料，并对数据进行加工分析、分组整理。
2.模型假设。通过假设把实际经济问题简化，明确模型中诸多的影响因素，并从中抽象最本质的东西。即抓住主要因素，忽略次要因素，从而得到原始问题的一个简化了的理想化的自然模型。
3.模型建立。在假设的基础上，根据已经掌握的经济信息，利用适当的数学工具来刻画变量之间的数学关系，把理想化的自然模型表述成为一个数学研究的题材——经济数学模型。
4.模型求解。使用已知的数学知识和观测数据，利用相关数学原理和方法，求出所建模型中各参数的估计值。
5.模型分析。求出模型的解后，对解的意义进行分析、讨论，即这个解说明了什么问题？是否达到了建模的目的？根据实际经济问题的原始背景，用理想化的自然模型的术语对所得到的解进行解释和说明。
6.模型检验。把模型的分析结果与经济问题的实际情况进行比较，以考察模型是否符合问题实际，以此来验证模型的准确性、合理性和实用性。如果模型与问题实际偏差较大，则须调整修改。
三、建立经济数学模型应遵从的主要原则
1.假设原则。假设是某一理论所适用的条件，任何理论都是有条件的、相对的。经济问题向来错综复杂，假设正是从复杂多变因素中寻求主要因素，把次要因素排除在外，提出接近实际情况的假设，从假设中推出初步结论，然后再逐步放宽假设条件，逐步加进复杂因素，使高度简化的模型更接近经济运行实际。作假设时，可以从以下几方面来考虑：关于是否包含某些因素的假设；关于条件相对强弱及各因素影响相对大小的假设；关于变量间关系的假设；关于模型适用范围的假设等等。
2.最优原则。最优原则可以从两方面来考虑：其一是各经济变量和体系上达到一种相对平衡，使之运行的效率最佳；其次是无约束条件极值存在而达到效率的最优、资源配置的最佳、消费效用或利润的最大化。由于经济运行机制是为了实现上述目标的最优可能性，我们在建立经济数学模型时必须紧紧围绕这一目标函数进行。
3.均衡原则。即经济体系中变动的各种力量处于相对稳定，基本上趋于某一种平衡状态。在数学中所表述的观点是几个函数关系共同确定的变量值，它不单纯是一个函数的变动去向，而是整个模型所共有的特殊结合点，在该点上整个体系变动是一致的，即达到一种经济联系的平衡。如需求函数和供给函数形成的均衡价格和数量，使市场处于一种相对平衡状态，从而达到市场配置的最优。
4.数、形、式结合原则。数表示量的大小，形表示量的集合，式反映了经济变量的联系及规律，三者之间形成了逻辑的统一。数学中图形是点的轨迹，点是函数的特殊值，因而也是函数和曲线的统一。可以认为经济问题是复杂经济现象中的一个点，函数则是经济变量之间的相互依存、相互作用关系，图形就是经济运行的规律和机制。所以，数、形、式是建模的主要工具和手段，是解决客观经济问题的三个要素。
5.抽象与概括的原则。抽象是思维的延伸，概括是思维的总结，抽象原则揭示了善于从纷繁复杂的经济现象延伸到经济本质，挖掘其本质的反映，概括是经济问题的纵横比较与分析，以便把握其本质属性，揭示其规律。
四、构建和运用经济数学模型应注意的问题
经济数学模型是对客观经济现象的把握，是相对的、有条件的。经济研究中应用数学方法时，必须以客观经济活动的实际为基础，以最初的基本假设为条件，一旦突破了最初的基本假设，就需要研究探索使用新的数学方法；一旦脱离客观经济实际，数学的应用就失去了意义。因此，在构建和运用经济数学模型时须注意到：
1.首先对所研究的经济问题要有明确的了解，细致周密的调查。分析经济问题运行的规律，获取相关的信息和数据，明确各经济变量之间的数量关系。如果条件不太明确，则要通过假设来逐渐明确，从而简化问题。
2.明确建模的目的。出于不同的目的，所建模型可能会有很大的差异。建模目的可能是为了描述或解释某一经济现象；可能是预报某一经济事件是否发生，或者发展趋势如何；还可能是为了优化管理、决策或控制等。总之，建立经济数学模型是为了解决实际经济问题，所以建模过程中不仅要建立经济变量之间的数学关系表达式，还必须清楚这些表达式在整个模型中的地位和作用。
3.在经济实际中只能对可量化的经济问题进行数学分析和构建数学模型，对不可量化的事物只能建造模型概念，而模型概念是不能进行数量分析的。尽管经济模型是反映事物的数量关系的，但必须从定性开始，离开具体理论所界定的概念，就无从对事物的数量进行分析和讨论。
4.不同数学模型的求解一般涉及不同的数学分支的专门知识，所以建模时应尽可能利用自己熟悉的数学分支知识。同时，也应征对问题学习了解一些新的知识，特别是计算机科学的发展为建模提供了强有力的辅助工具，熟练掌握一些数学或经济软件如Matlab、Mathematic、Lindo也是必不可少的。
【关键词】数学模型；小应用；案例
案例：椅子问题
把椅子置于地面时，如果只有三只脚着地，椅子经常放不稳，通常需要调整几次方可将椅子放稳，试用数学语言对此问题给以表述，并用数学工具说明椅子能否在地面上放稳？若能，请给予证明并给出做法，否则说明理由。
【问题分析】
为了构造距离函数和设定相关参数，让我们实际操作一下，从中搜集信息，弄清其特征。要想四只脚同时着地，通常有四种方法：其一是将椅子搬离原地，换个位置试验；另一个做法是原地旋转试验，由于前一种方法需要研究的范围可能要很大，这里我们采取第二种做法。通过实地操作，易得出结论：只要地面相对平坦，没有地面大起大落的情况，那么随着旋转角度的不同，三只脚同时落地后，第四只脚与地面距离也不同（不仅如此，旋转中总各有两个脚同时着地，另两个脚不稳定）。也就是说，这个距离函数与旋转角度有关，是旋转角度的函数，于是一个确定的函数关系便找到了，不仅如此，我们的问题也顺其自然地转化为是否存在一角度，使得四个距离函数同时为零？
综上分析，问题可以归结为证明函数零点的存在性，遂决定试用函数模型予以处理。
【模型假设】
根据前面的分析，我们可作如下假设：
1）椅子的四只脚同长。
2）将椅子的脚与地面接触处看成是一个几何点，四角连线为正方形。
3）地面相对平坦，即在旋转所在地面范围内，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
4）地面高度连续变化，可视地面为数学上的连续曲面。
【建立模型】
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。
依据假设条件，四只脚连线呈正方形，因而以其中心为对称点，令正方形绕中心旋转便可表示椅子位置的改变，于是可以用旋转角度的变化表达椅子的不同位置。为此，我们以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，并假设旋转开始时（角度θ=0）四个椅脚点A，B，C，D中的A点和C点位于x轴上，B点和D点位于y轴上。旋转角度θ后，点A，B，C，D变到点A′，B′，C′，D′（图1）。显然，随着θ的改变，椅子的位置也随着改变，从而椅脚与地面距离也随之改变。尽管椅子有四只脚，有四个距离，但对于每个角度，总有点A、C同时着地而点B、D不同时着地或点B、D同时着地，而点A、C不同时着地，故只要设两个距离函数即可。因此设A、C两脚与地面距离之和为fθ，B、D两脚与地面距离之和为gθ，且作为距离函数的fθ、gθ均为非负函数。由假设（3）可知，对任意角度θ，恒有fθ=0，gθ0或gθ=0。故fθgθ=0对任意θ成立。
要证明存在角度θ0，使fθ0=0，gθ0=0同时成立，还需要条件支持。注意到在初始位置（θ=0）处，有f0=0，g0>0或f0>0，g0=0，而旋转90°后，两组条件恰好交换。因此，椅子通过旋转改变位置能放稳的证明，便归结为证明如下的数学命题，即
已知fθ、gθ是θ的连续函数，对任意θ，fθgθ=0且f0=0时g0>0，fπ2>0时gπ2=0。
求证：存在θ0∈0，π2，使fθ0=gθ0=0。
这就是椅子问题的数学模型。由此可见只需引进一个变量θ及其一元函数fθ、gθ，便把模型条件和结论用简单又精确的数学语言表述出来，从而形成所需要的数学模型。
【模型求解】
容易看出本模型属于一元连续函数的零点存在性问题，使用介值定理便可轻松证明它。
一、数学模型的概念
数学模型是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括或近似地表述出来的一种数学结构。这种数学结构是借助于数学概念和符号刻画出来的某种系统的纯关系结构，所以在数学模型的形成过程中，已经用了抽象分析法，可以说抽象分析法是构造数学模型的基本手段。从广义上讲，数学中的各种基本概念如实数、向量、集合等可叫做数学模型，因为它们是以各自相应的实体为背景加以抽象出来的最基本的数学概念，这种可称为原始模型。如例1：自然数1、2、3、4…n是用来描述离散型数量的模型；例2：每一个代数方程或数学公式也是一个数学模型，如ax +bx+c=0。但狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构才叫数学模型。一般的，在应用数学中，数学模型都作狭义讲，构建数学模型的目的就是为了解决实际问题。
二、数学模型的类别
1.按照建立模型的数学方法进行分类，如初等数学模型、几何模型、规划模型等。
2.按模型的表现特性，可分为确定性模型与随机模型、静态模型与动态模型、线性模型与非线性模型、离散模型与连续模型。
3.按照建模目的分，有描述型模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
三、数学模型的缺点
1.模型的非预制性。实际问题各种各样，变化万千，这使得建模本身常常是事先没有答案的问题，在建立新的模型的过程中，甚至会伴随着新的数学方法或数学概念的产生。
2.模型的局限性。首先模型是现实对象简化、理想化的产物，所以一旦将模型的结论用于实际问题，那些被忽视的因素必须考虑，因此结论的通用性和精确性只是相对的。另外，由于人们认识能力和数学本身发展水平的限制，有不少实际问题很难得到有实用价值的数学模型。
四、建模的步骤
建模过程有哪些步骤与实际问题的性质、建模的目的等有关，下面我们先看两个例子：
例一：家用电器一件，现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一个月，购买后一个月付款一次，再过一个月又付款一次，共12次，即购买一年后付清，若按月利率8‰，每月复利计算一次，那么每期应付款多少？
这是一道关于分期付款的实际应用题，我们要求解就必须构建数学模型。通过分析，问题体现出的等量关系为分期付款，各期所付的款及各期所付的款到最后一次付款时所生的利息合计，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款时所生的利息之和。因此，设每期应付款为x元，那么，到最后一次付款时，
第一期付款及所生利息之和为x×1.008 ，
第二期付款及所生利息之和为x×1.008 ，
第三期付款及所生利息之和为x×1.008 ，
……
……
第十一期付款及所生利息之和为x×1.008，
第十二期付款及所生利息之和为x，
而所购电器的现价及其利息之和为2000×1.008 ，
由此x×（1+1.008+1.008 +…1.008 ）=2000×1.008 ，
由等比数例求和公式得：
x≈175.46（元）
也就是每期应付款175.46元。
例二：关于物体冷却过程一个问题：设某物体置于气温为24℃的空气中，在时刻t=0时，物体温度为u =150℃，经过10分钟后物体温度变为u =100℃，试确定该物体温度u与时间t之间的关系并计算t=20分钟时物体的温度。
为了解决此问题就要构造一个数学模型，首先由于该问题涉及必然性现象，故要选取一个确定性数学模型。又为了反映物体冷却过程这样一个物理现象，还必须应用牛顿冷却定律：在一定温度范围内，一个物体的温度变化率恒与该物体和所在介质之温差成正比。在该问题里，物体温度u应是时间变量的连续函数，记为u=u（t）。对初始温度u 而言，温差为u -u （u 为空气介质温度）。我们又知道，应变量（函数）的变化率可用导数概念来表述，于是物体冷却过程（现实原型）的数学模型就是如下形式的微分方程：
=-k（u-u ），k为比例常数，在具体问题里可确定下来。
具体问题要求出函数关系u=u（t）的显式表示。易得
log （u-u ）=-kt+c
u-u =A•e ，其中A为常数，代入t=0时，u=u ，则u -u =Ae°=A，
u=（u -u ）e +u 这就是方程解。
有了一般模型，只要把实际问题里的具体数据一一代入即可。
100=（150-24）e +24
k=0.051
因此对具体问题有特殊模型为u=24+126e ，将t=20代入则得u（20）=24+40=64答案即为64℃。
所以我们建立数学模型的步骤可以归纳如下：
模型准备：首先要了解问题的实际情境，情况明白才能方法正确。总之，要做好建模的准备工作。
提出问题：通过恰当假设，将问题进行简化。
模型构成：根据分析对象的内在规律和适当工具，构造各个量（常量和变量）之间的等式（或不等式）关系或其它数学结构。建模时应遵循的一个原则是，尽量采用简单的数学工具，这样才有利于更多的人了解和使用。
模型求解：可以采用解方程、逻辑运算、数值计算等各种传统方法，也可使用近代的数学方法如计算机技术等。
模型检验：把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性。若合乎则得出结果：若不合乎实际则应重新建模，直到检验结果合乎实际为止。
四、有关数学建模能力培养的建议
在分析了数学建模的物点、过程之后，我们知道用数学模型解决实际问题首先是用数学语言表述问题，即构造模型，这就需要有广博的知识、足够的经验、丰富的想象力和敏锐的洞察力。
1.教师应努力成为数学建模的先驱者，根据教学内容和学生的实际情况提出一些问题供学生选择，如关于哥尼斯堡七桥问题；或者提供一些实际情境，引导学生提出问题，如银行的分期付款问题、公平的席位分配、传染病的随机感染、线性规划等问题。特别要鼓励学生从自己生活的世界中发现问题，提出问题。
2.数学建模可采取课题组的学习模式，教师应引导学生学会独自思考，分工合作，交流讨论，互相帮助。
3.数学建模活动中应鼓励学生使用计算机、计算器。
4.教师应指导学生完成数学建模报告，并及时给出评价，评价内容应坚持创新性、现实性、真实性、合理性、有效性，这几个方面不必追求全面，只要有一项做得好就应该予以肯定。
总之，数学建模可以看成一门艺术，艺术在某种意义下是无法归纳出几条准则或方法的，一名出色的艺术家需要大量的观摩和前辈的指导，更需要自身实践，愿我们的教师增强建模意识，激发学生对数学建模的兴趣，为使其今后具备较高的建模能力而努力。
