时间：2022-06-16 06:44:49
序论：在您撰写数学理论论文时，参考他人的优秀作品可以开阔视野，小编为您整理的7篇范文，希望这些建议能够激发您的创作热情，引导您走向新的创作高度。
关键词：1、数学理论为什么1+1=2，2、哲理整性质，3、哲理整小数4、广义整数，5、有限不循环小数，6、有限循环小数，7、最大分数单位1/2，8、小数单位，9、最大小数单位——0.5等等
1、数学理论为什么1+1=2（1+1=2的基本原理、道理、哲理是什么？）：
纯粹数学理论上存在着缺陷与不足，那就是偶数能被2整除、奇数不能被2整除，换言之，纯粹数学在理论上根本无法承认和接受2是数学公理，因为奇数不能被2整除自身就是科学根据与铁的事实，偶数能被2整除、奇数不能被2整除，如此理论太绝对了，已经给纯粹数学的理论造成了不可思议，奇数不能被2整除、能不能以其他方式被2整除？值得深思、探讨、探索——不能还停留在偶数能被2整除、奇数不能被2整除玄学的理论水平上，要深化理论认识，…。
为什么1+1=2，本文回答既简单又深奥：偶数能被2整除，奇数不能被2整除却着实能被2哲理整除，奇数与偶数相反相成对立统一，1+1=2是数学首要公理，1+1=2蕴涵着深刻的对立统一规律，是啊！它真的既简单又深奥，它简单的表面上看似是小学生的基本知识，然而其道理深奥地不可思议、不可理喻、如此道理、哲理并非所有的人都能够理解与接受，更不是小学生能够理解的数学知识，...!
偶数能被2整除，奇数不能被2整除却着实能被2哲理整除，奇数与偶数不仅存在着对立性，而且还存在着共性和同一性，即异中之同，差异中的共性，…，
其一：奇数不能被2整除却着实能被2哲理整除就是指奇数与偶数的异中之同，差异中的共性与同一性，
其二：偶数能被2整除、奇数不能被2整除就是指奇数与偶数的差异性、排斥性、对立性，
因此说，奇数与偶数既有对立性又有同一性，奇数与偶数二者存在着相反相成、对立统一的辩证关系，它揭示着2是数学公理系统的首要公理，这是世界观的认识问题，有什么样的世界观就有什么样的认识论、方法论，如果玄学，无论如何都是无法理解、接受它，如此真理说不清、理还乱、但是它的庐山真面目就是如此，无法更改，古人云“不识庐山真面目、只缘身在此山中”，需要“跳出庐山看庐山”，要摆脱两千多年玄学的严重束缚，…。
为什么1+1=2不是指数论的“1+1”，为什么1+1=2？不仅要知其然还要知其所以然，…，绝对值1+1=2与数论的“1+1”既有差异又有联系，如果把素数2看作偶素数，那么数论的“1+1”是指大于等于6的偶数可表示为两个素数之和——歌德巴赫猜想，无需奇素数，本文素数就是指奇素数3，5，7，11，13，17，19，23，……，…，数论的“1+1”它是绝对值的特殊公理，数论的“1+1”与绝对值的1+1=2在数值逻辑公理系统中一脉相承，在绝对值1+1=2数值逻辑公理系统中蕴涵着数论的“1+1”，数论的“1+1”是数值逻辑公理系统偶环节上的特殊公理，换言之、数论的“1+1”也是数学公理（例如：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11，16=5+11，18=3+15，……，无穷无尽）拥有客观存在性，并非被摘取下来才拥有真实性、摘取不下来就非真实性和非客观存在性，既不肯定也不否定模棱两可、这背离了数学（逻辑）排中律，…。
虽然哥德巴赫猜想数学命题没有被数学专家毕了、依然被人们研究着，但传统的素数“筛法”，此路不通已失去了昔日辉煌，…。
2、自然数与正整数、单位“1”与自然“1”：
1+1=2是科学抽象的、1+1=2以及正整数是相对于广义的单位“1”而言，单位“1”的含量绝对统一，1+1=2并非自然“1”的意义，事实上自然数与正整数既有差异又有联系，自然数是相对于自然“1”而言，正整数是相对于单位“1”而言，正整数是把自然数提升到了抽象的科学高度，由于自然数、时常因单位“1”不统一、“含金量”不一致，如果对自然数直接进行运算是有很大的局限性——有时正确、有时有偏差，我们人类是聪明智慧的，有了数学的广义的单位“1”、正整数，消除了自然数的局限性，…。
3、哲理整小数以及哲理整小数的双重性质（或哲理整分数和哲理整分数的双重性质）：
小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，......，的绝对值拥有相互矛盾的双重性质，其一是哲理整性质、其二是普通小数性质，哲理整性质是指小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，......（注：它们的小数部分均为0.5，只涉及到0.5也可以、也足以）的绝对值比其他普通小数的绝对值整装、…、本文将它们的这一特性简称为哲理整性质（相对整），因为1/2是最大分数单位，则0.5是最大小数单位，因此0.5拥有哲理整性质，它地地道道、的的确确客观存在着，我们的认识迄今为止还未意识到，如此道理、哲理并非所有的人都能够理解接受，唯恐越看越不明白，令人意乱、劳神，...。
哲理整小数：本文将小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…和它们的哲理整性质（相对整）统称为哲理整小数，务必明确的说明，哲理整小数拥有相互矛盾的双重性质，其一是哲理整性质、其二是普通小数性质，…。
哲理整分数：本文将分数1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2……和它们的哲理整性质统称为哲理整分数，哲理整分数拥有相互矛盾的双重性质，其一是哲理整性质、其二是普通小数性质，…。
普通小数：不包含哲理整小数在内的小数简称为普通小数。
普通分数：不包含哲理整分数在内的分数简称为普通小数。
4、1/2和0.5哲理整性质的科学依据:
分数拥有分数单位，数学教科书应该明确指出1/2是最大分数单位，1/1不是最大分数单位、是整数分数，1/1=1依然体现整数性质、是一个特例，然而迄今为止还没有小数单位，数学需要向前发展提出小数单位、最大消暑单位，要明确指出最大小数单位是“0.5”，而且为奇数能被2哲理整除提供客观科学依据，才更符合数学的客观实际！单凭直觉，最大分数单位1/2和最大小数单位0.5还未体现出其真正数学意义，最大分数单位和最大小数单位在本质上体现哲理整性质才是其真正的数学意义，这是如何对待数学真理的重大认识问题，并非可有可无，可无必然是一个数学错误，1/2和0.5的哲理整性质是微小微妙、微乎其微的变化、微不足道的差异性，若不仔细认真观察很难被人们发现，形而上学排斥它、大多数人无法理解接受它，有理难辩啊，难！真的很难！不仅如此还会遭人讽刺、挖苦等等，…。
关于分数和小数：分数单位1/2，1/3，1/4，1/5，1//6，1/7，1/8，1/9，1/10，…对应下的小数应为小数单位，例如：1/2=0.5，1/3=0.333….，1/4=0.25，1/5=0.2，…，1/10=0.1等等，….。
哲理整性质的来龙去脉：在数值逻辑公理系统中，派生子集合，0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……，…从系统发展变化中分化出来，占据整数的位置充分地十足地体现其哲理整性质或者说体现其相对整性质，数值逻辑公理系统为其提供科学依据；最大分数单位1/2、最大小数单位0.5也为其提供科学依据，只有在数值逻辑公理系统中才能够发现0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……（1/2，3/2，5/2，7/2，9/2，11/2，13/2，……）拥有哲理整性质，单凭直觉无从谈起，单凭直觉只能看到最大分数单位和最大小数单位，…。
能被2整除的是偶数，…，整数0，1，-1，2，-2.，3，-3，4，-4，5，-5，……，…为偶数能被2整除提供科学依据举世公认，…。
为了便于理解接受也可以首先把0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…暂时将它们看作哲理整数（相对整数），哲理整数为奇数能被2哲理整除提供客观科学依据，哲理整数指小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…的绝对值比其他普通小数的绝对值整装——因为0.5是最大小数单位，与整数形成异中之同，差异中有共性，数学与哲学将这一特性简称为哲理整性质（相对整）——哲理整数（相对整），但是理解接受以后：绝对不能忘记了哲理整数拥有相互矛盾的双重性质，一是拥有普通小数性质、二是拥有哲理整性质，只承认它们的小数性质认识是片面的，只承认0.它们的哲理整性质认识是片面的，…。
事实上只有把哲理整数统称为哲理整小数体现双重性质才更确切、完整、正确，…。
5、有理数系数值逻辑公理系统（就不展开叙述了）：
{[0～1]}1{[1～2]}3{[2～3]}5……，…（此结构式上下交错对应不能散开）
[0.1～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…
第1环节：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，
第2环节：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，
第3环节：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，
第4环节：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，
第5环节：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，
第6环节：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，
……，…，
∑{[0～1]}意指0与1之间的基数之和，它是集合族、有无穷个子集合或有无穷个数组，其他依次类推，符号：意指派生子集合，很显然，在系统数值逻辑运算过程中，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……从系统发展变化过程中产生分化出来，占据整数位置，充分体现其哲理整性质，即派生子集合，为奇数能被2哲理整除提供科学依据，蕴涵着完整的数值运算规律，数论、集论、算术三位一体、辩证统一，蕴涵着完整数学公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…。
潜无限给数值逻辑奠定基础并给作科学指导，潜无限排斥实无限，…。
实无限只能给数理逻辑奠定基础，如何给数值逻辑作科学指导？实无限排斥潜无限，事实上互相排斥，…。
6、广义整数：
广义整数：将整数和哲理整小数统称为广义整数（将整数和哲理整分数统称为广义整数），…。
7、有限不循环小数：
有限不循环小数：为了便于理解，简言之，我们把无限不循环小数有限数字（小数点右边至少有两位或两位以上不循环数字）称之为有限不循环小数，例如：3.14，3.1415，3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，……，有无限不循环小数必然存在着有限不循环小数，在数值逻辑中，有限不循环小数与潜无限不循环小数拥有替代无理数数值的巨大意义与作用；有限小数中的小数再如此细致地划分出有限不循环小数、有限不循环小数，才更切合实际，在数值逻辑公理系统中会发现：有限不循环小数拥有客观存在性，拥有无限不循环小数就必然存在着有限不循环小数，这的确是一个认识问题，有限不循环小数可表达为分数形式，因此有限不循环小数是有理数，同时还是超越无理数的有限形式，因此可替代无理数数值（无理数的近似值），只谈无限不循环小数（只谈无理数），不涉及到有限不循环小数是不行的，…。
尤其是有限不循环小数，在实质上拥有替代无理数数值的巨大意义与作用——此乃有限不循环小数的重要数学意义。
8、有限循环小数:
有限循环小数:为了便于理解，简言之，我们把无限循环小数有限个循环节（小数点右边至少有两个或两个以上数字循环节）称之为有限循环小数，如：0.1616，0.161616，0.666，0.666666，0.78787878，0.999999，……，有无限循环小数必然存在着有限循环小数，有限循环小数客拥有客观存在性，它可替代无限循环小的数值，…，这也是一个认识问题，有限循环小数可表达为分数形式，因此有限循环小数是有理数，…。
9、普通有限小数：
把小数点后边有一位数或两位数以内的小数简称为普通有限小数，例如：0.9，1.1，1.2，3.6，3.8，5.8，6.8，7.16，………，…。
10、总之、数学理论要有所突破、要有所进展：
数学（算术）需要向前发展有所突破：
（1）提出数学理论为什么1+1=2，
（2）明确指出1/2是最大分数单位，
（3）提出小数单位、最大小数单位、0.5是最大小数单位，
（4）将有限小数细致划分为：
a、哲理整小数：0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，
b、普通有限小数，
c、有限不循环小数，
d、有限循环小数，
（5）有理数系数值逻辑公理系统，
（6）广义整数，
（7）哲理整分数：1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，……，
（8）整数分数：把1/1，-1/1，2/1，-2/1，3/1，-3/1，4/1，-4/1，5/1，-5/1，6/1，-6/1，……统称为整数分数，拥有双重身份，…。
（9）双素数：例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示为两个等值素数之和，双素数星星点点揭示着哥德巴赫猜想拥有客观存在性，无法否定它，
（10）偶素数——2：2既是一个偶数又一个素数，把2简称为偶素数，
等等才更接近数学的实际情况，希望数学教师率先转变数学思维理念给以鼎力支持，…。
总之，依然还是把整数与分数统称为有理数，只不过是又将分数划分为哲理整分数、普通分数、还有整数分数，...，为什么1+1=2——是探索其原理、道理、哲理，一定要弄明白其中的原理、道理、哲理！…，再次说明，如此道理、哲理并非所有的人都能够理解接受，这是很正常的，且末当真、切莫较真，同时也说明一点本文为什么1+1=2的含义不同于1+1为什么等于2？，也未直接涉及到数论的“1+1”，…。
错字、多字、漏字、错误在所难免，本文作为数学学术最新观点，仅供参考、并不强加于人。
参考文献：
1、《辩证唯物主义和历史唯物主义原理》，中国人民大学出版社出版
2、《古今数学思想》（北京大学数学系数学史翻译组译）上海科学技术出版社出版，1981年7月。原作者：（美国数学家）M.克莱因著
3、《普通逻辑原理》，主编：吴家国，高等教育出版社出版，1992年9月
探讨数学理论为什么1+1=2（原创）
作者：任感恩
摘要：探讨数学理论为什么1+1=2，弄清楚1+1=2的原理、道理、哲理，不仅要知其然，而且还要知其所以然，简述该深刻内涵揭示的深入细致的数学真理，…。
关键词：1、数学理论为什么1+1=2，2、哲理整性质，3、哲理整小数4、广义整数，5、有限不循环小数，6、有限循环小数，7、最大分数单位1/2，8、小数单位，9、最大小数单位——0.5等等
1、数学理论为什么1+1=2（1+1=2的基本原理、道理、哲理是什么？）：
纯粹数学理论上存在着缺陷与不足，那就是偶数能被2整除、奇数不能被2整除，换言之，纯粹数学在理论上根本无法承认和接受2是数学公理，因为奇数不能被2整除自身就是科学根据与铁的事实，偶数能被2整除、奇数不能被2整除，如此理论太绝对了，已经给纯粹数学的理论造成了不可思议，奇数不能被2整除、能不能以其他方式被2整除？值得深思、探讨、探索——不能还停留在偶数能被2整除、奇数不能被2整除玄学的理论水平上，要深化理论认识，…。
为什么1+1=2，本文回答既简单又深奥：偶数能被2整除，奇数不能被2整除却着实能被2哲理整除，奇数与偶数相反相成对立统一，1+1=2是数学首要公理，1+1=2蕴涵着深刻的对立统一规律，是啊！它真的既简单又深奥，它简单的表面上看似是小学生的基本知识，然而其道理深奥地不可思议、不可理喻、如此道理、哲理并非所有的人都能够理解与接受，更不是小学生能够理解的数学知识，...!
偶数能被2整除，奇数不能被2整除却着实能被2哲理整除，奇数与偶数不仅存在着对立性，而且还存在着共性和同一性，即异中之同，差异中的共性，…，
其一：奇数不能被2整除却着实能被2哲理整除就是指奇数与偶数的异中之同，差异中的共性与同一性，
其二：偶数能被2整除、奇数不能被2整除就是指奇数与偶数的差异性、排斥性、对立性，
因此说，奇数与偶数既有对立性又有同一性，奇数与偶数二者存在着相反相成、对立统一的辩证关系，它揭示着2是数学公理系统的首要公理，这是世界观的认识问题，有什么样的世界观就有什么样的认识论、方法论，如果玄学，无论如何都是无法理解、接受它，如此真理说不清、理还乱、但是它的庐山真面目就是如此，无法更改，古人云“不识庐山真面目、只缘身在此山中”，需要“跳出庐山看庐山”，要摆脱两千多年玄学的严重束缚，…。
为什么1+1=2不是指数论的“1+1”，为什么1+1=2？不仅要知其然还要知其所以然，…，绝对值1+1=2与数论的“1+1”既有差异又有联系，如果把素数2看作偶素数，那么数论的“1+1”是指大于等于6的偶数可表示为两个素数之和——歌德巴赫猜想，无需奇素数，本文素数就是指奇素数3，5，7，11，13，17，19，23，……，…，数论的“1+1”它是绝对值的特殊公理，数论的“1+1”与绝对值的1+1=2在数值逻辑公理系统中一脉相承，在绝对值1+1=2数值逻辑公理系统中蕴涵着数论的“1+1”，数论的“1+1”是数值逻辑公理系统偶环节上的特殊公理，换言之、数论的“1+1”也是数学公理（例如：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11，16=5+11，18=3+15，……，无穷无尽）拥有客观存在性，并非被摘取下来才拥有真实性、摘取不下来就非真实性和非客观存在性，既不肯定也不否定模棱两可、这背离了数学（逻辑）排中律，…。
虽然哥德巴赫猜想数学命题没有被数学专家毕了、依然被人们研究着，但传统的素数“筛法”，此路不通已失去了昔日辉煌，…。
2、自然数与正整数、单位“1”与自然“1”：
1+1=2是科学抽象的、1+1=2以及正整数是相对于广义的单位“1”而言，单位“1”的含量绝对统一，1+1=2并非自然“1”的意义，事实上自然数与正整数既有差异又有联系，自然数是相对于自然“1”而言，正整数是相对于单位“1”而言，正整数是把自然数提升到了抽象的科学高度，由于自然数、时常因单位“1”不统一、“含金量”不一致，如果对自然数直接进行运算是有很大的局限性——有时正确、有时有偏差，我们人类是聪明智慧的，有了数学的广义的单位“1”、正整数，消除了自然数的局限性，…。
3、哲理整小数以及哲理整小数的双重性质（或哲理整分数和哲理整分数的双重性质）：
小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，......，的绝对值拥有相互矛盾的双重性质，其一是哲理整性质、其二是普通小数性质，哲理整性质是指小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，......（注：它们的小数部分均为0.5，只涉及到0.5也可以、也足以）的绝对值比其他普通小数的绝对值整装、…、本文将它们的这一特性简称为哲理整性质（相对整），因为1/2是最大分数单位，则0.5是最大小数单位，因此0.5拥有哲理整性质，它地地道道、的的确确客观存在着，我们的认识迄今为止还未意识到，如此道理、哲理并非所有的人都能够理解接受，唯恐越看越不明白，令人意乱、劳神，...。
哲理整小数：本文将小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…和它们的哲理整性质（相对整）统称为哲理整小数，务必明确的说明，哲理整小数拥有相互矛盾的双重性质，其一是哲理整性质、其二是普通小数性质，…。
哲理整分数：本文将分数1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2……和它们的哲理整性质统称为哲理整分数，哲理整分数拥有相互矛盾的双重性质，其一是哲理整性质、其二是普通小数性质，…。
普通小数：不包含哲理整小数在内的小数简称为普通小数。
普通分数：不包含哲理整分数在内的分数简称为普通小数。
4、1/2和0.5哲理整性质的科学依据:
分数拥有分数单位，数学教科书应该明确指出1/2是最大分数单位，1/1不是最大分数单位、是整数分数，1/1=1依然体现整数性质、是一个特例，然而迄今为止还没有小数单位，数学需要向前发展提出小数单位、最大消暑单位，要明确指出最大小数单位是“0.5”，而且为奇数能被2哲理整除提供客观科学依据，才更符合数学的客观实际！单凭直觉，最大分数单位1/2和最大小数单位0.5还未体现出其真正数学意义，最大分数单位和最大小数单位在本质上体现哲理整性质才是其真正的数学意义，这是如何对待数学真理的重大认识问题，并非可有可无，可无必然是一个数学错误，1/2和0.5的哲理整性质是微小微妙、微乎其微的变化、微不足道的差异性，若不仔细认真观察很难被人们发现，形而上学排斥它、大多数人无法理解接受它，有理难辩啊，难！真的很难！不仅如此还会遭人讽刺、挖苦等等，…。
关于分数和小数：分数单位1/2，1/3，1/4，1/5，1//6，1/7，1/8，1/9，1/10，…对应下的小数应为小数单位，例如：1/2=0.5，1/3=0.333….，1/4=0.25，1/5=0.2，…，1/10=0.1等等，….。
哲理整性质的来龙去脉：在数值逻辑公理系统中，派生子集合，0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……，…从系统发展变化中分化出来，占据整数的位置充分地十足地体现其哲理整性质或者说体现其相对整性质，数值逻辑公理系统为其提供科学依据；最大分数单位1/2、最大小数单位0.5也为其提供科学依据，只有在数值逻辑公理系统中才能够发现0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……（1/2，3/2，5/2，7/2，9/2，11/2，13/2，……）拥有哲理整性质，单凭直觉无从谈起，单凭直觉只能看到最大分数单位和最大小数单位，…。
能被2整除的是偶数，…，整数0，1，-1，2，-2.，3，-3，4，-4，5，-5，……，…为偶数能被2整除提供科学依据举世公认，…。
为了便于理解接受也可以首先把0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…暂时将它们看作哲理整数（相对整数），哲理整数为奇数能被2哲理整除提供客观科学依据，哲理整数指小数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…的绝对值比其他普通小数的绝对值整装——因为0.5是最大小数单位，与整数形成异中之同，差异中有共性，数学与哲学将这一特性简称为哲理整性质（相对整）——哲理整数（相对整），但是理解接受以后：绝对不能忘记了哲理整数拥有相互矛盾的双重性质，一是拥有普通小数性质、二是拥有哲理整性质，只承认它们的小数性质认识是片面的，只承认0.它们的哲理整性质认识是片面的，…。
事实上只有把哲理整数统称为哲理整小数体现双重性质才更确切、完整、正确，…。
5、有理数系数值逻辑公理系统（就不展开叙述了）：
{[0～1]}1{[1～2]}3{[2～3]}5……，…（此结构式上下交错对应不能散开）
[0.1～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…
第1环节：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，
第2环节：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，
第3环节：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，
第4环节：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，
第5环节：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，
第6环节：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，
……，…，
∑{[0～1]}意指0与1之间的基数之和，它是集合族、有无穷个子集合或有无穷个数组，其他依次类推，符号：意指派生子集合，很显然，在系统数值逻辑运算过程中，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……从系统发展变化过程中产生分化出来，占据整数位置，充分体现其哲理整性质，即派生子集合，为奇数能被2哲理整除提供科学依据，蕴涵着完整的数值运算规律，数论、集论、算术三位一体、辩证统一，蕴涵着完整数学公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…。
潜无限给数值逻辑奠定基础并给作科学指导，潜无限排斥实无限，…。
实无限只能给数理逻辑奠定基础，如何给数值逻辑作科学指导？实无限排斥潜无限，事实上互相排斥，…。
6、广义整数：
广义整数：将整数和哲理整小数统称为广义整数（将整数和哲理整分数统称为广义整数），…。
7、有限不循环小数：
有限不循环小数：为了便于理解，简言之，我们把无限不循环小数有限数字（小数点右边至少有两位或两位以上不循环数字）称之为有限不循环小数，例如：3.14，3.1415，3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，……，有无限不循环小数必然存在着有限不循环小数，在数值逻辑中，有限不循环小数与潜无限不循环小数拥有替代无理数数值的巨大意义与作用；有限小数中的小数再如此细致地划分出有限不循环小数、有限不循环小数，才更切合实际，在数值逻辑公理系统中会发现：有限不循环小数拥有客观存在性，拥有无限不循环小数就必然存在着有限不循环小数，这的确是一个认识问题，有限不循环小数可表达为分数形式，因此有限不循环小数是有理数，同时还是超越无理数的有限形式，因此可替代无理数数值（无理数的近似值），只谈无限不循环小数（只谈无理数），不涉及到有限不循环小数是不行的，…。
尤其是有限不循环小数，在实质上拥有替代无理数数值的巨大意义与作用——此乃有限不循环小数的重要数学意义。
8、有限循环小数:
有限循环小数:为了便于理解，简言之，我们把无限循环小数有限个循环节（小数点右边至少有两个或两个以上数字循环节）称之为有限循环小数，如：0.1616，0.161616，0.666，0.666666，0.78787878，0.999999，……，有无限循环小数必然存在着有限循环小数，有限循环小数客拥有客观存在性，它可替代无限循环小的数值，…，这也是一个认识问题，有限循环小数可表达为分数形式，因此有限循环小数是有理数，…。
9、普通有限小数：
把小数点后边有一位数或两位数以内的小数简称为普通有限小数，例如：0.9，1.1，1.2，3.6，3.8，5.8，6.8，7.16，………，…。
10、总之、数学理论要有所突破、要有所进展：
数学（算术）需要向前发展有所突破：
（1）提出数学理论为什么1+1=2，
（2）明确指出1/2是最大分数单位，
（3）提出小数单位、最大小数单位、0.5是最大小数单位，
（4）将有限小数细致划分为：
a、哲理整小数：0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，
b、普通有限小数，
c、有限不循环小数，
d、有限循环小数，
（5）有理数系数值逻辑公理系统，
（6）广义整数，
（7）哲理整分数：1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，……，
（8）整数分数：把1/1，-1/1，2/1，-2/1，3/1，-3/1，4/1，-4/1，5/1，-5/1，6/1，-6/1，……统称为整数分数，拥有双重身份，…。
（9）双素数：例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示为两个等值素数之和，双素数星星点点揭示着哥德巴赫猜想拥有客观存在性，无法否定它，
（10）偶素数——2：2既是一个偶数又一个素数，把2简称为偶素数，
等等才更接近数学的实际情况，希望数学教师率先转变数学思维理念给以鼎力支持，…。
总之，依然还是把整数与分数统称为有理数，只不过是又将分数划分为哲理整分数、普通分数、还有整数分数，...，为什么1+1=2——是探索其原理、道理、哲理，一定要弄明白其中的原理、道理、哲理！…，再次说明，如此道理、哲理并非所有的人都能够理解接受，这是很正常的，且末当真、切莫较真，同时也说明一点本文为什么1+1=2的含义不同于1+1为什么等于2？，也未直接涉及到数论的“1+1”，…。
错字、多字、漏字、错误在所难免，本文作为数学学术最新观点，仅供参考、并不强加于人。
参考文献：
1、《辩证唯物主义和历史唯物主义原理》，中国人民大学出版社出版
2、《古今数学思想》（北京大学数学系数学史翻译组译）上海科学技术出版社出版，1981年7月。原作者：（美国数学家）M.克莱因著
3、《普通逻辑原理》，主编：吴家国，高等教育出版社出版，1992年9月
“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理。”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分。下面从基本结构学说中来看数学思想、方法教学所具有的重要意义。
第一.“懂得基本原理使得学科更容易理解”。心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习。”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了。下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去。学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容。
第二.有利于记忆。除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记。学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来。高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。
由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的。无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”
第三.学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”。这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识。曹才翰教授也认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的，”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移。”美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中。”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。
第四.强调结构和原理的学习，“能够缩短‘高级’知识和‘初级’知识之间的间隙。”一般地讲，初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的，特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了，有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们以新的涵义。而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容，如集合、对应等。因此，数学思想、方法是联结中学数学与高等数学的一条红线。
2.中学数学教学内容的层次
中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识。表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法。
表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识。学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识。
深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识。教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”，从而使数学教学超脱“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性。
那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛。因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。
3.中学数学中的主要数学思想和方法
数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高。我们认为，在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想。其理由是：
（1）这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容；
（2）符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握；
（3）在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多；
（4）掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础。
此外，符号化思想、公理化思想以及极限思想等在中学数学中也不同程度地有所体现，应依据具体情况在教学中予以渗透。
数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们的数学知识，经验以及数学思想掌握情况密切相关。从有利于中学数学教学出发，本着数量不宜过多原则，我们认为目前应予以重视的数学方法有：数学模型法、数形结合法、变换法、函数法和类分法等。一般讲，中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下，运用数学方法，通过一系列数学技能操作来完成的。
4.数学思想方法的教学模式
数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系，这就决定了他们在教学中的辩证统一性。基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式：
操作——掌握——领悟
对此模式作如下说明：
（1）数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识，以保证在教学过程中有明确的教学目的；
（2）“操作”是指表层知识教学，即基本知识与技能的教学。“操作”是数学思想、方法教学的基础；
（3）“掌握”是指在表层知识教学过程中，学生对表层知识的掌握。学生掌握了一定量的数学表层知识，是学生能够接受相关深层知识的前提；
比如在高中数学学习有关“诱导公式”时，教师就可以结合每个学生的实际情况，让学生对单位圆进行回顾，在观察其中对称性的过程中，再次温习圆的性质，调动学生各自的原有认识，利用问题促进学生的进一步探索:利用圆的对称性探索三角函数的性质．具体的问题为学生的思路指明了方向，学生从始边和角的终边来建立三角函数中的数量关系．课堂给学生预留充足的思考空间，发挥每个学生的个性特质，用个别讨论来代替整体教学，从而形成了师生、生生之间激烈的讨论氛围，每个学生都结合自己的认知来发表观点和看法，教师顺利地掌握了每个学生的思维关键点，顺利地做到了“对症下药”，学生对三角函数的性质和思想有了更深的理解，准确得出了三角函数的诱导公式，使每个学生都有了提高．通过这样的课堂建立，尊重了学生的个性发展，才使得学生可以尽情地展示自己的想法，积极地与老师讨论其中的数学逻辑和推导方法，从而能够从自己的思维原点出发，逐步地达到掌握新知的终点，在很大程度上提高了学生的学习效率．
二、组织合作讨论，实现思维创新
学生的探究仅靠自身的学习和生活经验是远远不够的，需要通过相互之间的合作讨论，积极地表达自己的观点和想法，在思维碰撞之中主动实现新知的搭建，在思想的交流中顺利完成对问题的发现、探索和解决，以逐步地突破原有思维、实现创新．比如在学习有关“余弦定理”时，学生在对自动卸货汽车的车箱进行分析后，发现其设计的关键是油泵顶杆长度的计算，从而将其转化为几何图形的计算:已知三角形中的两个边和这两个边的夹角，求第三条边的长度．学生学过直角三角形中斜边的求法，对这个问题还比较陌生一时很难找到解题思路．在学生的独立思考后，教师就可以组织学生进行合作讨论，借助集体的力量来对难题进行攻克，学生们先从思路入手，企图找到解决问题的方法，这时有个学生说道:“老师总是说将特殊的问题一般化，将复杂的问题简单化，那这个怎么才能转化为一般问题呢?”学生的这句话一下子打开了探究的思维，过顶角在斜边上做垂线，将斜三角形变为了两个直角三角形，实现了对问题的解决．然而有的学生却提出了不同的看法:“如果是钝角三角形，其垂线应该在斜边的延长线上，这个方法还能适用吗?”在学生的尝试解决中，问题被一个个的攻破，学生们也都非常的兴奋和自信．合作讨论给学生的交流搭建了平台，实现了对学生思维的跳跃发展，有效地促进了学生的探究能力和创新能力．
三、灵活课堂教学，促进全面发展
动态的课堂生成永远无法模拟．教师就需要结合课堂生成进行临时发挥，尝试利用自己的机智灵活来调控课堂教学，熟练各种教学教法和技能，从而构建和谐的师生、生生关系，促进相互之间高效的探索、分析和合作，以促进学生的全面发展和提高．比如在学习有关“函数的单调性”时，教师就可以利用学生对函数图象的认识，让学生进行不同函数间的观察对比，对增减函数有一个直观的认识，利用具体的函数值进行大小比较，逐步地分析其中图象变化趋势，了解函数值与自变量之间的变化规律，由此导入学生对增减函数概念的认识．然而在概念的描述上，学生却使用了“任取”、“任意”这类不规范的数学术语来进行表达，这时教师就要及时地调整自己的教法，再次引导学生对特殊的函数图象进行观察，学生对同一函数中有时增函数、有时减函数产生疑问，从而对增减函数的定义进行质疑，领会到自己在表达上的不全面，及时地加以完善和纠正，准确地掌握了增减函数中的定义域，加深了对单调性的理解和运用．通过这样的灵活调控，深层地帮助学生分析了自己的思维误区，挖掘出了总结和理解上的漏洞，全面地发展了学生的思维，真正地促进了学生的全面发展．
四、结语
【关键词】高中数学；分层教学；理论实践
一、分层教学理论概念探析
分层教学理论的诞生，主要是为了能够弥补以往的教学方式无法针对水平不同的学生进行有效性教学的一种教学方式，这种教学理论的提出对于教学改革有着非常重大的意义，在二十世纪初期，分层教学的理论被提出，这种教学理论倡导对于不同水平的学生利用不同的方式来进行教学，使得处于各个水平阶段的学生都能够通过这种方式来提升水平。有些人认为，一些学生无法取得良好成绩主要是因为智力的原因，但是美国的一位专家却不认可这个原因，这位专家认为这些学生之所以无法取得良好的成绩，是因为他们没有获得适合自己的教学条件以及环境，并不是因为智力因素的原因，分层教学理论也就这样出现了，这种理论的出现也主要是为了给不同类型的学生提供适合他们的教学环境以及条件，从而使得每一个学生都能够获得进步和提升。对于高中数学来说，分层教学的方式是非常有意义的，因为通过实践我们能够发现，如果不能按照学生的具体水平来实施具有针对性的教学方式，那么所获得的教学效果是非常有限的。以往的一锅端教学方式，对于学生的心理发展和生理发育的不均衡性是缺乏关注的，同时把学生的学习兴趣和态度以及能力都看作智力因素来对学生进行定义，这也是不符合客观事实的。学生之间的各个方面的差异一直是客观存在的，如果一直按照原有的单一的教学方式，必然会不利于学生的数学水平提高，长此以往，会造成学生的数学水平两极分化更加严重。所以，在高中数学的教学过程中，利用分层教学的方法是符合客观需求的，同时也符合因材施教的教学要求，最重要的是能够提升对于所有学生的教学有效性。
二、高中数学实施分层教学的必要条件
首先，在实施分层教学之前，应该对于学生的具体情况进行了解，通过问卷调查、走访家长以及观察和谈话等方式，对学生的数学水平、数学学习方法以及情感进行了解和掌握。另一方面，也要充分考虑到学生的自尊心以及在日常生活中所面临的心理压力，在进行分层教学之前，进行思想教育工作是十分必要的，要把原因说清楚，让每个接受分层教学的学生能够清楚地认识到分层教学是对自己有利的，使得不同数学水平的学生都能够在教学过程中得到提升，潜力得到充分发挥。其次，要让学生能够通过自己的数学水平、数学成绩以及态度来自主选择学习层次，教师根据学生所进行的选择结合自己对于学生基本信息的了解以及学生的潜力和心理特征等方面，把学生按照2∶6∶2的比例分为三种层次，在分层的过程中，也要制定必要的发展目标和基本目标，并且要根据班级内部的具体情况来进行灵活的调整。
三、高中数学实施分层教学的具体措施
（一）教学分层
学生分层之后，数学教师要根据新课标的要求，针对每个层次学生的特点和数学水平的不同，制定针对各层次学生的教学内容和目标，并贯穿到整个教学过程中。教学目标和内容要具体，把学生的能力、性格等因素考虑进去。教学目标可以划分为多个层次，不同层次的学生完成的目标不一样。针对A层次的学生，数学教师要引导他们主动思考，并能够提出问题；对B层次的学生启发他们独立思考，理解并能解决一些简单的综合问题；对C层次的学生则引导他们掌握知识重点，能运用基础知识解答简单题目。
（二）任务分层
新课改要求现代高中数学教育要重视实践性，其课后作业和练习则逐渐被忽视。在分层教学理念的指导下，教师要根据学生的实际情况，依据大纲要求适当布置课后作业。针对C层次的学生，只布置一些简单题目，巩固所学知识；对于B层次的学生布置常见的难点题目，提高解决问题的速度；而对于A层次的学生则布置提高逻辑思维能力的题目。
（三）评价分层
以往的教学中，对学生的评价仅以成绩的高低作为唯一判定标准，由于教育的不断进步，人们逐渐认识到这种评价标准的片面性。不同层次的学生应该实行不同的评价标准，评价的方式应该多元化、综合化。教师评价学生时，要全面考虑到学生的性格、学习态度等各种因素，这样才能更深入地了解学生。数学教师要依据三个层次学生的不同情况，制定不同目标，然后在同一层次上进行比较。这种方式不仅可以增强同一层次学生的竞争意识，促进学生的进步，还可以增强学生的自信心。因此，进行分层次评价可以促使A层次的学生争取更好的成绩，增强B、C层次学生学习数学的兴趣，最终实现每一个学生都能全面进步的理想。
（四）辅导分层
数学教师对学生的辅导也采用分层的方法，属于高层学生的问题，其他两层的学生则不用解答。此时，教师可以安排他们做自己层次的习题，等到他们数学能力提高，进入上一层次，要求也就相对提高。另外，安排高层次的学生辅导低层次学生的学习，既有助于高层次学生检查自己对知识的掌握情况，又使下一层学生解决了学习上的困难。
尽管数学应用的广泛性是数学的一大特征，但常常被数学的严谨性和抽象性所掩盖。让学生真正体验到“数学有用”是培养学生数学应用意识的有效前提。数学教育中，在关注学生对数学基础知识、基本技能以及数学方法掌握的同时，也应该帮助学生形成一个开阔的视野，了解数学对人类发展的价值，尤其是它的应用价值，教师有意识、有计划挖掘数学知识在社会生活、生产及相关学科的应用，激发学生的兴趣，培养学生的应用意识与能力。
数学与日常生活息息相关，百分比、比例、统计等成为社会生活的常见名词，人口增长率、生产统计图、股票走势图等不断出现在大众媒体（报刊、电视、网络）上，储蓄、保险、购物决策、估算已成为人们难以回避的现实问题。数学与现代社会发展使得数学应用领域不断扩展。CT技术、核磁共振、数字电视、飞机设计、市场预测等领域都需要教学的支持。据不完全统计，近几年中考数学试卷中，除数学学科内部综合外，九成以上的数学试卷涉及到生物、地理、政治、历史、社会、生活等，解决退耕还林、治理沙化、水资源开发应用、生态环境等问题。与物理、化学结合更体现了数学的工具作用。因此，教学中多角度，多方位、多途径向学生介绍、展示数学的应用，如讲数学故事、应用数学知识讲座等，也可以鼓励学生自己通过多种方式收集数学知识应用的案例，撰写数学小论文。从而让学生感受到生活处处有数学、生活处处用数学，让学生体验到数学的价值，从而激发学生热爱数学。
二、开展实践作业和课题学习，让学生在活动中学数学用数学
从现实问题情景引入数学知识，解决知识的“入口”问题；把数学知识应用到现实情景中，解决知识的“出口”问题。在教学中，我们不能只给学生“烧中段”。学生不仅在数学理论和逻辑思维能力上要得到训练和提高，而且应用数学知识分析和解决实际问题的能力同样需要得到训练和提高。后者仅限于课堂教学是不够的。要学生会在实践中发现问题、提出问题，会使用数学知识来分析问题和讲座问题，还必须会把数学上得到的结论回到实际中解决问题。新教材安排的实习作业、课题学习是数学实践活动的主要形式。无论是实习作业，还是课题学习，都要立足于教学内容，引导学生自主参与，从教学的角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题引进实践活动，内容要立足于课标，问题的设计要符合基础性、多样性、层次性、开放性的原则，着重培养学生的数学应用意识、动手操作能力、创新意识，同时使学生学会与人合作，获得直接经验，并在探索、实践中获得积极的情感体验。
三、在数学教学中渗透数学建模思想
从数学应用能力测试结果分析，初中生掌握了一定的数学知识，但接触到实际问题时常感到束手无策，而学习数学建模的过程正是帮助学生应用数学的思想、方法、语言去描述和解决问题的过程。因此把实际问题经过抽象转化，构建数学模型，是培养学生应用意识与能力的关键所在。教学中应把数学建模渗透在日常教学之中。具体而言，可以用数学模型指导教材中应用问题教学；可以利用各种课程资源充分挖掘数学建模素材；还可以选择一些简单的实例培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
