时间：2023-10-07 15:45:05
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关键词：实践环节；案例专题化；教学法
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）40-0050-02
一、引言
《常微分方程》是高等院校数学类专业的一门应用性较强的基础课，但因其公式推导繁多，计算量偏大、理论性问题多，很容易让学生感觉枯燥、疲劳。随着现代教学方法的发展，特别是计算机多媒体等教学工具的引入，使得这门应用数学中最古老，但一直充满活力的学科的教学方法更加丰富，在教学效果上有了质的提高。现在国内外许多高校在开设这门理论课的同时，都相应地配套一个实践性教学环节，或称为《微分方程课程设计》、《微分方程数值解》等。通过专门编订教学指导书或教学计划，结合数学实验软件（如MATLAB、Mathematic或Maple），将理论课中相应内容通过图像直观展示，加深对问题的理解，同时拓宽应用知识的学习，如问题求解的编程实现、数值算法的精度分析等。理论教学可以训练学生的逻辑思维能力、计算推导和定性分析能力，实践环节能够帮助学生直观分析理解问题、提高学生计算机操作能力、增强学生理论联系实际解决问题的能力。在实际教学过程中，这种理论与实践相结合的教学，的确取得了很好的教学效果，激发了学生的学习热情，提高了学生的认知能力和动手能力。
通过几年的教学总结，我们发现实践环节教学的方式方法还存在许多可以提升的空间。比如，在《微分方程课程设计》的指导书中，算法的分析、结果显示主要针对一些普通微分方程例子，而那些生活中的实际问题所占比例并不多，不能很好地体现《常微分方程》“应用性较强”的课程性质，同时也难以在培养学生的分析问题和处理问题的能力上收到更好的教学效果。于是，我们通过收集大量应用案例问题，将其整理、归类并分散到各个实践小环节中去，让学生先“读问题”，然后“找方法”，再到“做问题”，最后“解决问题”。这也就是我们的“案例专题化”教学法的基本应用过程的简单概括。
二、实施前期准备
1.更新观念，集思广益，优化大纲。在实践课中，老师已不再是高高在上的“师者”，不再仅仅是“传道、授业、解惑”，我们要让学生变“俯首听命”为“操刀上阵”！上世纪70～80年代，英国学者劳伦斯首倡“教师作为研究者”的理论。他提倡教师在教学上采用探究的方法，而不是采用讲授、指导的方法，教师应以学习者和研究者的身份出现，而不是以经验和技术型专家的身份出现。随着教育改革的深入，这样的观点受到越来越多人的认可。为了让学生更好地在实践环节中“学以致用”，老师必须在实践环节中做“顾问参谋”，师生协调共同参与“案例专题”的分析处理。我们咨询了许多有多年讲授经验的同事，并对国内外多种教材进行了分析，比如美国经典教材，就采用先给出应用案例再进行理论分析的模式，国内王高雄老师等编的《常微分方程》第三版教材[1]的绪论以及各章中都引入了大量实例，同时增补了数值计算章节。因此，我们对实践环节的教学大纲进行优化改进，将算法的讲解部分压缩，留出足够时间让学生来“讲问题，做问题”。
2.资料收集，整合归类，合理分布。比如，通过对同步教材中的例子的整理，其中物体冷却过程的数学建模问题，因其构建的方程是比较简单的一阶方程，我们将其作为实践课程的第一个基本案例，并设定要求用至少两类基本Euler法求解，并用图像来展示，分析其结果的差异，并给出合理的解释。又比如，大纲中微分方程组的数值处理部分，我们选取生物学中的两物种捕食模型和三物种食物链模型的案例来组织。在讲解Runge-Kutta方法时，预设“刚性问题求解”的案例，以两类高阶方程为例，对比选择一个非刚性方程问题（如：数学摆）和一个刚性方程问题（如：Van-del-Pol方程）。这是前期教学准备工作的关键，大量收集并对案例进行分类整理，归类划分，建立充实的案例专题库，并能实时更新补充。
3.动态调控，精选方案，优化过程。前苏联大教育家巴班斯基，提出教学过程最优化的理论[2]，他把教学过程最优化理解为：教师有目的地选定一种建立教学过程的最佳方案，保证在规定时间内解决教养和教育学生的任务，并取得尽可能最大的效果。他特别强调了五个不可或缺的最优化因素中的关键是选择最佳方案，其本质是获取最优效果。我们在实践教学过程中，充分调动学生的主观能动性，还会根据学生的学习实际情况，及时调控案例任务，在案例专题库中选调更优案例，优化实践环节的教学过程。
三、实际操作
实践环节的课程设计与《常微分方程》同步进行，授课对象是大二的本科生，已经修过《数学实验》[3]或类似课程，在数学实验中具备了基本的算法分析能力和动手编程能力[4]。因此，实践环节中，根据大纲章节顺序有层次、由浅入深地布置案例题，让学生按照“读问题—找方法—做问题—解决问题”的步骤进行学习和自我学习，让学生在对案例专题的探讨过程中，学会基本数值算法，思考、分析问题，然后去求解问题。
1.读问题。每一个案例，它首先是一个应用题，要求学生读懂它，让他们自己去回答“问题是什么，做什么，要求怎么做”，以分组或个人的形式去分析案例，并按照案例中的问题和要求去思考，使学生主动咨询和收集相关资料，为下一步工作做好准备。
2.找方法。“工欲善其事，必先利其器”，让学生对案例中引出的数值处理方法进行学习，然后用来处理案例。案例中提出需要用到的方法，正是大纲中要求的相应数值方法的学习内容。比如，在“用后退Euler法来分析Logistic模型初值问题”中，要求学生首先主动学习Euler法，然后有目的去分析对比几类Euler法，理解并采纳具有绝对稳定性的后退Euler法来解决问题。又比如，“一类化学方程的刚性问题的Runge-Kutta方法处理策略”中，自然要对Runge-Kutta方法了解深入透彻。
3.做问题。“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，学生学会方法之后，重点就是针对问题去认认真真地做，这也是我们实践课的重要目标之一。在做的过程中，严格执行学生自己完成任务的要求，可以适当放宽时限。另外，可以让学生课堂上汇报自己的进程、结果，这也起到督促作用，同时还能激励他们主动学习。
4.解决问题。这是案例专题的最后一环，不可忽视它的重要作用。一方面，问题的解决需要进行上机检验，可以用现场操作、实验报告等方式展示结果，也便于老师评价打分；另一方面，解决问题后的反思总结不可或缺，可以让学生对所学知识有个很及时的“反刍消化”过程。
四、结束语
坚持以人为本，加强培养创新意识，运用多种方式着力培养学生的学习主动性，一直是《常微分方程》的实践教学环节的教学改革目标。“案例专题化”的教学方法，由“案例引方法”再“用方法做案例”，以学生为主体，教师做“顾问”，在实践环节的具体教学过程中，有效地激发了学生去快乐学习、主动学习和创新性学习。
参考文献：
[1]王高雄，周之铭，等.常微分方程[M].第三版.北京：高等教育出版社，2010.
[2]俞国良.当代青少年心理与教育大辞典[M].太原：山西人民出版社，1999：442.
[3]张智丰.数学实验[M].北京：科学出版社，2008
（郑州工业应用技术学院，河南 郑州 451150）
摘 要：微分方程的研究对于数学、物理等各方面的研究都具有重要意义.微分方程的应用在我们日常生活中常常会存在，其应用范围具有相关的广泛性.通过对微分方程的研究可以使我们更好的了解生活中的动态变量问题，从而使我们能够实现动态角度的分析，将生活研究更加真实化准确化.一类微分方程是微分方程中形式较为简单的方程结构，对一类微分方程的解及解的导数进行研究，对我们学习微分方程具有重要作用.本文通过对一类微分方程的求解和一类微分方程解的导数的角度，探讨一类微分方程的解及其解的导数与不动点的关系，从而帮助我们更好地进行微分方程的学习.
关键词 ：一类微分方程；方程解；解的导数；不动点
中图分类号：O175.8 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2015）05-0001-03
微分方程作为数学学科的分支，在现实生活中的应用十分广泛.微分方程知识在物理学中的许多变量问题的求解中均有涉及，在化学中的动态变化中也有运用.此外，微分方程还广泛地应用于工程学、经济学等诸多方面.一类微分方程是形式相对简单的微分方程，通过对一类微分方程进行研究，可以更好地帮助我们进行多元微分方程的研究，强化我们的数学基础.同时也有助于相应物理学、化学、工程学等学科问题的研究和解决.因此，对一类微分方程的相关特性进行研究具有重要意义，是实现各领域研究的基础.
1 微分方程的相关基本定义
微分方程指的是由未知函数的导数与自变量之间形成的方程等式.微分方程的解是使微分方程等式两边成立的函数.微分方程具有十分广泛的应用，在物理学中许多涉及到动态的变化量的研究常用到微分方程.包括涉及到变力的动力学和运动学等，例如受到空气阻力的落体运动都可以利用微分方程进行求解.
当未知函数是一元函数时，未知函数导数与自变量之间的关系等式即为一类微分方程，也称常微分方程.当未知函数为多元函数时，未知函数导数与自变量之间的关系等式称为偏微分方程.微分方程的数学模型如图1.
2 一类微分方程的解与不动点
假设某一类微分方程形式为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，且M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左边部分即M(x,y)dx+N(x,y)dy为某个二元函数T(x,y)的全微分，则可以得到dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy.其中M(x,y)dx+N(x,y)dy=0为全微分方程，二元函数T(x,y)为该全微分方程的原函数.
如果T(x,y)是dT(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy的一个原函数，则对全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0进行通积分，可得到全微分的通积分T(x,y)=A，其中A为任意的常数[1].
如果F（x）≠T（x）Pk（x）＋1，其中Pk（x）是任意次数为k的多项式,则对于方程非零亚纯解f（x）的k－1阶导数f（k-1）（x）有无穷多个不动点，且τ（f（k－1））＝σ（f）＝＋∞和τ2（f（k－1））＝σ2（f）＝σ至多有一个例外解f（x）.
通过对微分方程进行方程假设和穷级转换，在非零亚纯函数的变化下，通过极点等数据方程转化，构建微分方程的等式典型乘积或通过多项式建立，对方程等式进行数学归纳.在对数测度为有限的集合条件中，通过范围假设，引理带入运算，建立相应的解集表达式.通过微分方程的解集表达式，进行方程式的解集求导，获取一类微分方程的解的一阶导数.对解集等式和解集一阶导数式进行变形，并代入上述引理等式中，通过变形转化和数据假设推断，从而得到不动点的关系等式.
5 结束语
综上所述，通过对一类微分方程进行求解和解的导数与不动点之间的关系研究，指出受微分方程的制约影响，一类微分方程的不动点密度与解和解的导数情况有着密切的关系.对一类微分方程的解进行分析以及解的导数情况进行分析，从而分析一类微分方程解与解的导数与微分方程不动点之间的关系，从而更好地帮助我们进行微分方程的学习以及高阶层微分方程的研究，从而将微分方程的数学知识应用到更多的领域，帮助各领域研究人员进行动态量的研究，从而提高各领域的应用水平的发展以及社会技术的发展和提高.目前，我们对于一类微分方程的解与解的导数和微分方程不动点之间的关系研究还不深入，因此希望后期更多研究者对微分方程进行更加深入的探讨和研究.
参考文献：
〔1〕金瑾,石宁生.一类微分方程的解及其解的导数与不动点的关系[J].数学的实践与认识,2011,41(22):185-190.
〔2〕石东洋,刘玉晓.一类微分方程的非协调元超逼近性分析[J].河南师范大学学报（自然科学版）,2010,38(3):175-178.
〔3〕梁霄,翟延慧.经济系统中一类微分方程模型的Hopf分支[J].伊犁师范学院学报（自然科学版）,2012,10(4):8-12.
〔4〕何力争.一类微分方程的特解问题[J].科学技术与工程,2010,10(6):1484-1485.
〔5〕姚慧丽,卜宪江,宋晓秋等.一类微分方程的指数增长的温和渐近概自守解[J].哈尔滨理工大学学报,2014,19(5):23-26.
〔6〕王鹏珍.一类微分方程适度解的存在性[J].科技信息,2013,11(18):503-504.
关键词：多媒体教学 常微分方程 Maple Matlab Mathematica
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1007-3973（2012）012-159-02
近年来，多媒体教学在高等数学教学中得到了广泛应用，成为了高等数学教学必不可少的辅助教学手段。常微分方程作为高等数学的重要课程，长期以来沿袭着传统的教学模式，使得教师尽管在教学重点与难点上耗费了许多精力。
1多媒体教学在常微分方程教学中的优势
通常情况下，在常微分方程的课堂教学中主要都是以给出方程的解法为主，这里所指方程解一般都是解析解，但是由于很多方程都没有解析解法，故此只能给出相应的定性理论分析。由于常微分方程本身的抽象性，使其方程解所对应的积分曲线显得过于抽象，这为学生进一步了解与之相关的概念增添了一定的难度。若是能够在课堂教学的过程中，采用一些直观形象的图形，则可以使学生对常微分方程的解以及与之相关的概念了解的更加透彻，这有利于提高教学效果和教学质量。然而，在大多数院校中，常微分方程的教学始终都沿袭着一块黑板、一只粉笔的教学模式，在这种教学模式下，学生对于一些难以理解的概念和图形常常会束手无策，这在一定程度上打消了学生的学习积极性和主动性，教学效果不尽人意。为此，必须打破这种传统的教学模式，多媒体教学的出现为解决这一问题提供了有利条件，其在常微分方程教学中的优势具体体现在以下方面：（1）教学信息量得以显著增加，进而使课堂教学效率大幅度提高。多媒体教学手段在常微分方程教学中的应用，可以使教师将更多的时间和精力花在双边教学活动中，这无形中增大了信息的传递量，有助于拓宽学生的知识面，使其能够在课堂上学到更多的知识；（2）有效地增强了教学的生动性和直观性，大幅度提高了学生的学习兴趣。多媒体教学课件能够将图形、文字和声音有机地融为一体，使原本抽象的问题，变得直观、形象，这样学生对课堂教学的内容更容易理解和掌握，并且也有利于激发学生的学习兴趣。
2多媒体教学在常微分方程教学中的具体应用
2.1 Maple在常微分方程教学中的应用
Maple是一款可用于进行数值计算和图形处理的数学软件，该软件具有极其强大的功能，如计算、绘图和仿真等等。可以通过Maple软件来研究常微分方程的数值解法，并以其强大的绘图功能来演示几何特征较为明显的概念，如奇解等等。这有助于学生更加深入地了解并掌握常微分方程求解的方法。教师以这种形象生动的教学方式更容易吸引学生的注意力，便于学生对常微分方程理论知识的了解和掌握，而且还可以将理论与实践有机地结合到一起，使原本抽象的课程变得生动形象，学习难度大幅度降低，教学效果和教学质量得以显著提高。高校在常微分方程的教学中，几乎都是先学习一阶常微分方程的解题方法，而初等积分法则是最为常用的方法之一。虽然初等积分法可以求出常微分方程的解，但是却并不能求出常微分方程全部的解，而且想要通过求积分将方程的解以函数的形式表示出来也是很难实现的，这对于初次接触常微分方程的学生而言，很难真正理解其中的一些概念，如积分曲线、方向场以及等倾线等等。而借助Maple软件则能够有效地解决无法用初等积分法求解的常微分方程。
例1 ：求=x+y这一常微分方程的通解。运用Maple软件的解题步骤如下：
首先键入 这一命令；
然后再键入 。
由以上操作便可以得到一个含有常数项CI的通解，若是给该解制定一个特定的值，则可获得特解。如果初始值y（0）=2，那么Maple的命令为：
；
最终得出的结果为 。
要是还需要画出该方程的解，则可在Maple中键入以下命令：
；
其结果为 ；
再通过 这一命令便可以获得常微分方程解的图形。
2.2 Matlab在常微分方程教学中的应用
Matlab是一种应用于计算数值和处理图形的数学软件，它构建了一个简单便捷的交互式工作环境，将计算、程序设计和可视化集于一体，具备设计应用程序、符号运算、原型开发、工程计算、数据分析及可视化、算法研究、工程绘图等诸多功能。Matlab内提供了有利于求解高等数学问题的命令，如求解积分、导数、常微分方程（组）解、微分的命令，以及有利于绘制多种二维、三维图形的绘图命令。所以，Matlab已经成为部分高等应用数学课程实施多媒体辅助教学的有效工具。在常微分方程教学中，教师可以应用Matlab讲解常微分方程的数值解法，也可以利用绘图命令对某些概念的几何特征进行演示。如，将Matlab应用于奇解的几何意义解释中。
例2：数值试验二方程 的通解为 ，奇解为 。为了准确解释该奇解的几何意义，可在对c选取特殊值的基础上，利用Matlab代码绘制积分曲线族和奇解的曲线。
2.3 Mathematica在常微分方程教学中的应用
目前，Mathematica是全球应用最为广泛的一种符号计算系统，它具备多种功能，如符号与数值运算、动画制作以及绘制数学图形等等，该系统以其自身强大的功能被广泛应用于航空航天、机械制造、数学、化学、物理以及社会学等诸多学科领域当中。就常微分方程而言，其属于较为抽象的一门课程，由于这门课程本身的抽象性，给教学增添了一定的难度，如何进一步提高该课程的教学质量，一直是教师们努力的方向。Mathematica软件在该课程中的应用使诸多教学难点迎刃而解，如借助该软件的数值计算和绘图功能，可以让学生进一步了解某些常微分方程的性态，并且还可以运用该软件的符号计算功能直接对常微分方程进行求解。此外，利用计算机和相关的数学软件还可以进行常微分方程实验，这样一来，学生既能动手操作，又能动脑思考，有效地激发了他们的学习兴趣，进而促进了学生独立思考和综合应用能力的提高。下面简要介绍Mathematica软件在方向场、积分曲线与微分方程的近似解中应用。在=f（x，y）这一微分方程中，其积分曲线是始终顺着线素场行进的曲线，由此可知，每一个点都会与线素场相切。如果在方程不可积的情况下，那么便可以按照线素场的实际走向来求出最为近似的积分曲线，并且还可以按照线素场自身的性质来对微分方程解的性质进行研究，在这一过程中，并不需要提前求出方程的解，该解题思路完全符合定性理论和近似解法的思想。然而，在实际解题过程中，由于方向场的图形比较复杂，若是采用手工制图的方法不仅费时、费力，而且还很难得出规范的图形。而借助Mathematica软件来辅助教学便可以使该问题迎刃而解。
例3：在求微分方程 的方向场时，便可运用Mathematica软件来完成，具体步骤如下：
打开Mathematica后，输入
运行后便可获得图2。
3多媒体教学在常微分方程教学中应注意的问题
将多媒体教学应用于常微分方程教学中，转变了“黑板+粉笔”的传统教学模式，在提高常微分方程教学效率方面发挥着不可替代的作用。但是，教师在运用多媒体辅助教学技术的同时，也应当处理好教学中容易出现的几个问题，正确看待多媒体教学的利弊关系。
3.1处理好教学内容与教学时限的关系
常微分方程课程具备内容丰富、信息量大的特点，在教学过程中，不仅要确保教学内容符合学生的认知规律，使学生能够理解知识、应用知识，还应当在运用多媒体教学手段的基础上，充分利用有限的教学时间讲清教学重点和难点，保证教学内容与课件的有效衔接，力求在教学时限内帮助学生掌握学习重点与难点。
3.2处理好知识传授量与知识吸收量的关系
多媒体教学可以最大限度地扩充教学信息量，使教师在节省黑板板书时间的情况下讲授更多的内容。但是，教师若不能很好地控制多媒体教学节奏，则会让学生思维滞后于教学节奏的变化，使得知识吸收量远远小于知识传授量。因此，教师应当把握好多媒体教学的合理停顿，给予学生充足的记笔记时间和思考的时间，并适当结合板书教学，帮助学生理解和掌握教学难点。
3.3处理好多媒体教学与传统教学的关系
随着计算机在我国各大院校的普及应用，为多媒体教学提供了一个良好的平台。虽然多媒体教学有着传统教学方法无可比拟的优越性，但其也存在一定的局限性。如何处理好多媒体教学与传统教学方法这两者之间的关系，是应用多媒体教学时需要解决的首要问题之一。在传统的常微分方程教学中，应用多媒体教学的最终目的是要将两种教学方法的优点都充分发挥出来，这样才能使课堂教学效果和质量有所提高。在具体应用中，教师应当按照学生反馈回来的意见，对多媒体课件进行修改，并在课堂教学中恰当地将这两种教学方法结合在一起，发挥出各自的优势，扬长避短，进而达到提高教学质量和教学效果的目的。
参考文献：
[1] 镇方雄，陈将宏.常微分方程CAI教学课件的研制及其在教学中的应用研究[J].咸宁学院学报，2011（6）.
[2] 王玉文，王金凤，刘萍.多媒体教学在常微分方程教学中的应用[J].继续教育研究，2010（2）.
[3] 李浩荣，窦雯虹，童训化.“常微分方程”课件设计与教学实践[J].高等理科教育，2004（4）.
[4] 闫金亮.Matlab在常微分方程教学中的应用[J].武夷学院学报，2012（2）.
关键词：常微分方程；可解类型；成本和利润核算
常微分方程是代数中最简单但是亦是最重要的一类方程组，常微分方程是我们在解决日常经济生活问题中非常重要的工具，常微分方程的作用也非常之多，比如在航天领域、自动化领域、电子通信领域、化学反应研究领域等，科学前沿的方方面面都需要用到常微分方程来解决研究中的问题。许多难解的问题，解法中的式子最后都能化成常微分方程，所以常微分方程对于计算数学是极其重要的。遇到问题时，我们需要在已知条件中找出已知数和未知数的关系，并利用已知的关系列出方程，然后进行求解，逐步推出我们需要的未知数的值。
常微分方程式在经济学中的最重要的应用是其在公司成本与利润核算中的应用，成本与利润的常微分方程虽然简单易懂，但是其突破了传统的计算能力，运用计算机的运算能力，在短时间内可以完成人力几天甚至几个月的工作量，是现代科技力量对商业最大的贡献之一。可以说这一方程式在计算机中的运用是商业核算精准化和便捷化的最大保证，带来了现代商业会计核算、审计核算的革命。
数学知识运用到商业是古已有之，但是微分方程在商业计算中的应用，只能计算到资本市场的完全兴起，我们了解的最著名的例子莫过于电《大空头》里几位银行家合作做空资本市场的举动，虽然电影演绎的精彩绝伦，妙趣横生，但是现实中的事实远比电影来的精彩。2007年-2008年之前，john Paulson作为一个籍籍无名的对冲基金经理人，与华尔街精英圈无缘。在他四十岁的时候成立自己的基金公司，经过十年的默默打拼，2003资产规模才达到15亿美元，这在精英云集的华尔街连二流都算不上，当然这是他还没遇上他的同学Paolo Pellegrini之前，2004年10月，两人才正式合伙，虽然Paulson当时只给了Pellegrini一个初级分析师的职位，但是对于毕业于哈佛大学的Pellegrini来说这已经足够了。当第一次Pellegrini向Paulson建议用CDS工具做空美国房地产时，相信Paulson也是惊诧不已的，但是Pellegrini在大量基础研究的基础上，通过大量的模拟计算，说服了自己的老同学同时也是自己雇主的Paulson，Pellegrini向Paulson展示的美国房地产走势图，像一张藏宝图一样展示在他的面前，让他看到了做空美国房地产的美好前景和巨额利润收入。
没有微分方程的大规模运算和Pellegrini精准的分析头脑，把一张市场走势图摆在任何人的面前，他们都无法看到里面蕴藏的巨大财富。Pellegrini作出那张美国房地产走势图被誉为价值“200亿美金”，可想而知。
后来，在现实生活的应用中，人们又发现，往往解决问题并不需要求出通解或者特解，而是需要知道方程组在什么情况下会出现什么类型的解，就能满足一些生产生活的需要了。比如，给定一个方程，我们需要知道该方程在什么情况下存在解，什么情况下不存在解；或者，在给定方程的前提下，能够知道在什么条件下能求出几组通解，而哪些通解是对于我们求出所需特解有价值、有作用的。往往我们现在关注的多是这样的问题，而不仅仅限于寻找微分方程的解上。常微分方程的作用非常之多，比如在航天领域、自动化领域、电子通信领域、化学反应研究领域等，科学前沿的方方面面都需要用到常微分方程来解决研究中的问题。研究常微分方程的新的可解类型，是帮助我们在各个学科中，处理难题，突破难关的重要途径。所以我们需要对常微分方程的新的可解类型进行更深的研究，通过对方程组的解析来促进各个学科的蓬勃发展。
在经济学领域中，分租制和定额制在现代商业公司管理中作为两种最基本的管理模式的根本，受到各种研究者的青睐，要想分清这两种模式那个更加实用高效，必须用到常微分方程的计算方式，这也是数学对现代经济学的巨大贡献之一，计算出了分租制和定额制的优劣之后，现代公司才可以在此基础上选择适合本身的管理模式，才会衍生出现代意义上的国有公司，股份制公司，人公司和有限责任公司等各种形式，让我们明白了商业市场的运行子单位是怎样的构成部分。
许多微分方程要求求出方程的近似解，并且保证一定范围内的精确度就可以，人类的科技在不断发展，所需要的精确度也会越来越高，而随着数学学科的进步，能够求出的精确度也会越来越高，才能适应其他学科对于数学手段的需求。寻找常微分方程的新的可解类型是研究微分方程的科学家们、数学家们一直努力的目标。目前，已知的可解类型并不多，在变化众多的方程组中，目前已知的可解类型相比之下，还是屈指可数的，还需要通过大量的研究才能判断和解决其他的可解类型的常微分方程。
结束语：微分方程就是指未知数以导数的形式与已知数产生关系，也就是说，在微分方程中未知数是以导数形式存在的。这样的方程的求解过程可能非常复杂，对于求解的方法要求比较特殊。我们就可以利用微积分的知识求出一些微分方程的近似解。常微分方程的作用非常之多，是我们在解决日常经济生活问题中常用的一种手段。常微分方程的运用在的帮助下经济领域中取得了很大的进步，是企业的很多工作变得简单、清晰，在常微分方程的帮助下人们对经济规律认识精确度有了很大提高。尤其是近年，常微分方程在生活，经济领域的运用也越来越多。常微分方程作为辅助手段，让管理科学和经济科学的研究做到了简洁和精确。著名的数学家华罗庚先生就是将经济数学理论与生产实践活动很好结合的典范。数学方法，特别是常微分方程进入入经济科学的领域，成为了研究和分析社会经济现象与社会经济发展的有力工具。
（作者单位：沈阳师范大学）
参考文献：
[1] 一类新非线性常微分方程的可积判据-汤光宋，潘小群-《Academic Forum of Nan Du：naturalences Edition》-2001；
关键词：微分方程；模型；应用
对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之间的变化率，或变化速度、加速度以及所处的位置随时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个（偏）微分方程或方程组。所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物理学、化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等等。
一、微分方程数学原理解析
在初等数学中，方程有很多种，比如线性方程、指数方程、对数方程、三角方程等，然而并不能解决所有的实际问题。要研究实际问题就要寻求满足某些条件的一个或几个未知数方程。这类问题的基本思想和初等数学的解方程思想有着许多的相似之处，但是在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面依然存在很多不同的地方，为了解决这类问题，从而产生了微分方程。
微分方程是许多理工科专业需要开设的基础课程，微分方程与微积分是同时产生的，一开始就成为人类认识世界和改造世界的有力工具，随着生产实践和科学技术的发展，该学科已经演变发展为数学学科理论中理论联系实际的一个重要分支。随着数学建模活动的日益活跃，利用微分方程建立数学模型，成为解决实际问题不可或缺的方法与工具。
而数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构.简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
二、微分方程模型应用于实际问题的方法和流程总结
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
一般用于求解微分方程的方法或形式有三种，分别是求解析解、求数值解（近似解）和定性理论方法。而建立微分方程模型的方法通常也有三种，其一是利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型；其二是利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律；其三是在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
在建立数学微分方程的流程上，我们通常第一步是对具体实际问题进行分析，找出问题中的变化量和变量关系，接着进行模型假设，将实际问题的元素用数学概念代替，然后进行符号设定，简化计算，从而建立模型，进行求解，最后用求解的结果对之前的问题分析和模型假设进行验证，验证合理后进行模型的应用和评估。
三、微分方程模型应用领域归纳和具体案例分析
从应用领域上讲，微分方程大方向上的应用领域主要分社会及市场经济、战争微分模型分析、人口与动物世界、疾病的传染与诊断和自然科学这五个方面，如果细致来讲，其中社会及市场经济方面又包括综合国力的微分方程模型、诱发投资与加速发展的微分方程模型、经济调整的微分方程模型、广告的微分方程模型、价格的微分方程模型；战争微分模型包括军备竞赛的微分方程模型、战争的微分方程模型、战斗中生存可能性的微分方程模型、战争的预测与评估模型；人口与动物世界领域包括单种群模型及进行开发的单种群模型、弱肉强食模型、两个物种在同一生态龛中的竞争排斥模型、无管理的鱼类捕捞模型、人口预测与控制模型；疾病传染与诊断领域包括艾滋病流行的微分方程模型、糖尿病诊断的微分方程模型、人体内碘的微分方程模型、药物在体内的分布与排除模型；自然科学领域包括人造卫星运动的微分方程模型、航空航天器翻滚控制的微分方程模型、非线性振动的微分方程模型、PLC电路自激振荡的微分方程模型和盯梢与追击问题的微分方程模型等。
尽管从上述微分方程应用领域的罗列和总结上，我们会觉得比较复杂，其实所有微分方程建模问题的流程都是严格按照问题分析、模型假设、符号设定、建立模型、模型求解和验证模型这一流程进行的，下面就结合一个案例来具体分析：
比如弱肉强食微分方程模型。生活在同一环境中的各类生物之间，进行着残酷的生存竞争。设想一海岛，居住着狐狸与野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之丰富，兔子们无无食之忧，于是大量繁殖；兔子一多，狐易得食，狐量亦增，而由于狐狸数量增加吃掉大量兔子，狐群又进入饥饿状态而使其总数下降，这时兔子相对安全，于是兔子总数回升。就这样，狐兔数目交替地增减，无休止的循环，遂形成生态的动态平衡。那么，如何用建立数学模型描述并预测下一阶段情况呢？在这个问题上，某一时刻兔子数量和狐狸数量就存在变量关系：
其中ax表示兔子的繁殖速度与现存兔子数成正比，-bxy表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度；-cy表示狐狸因同类争食造成的死亡速度与狐狸总数成正比；dxy表示狐兔相遇，对狐狸有好处而使狐狸繁殖增加的速度。
四、结语
微分方程模型的应用让很多现实中难以具体计算的问题迎刃而解，通过对事物发展规律的掌控进行科学建模，是数学应用于生活的发展趋势，作为广大在校进行数学专业学习的同学来说，掌握好专业基本功，是将来就业工作，实现自身价值的重要途径。
参考文献：
[1]肖静宇. 几类分数阶微分方程的数值方法研究[D].哈尔滨工业大学，2013.
[2]付树军. 图像处理中几何驱动的变分和偏微分方程方法研究[D].北京交通大学，2008.
关键词：高等师范院校；课程教学；培养
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）02-0088-02
一、引言
常微分方程是高等师范院校数学与应用数学专业的主要基础课程。一方面，它是数学分析、高等代数等课程的延续和补充，另一方面，它是微分方程定性理论、偏微分方程等课程的前提和基础。常微分方程是自然科学、社会科学中精确描述各种基本定律和相关问题的重要工具和手段。只要根据问题的前提条件和应用背景建立微分方程模型，利用相应的微分方程的求解方法计算出该微分模型的精确解或数值解，从而人们就可以利用其结果预见事情的发展趋势，比如2003年爆发的非典，根据非典的特点和发展趋势，数学家和医学专家建立相应的微分方程模型，并找到控制疾病的方法、研发有效的药物。由此可见，常微分方程变成人们发现、认识、适应、改造自然和世界的有力工具，也是将数学等理论应用实际的主要途径。因此，常微分方程对高等师范院校数学与应用专业学生应用能力的培养是至关重要的。
二、常微分方程课程教学模式改革的必要性
目前衡阳师范学院等高等师范院校在“常微分方程”课程教学中，存在一些问题和矛盾，结合以前学习常微分方程及现在担任常微分方程教学任务的亲身体会，笔者认为主要有以下几点：
第一，讲解应用实际问题例题方面不够。众所周知，在众多抽象的数学专业课程中，常微分方程是一门与自然世界联系非常密切的数学课程，可是，担任这门课程的任课教师在教学过程中，经常忽略这一特点，比如在教学内容的处理方面，根据教材，只注重讲授微分方程的基本定义、解的存在唯一性等基本理论和一阶或高阶微分模型的基本解法，很少补充讲授常见的微分方程模型的背景知识、如何分析模型、求解模型及模型的应用价值。事实上，许多的常微分方程模型在量子力学、社会关系学、医学中传染病、分子化学、金融经济学及气象学中应用非常广泛。分析和讲解这些实际问题的理论背景对于激发和培养学生学习常微分方程的兴趣是至关重要的，使他们深刻意识到常微分方程模型在求解具体实际问题发挥非常重要的应用价值，从而培育学生的发现、分析和解决实际问题的能力，进一步激发他们的创造性。
第二，处理教材的教学内容方面不太合理。许多重要的定理（例如一阶微分方程解的存在唯一性定理），任课教师在课堂上只简复述一下定理的主要内容，然后简单板书一下定理证明的五个步骤，没有阐述清楚为什么要分五步来证明，也没有着重强调它与微分方程组或高阶微分方程解存在唯一性的相互关系；还有一些重要的基础内容（例如，质点振动、第二宇宙速度计算等），许多任课教师一笔带过或略讲，这些内容恰恰体现常微分方程在物理学中的应用，学生可以用常微分方程相关知识来求解中学时学过的物理知识，简单明了，从而激发学生学习常微分方程的兴趣；此外，有些知识点（例如奇解、数值解等）虽然课程设置不作要求，不在常微分方程考试范围内，任课老师就只字不提，然而这些知识点在研究生课程――《微分方程定性理论》及《微分方程数值解》中占有十分重要的位置。
第三，调动学生学习积极性方面不够。当前在中国，大学生学习专业知识积极性不高是一种非常普遍的现象：课前很少有学生自觉预习，课后自动复习的学生少之又少，导致课堂上检查预习和复习的效果很差；课堂上提问题的学生比较少，课后向老师请教的学生更少了，而在美国大学课堂上，有疑问学生可以直接向任课教师提问或者探讨不同的观点，或者利用随身带IPAD等电子设备查阅相关的参考文献来验证，课堂气氛非常融洽；做作业也只完成教师指定的作业，大部分学生相互抄袭，很少有学生把课后所有作业都独立完成，课程考试成绩一般由期末考试和平时表现决定，而在美国，学生可以自由选择课后作业，独立完成，课程考试成绩由期末考试、月考和平时表现决定。造成这种想象的原因有很多：监考制度不严，平时学习好的考试不一定得高分；就业压力大，成绩优秀的不一定能找到好工作；近几年来我国高校的扩招，导致所录取的大学生整体素质不高，学生接收消化知识的能力下降；最近社会涌现出一批低学历的暴发户，让大学生认为创业更容易发挥自己的价值，感觉没有考上大学的比考上大学的混得更好等等。主要原因是由任课教师的课堂教学的引导造成的，在教学过程中，从这一章节到另一章节，知识点衔接不好，学生不能发现它们之间的联系，把握不好整个课程知识的整体框架，相关知识点之间的融会贯通的能力差，学完课程不能发现它的用处。
三、关于常微分方程课程教学改革的几点建议
众所周知，每一门课程都有它自己独有的特点，常微分方程具有理论、实际和计算的鲜明特点。理论是指微分方程（组）解存在唯一性定理、稳定性、奇点、极限环、分支和混沌等，因为一般情况不能直接找到微分方程的（通）解，通常只能利用MATLAB等软件得到其似近解，然而这些理论就是其数值计算的主要依据；实际就是指微分方程与自然社会联系紧密，微分方程关系表达式就是描述自然社会中量与量之间的关联；计算是指利用已知条件求出微分方程（组）的（通）解。显然，常微分方程的教学改革不只是改变教学手段和方式，而依据其特点，调动学生的学习积极性，提高学生解决实际问题的能力，从而达到良好的实际效果的变革。因此，针对常微分方程课堂教学中出现的问题和矛盾，我们制定以下几条措施。
第一，凸显常微分方程的应用性。常微分方程作为高等师范院校数学与应用数学专业人才培养方案的核心课程，具有很强实际应用性。具体体现在：客观实际中许多抽象数学理论主要通过建立微分方程模型来实现在其他学科的应用，比如著名牛顿运动定律、RLC电路、质点振动、Malthus人口模型、传染病模型、化学动力学模型等都可以通过常微分方程来建立数学模型。首先，作为任课教师必须在课堂教学上向学生解释这些微分方程模型的实际背景，如何重述实际问题，课堂上演示如何将问题转化，从而建立相应的微分方程模型，接着引导学生利用所学的微分知识对已经建立的微分方程进行求解，然后根据问题的实际背景对所建立的模型进行修正和改善，从而建立合理而又客观的数学模型，这样既有利于提高学生的分析问题和解决问题能力，又激发学生的学习兴趣，简而言之，任课教师要不断培育和增进学生的数学建模能力；其次，在布置课后作业时，任课教师要据学生的情况设置一些实用性、趣味性、开放性的习题，告诉学生完成作业的方式可以多种多样，例如学生分组，一起讨论、相互合作，共同完成作业，完成的时间很宽裕，这样既调动了学生学习的积极性，又可以提高学生团队合作能力；再次，有条件的教师鼓励学生参与自己的科研立项项目，或者指导学生申报大学生研究性创新项目；最后，期末考试内容和形式也可以多样化。
第二，整合与优化课堂教学内容。任课教师在讲授常微分方程过程中，根据自己的教学对象，对教学内容进行整合与优化。首先，由于高阶微分方程可以等价转化为一阶线性微分方程组，因此高阶微分方程存在唯一性定理及其基本理论与一阶线性微分方程组的相应内容非常相似，通过对比讲授，它们的相同之处可以快速讲过去，重点分析它们的不同的地方，这样既可以在较少的授课时间内完成教学任务，缓解学生学习的压力，又能增加学生的印象，从而真正地理解和掌握这两部分内容。教师应从课外选出一些有代表性的习题，尤其是考研的试题作为例子进行讲解，这样授课的范围不仅仅局限于教材，避免出现照本宣科的现象，提高学生的学习兴趣，同时可以增强学生考研的信心。
第三，增强师生的互动性。在教学过程中真正充分发挥学生的主体作用，让学生养成自主学习的习惯、培育敢于探索的精神是高等师范院校数学与应用数学专业常微分方程教学方法改革的核心。就像在美国大学课堂教学中，学生事先预习，先了解一些基本概念、基本问题，容易理解的知识点，在时间充裕的情况下可以让学生在课堂上讲解，有不同观点的可以相互阐述，同时允许学生自己查找各种相似问题，在课堂与老师、同学们分享，这样真正让学生参与到教学过程中来，能够充分调动学生学习积极性。另外，任课教师在讲授例题时，从问题的研究背景、问题的引入到解决，处处设置疑问，留下伏笔，提出问题，尽可能激发学生的好奇心和求知欲，启发和引导学生分析问题。总而言之，在例题解答过程中，学生参与讨论，勇于发表自己的观点，营造一个师生平等、有问有答的课堂环境，从而培养学生自主学习的好习惯，增强学生不怕困难、敢于钻研、不断探索问题的能力。
四、结束语
面向新世纪，为社会培养出更多理论知识扎实、专业知识过硬、实践能力超强的应用技术型本科人才，每一个从事高等教育的人民教师，都应该及时转变教学观念，调整和优化教学内容，更新教学手段和考核方式，为制定与时俱进的课程体系贡献自己的光和热！
参考文献：
[1]王高雄，等.常微分方程[M].第2版.北京：高等教育出版社.2003.
[2]马知恩.深化教学改革 加强师资队伍建设 培养高素质创新型人才[J].中国大学教学，2011，（3）.
【关键词】微分方程 生物信息学 案例式教学法 问题式教学法
【中图分类号】O175 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）10-0060-01
生物信息学作为一门交叉学科正在迅猛的发展，通过将数学科学知识和技巧引入生物科学的领域，帮助生物学家解释各种生命现象。同时，生物学又为数学家提供了丰富的研究课题。微分方程是数学专业的核心基础课，也是其他工科专业的必修课程之一，为其解决实际问题提供必要的数学知识。微分方程通过对自然科学和社会科学中的问题进行数值或者定性的描述，帮助人们对事物的发展进行预见。微分方程在众多的领域应用广泛，包括物理学、航天、医药、化学和生物学等领域。随着完成测序的生物数量的迅速增加及更深入广泛的了解基因功能，生物网络的研究在生物信息学中越来越受重视。由于微分方程系统的灵活强大，有利于描述生物网络中的复杂关系。因此，微分方程课程被生物信息学专业作为重要的必修课程之一。由于本课程数学理论丰富应用性较强的特点，在给非数学专业学生授课的过程中往往面临两难的境地：一方面如果按照数学专业授课模式侧重数学理论的介绍就会脱离本专业的特点，应用性欠缺使得学生缺乏兴趣；另一方面，如果大量介绍应用，又会因为学生数学背景知识的缺乏而造成学生比较迷茫。如何在授课过程中将理论和实际内容有机的结合，从而使学生在学习中产生兴趣值得思考。本文结合生物信息学的专业特点，总结了微分方程在教学过程中的一点体会。
1.合理的整合教学内容
关于微分方程的教材很多，但是一些教材偏重于理科注重公式定理的推导证明，没有实际应用的举例，公式抽象语言晦涩学生难于理解。本校生物信息学本科专业采用的教材是周义仓编写的常微分方程及其应用，其内容上在反应数学理论严密性的同时，强调了建模、应用和计算机等特点，每章使用数学软件进行具体实例的解析。
首先，在吃透教材的基础上对教学内容进行合理适当的调整。在了解数学背景知识的同时更注重微分方程理论的应用性而不关注数学公式的推导。
其次，注意不同知识点的归纳总结。在教学过程中注意及时的整理和总结，帮助学生理清它们之间的区别与联系。同时，这些理论知识的落脚点就是众多不同类型微分方程的求解，针对不同求解方法进行归纳，强化训练。
最后，注意学生实际的动手操作能力。结合实验课针对每章的教学内容锻炼学生的实际动手操作能力，结合Maple或Matlab软件判断微分方程的类型并进行求解。除此之外，可以适当增加实际的问题，例如药物代谢、基因调控网络等生物信息学中的经典问题进行数学建模、求解方程、解释实际现象。
2.多样化的教学方法和手段
微分方程涉及很多数学理论的推导，因此在数学专业中往往采用板书的方式。既能帮助学生理解推演过程，又能根据学生理解情况随时调整。但是对于生物信息学专业单纯的板书或者多媒体教学都会导致单调枯燥，影响学生的学习兴趣。将二者有机的结合，通过板书将复杂的理论知识在黑板上演示，同时将微分方程的图形利用多媒体技术展现使得课堂教学更具有直观性，使学生更容易理解教学内容并加深印象。在教学过程中适当引入讨论式教学方法，针对实际问题让学生进行分组讨论有利于培养学生积极探索、勇于创新、敢于质疑的学习态度。
3.理论联系实际
对于微分方程的内容，如果只进行理论的学习而不进行上机的实际操作无异于是纸上谈兵，上机的操作如果仅仅局限于是方程的求解和判断也仅仅是浪费时间。通过上机时间不仅锻炼学生将所学算法程序化和学生的逻辑思维能力，还要提供学生应对问题的解决能力。随着海量基因组数据的出现，如何利用基因组数据分析基因调控网络和代谢途径是生物信息学研究人员亟待解决的问题。利用微分方程演化生物网络中的复杂关系得到了广泛的应用。针对微分方程在基因调控网络中的应用，让学生体会将实际问题数学化，建立模型求解方程，解释实际问题，培养学生解决实际问题、提高算法分析与设计的能力。其次，积极鼓励学生参与数学建模竞赛活动，在活动中让学生体会运用理论知识解决实际问题的乐趣。
4.灵活的评价机制
传统的考核办法采取单一的笔试成绩，但这往往不能评价学生的综合素质以及知识的掌握程度。在考核内容上主要突出三点内容：（一）对基本概念的掌握程度；（二）分析问题与解决问题的综合实力；（三）考查学生对微分方程求解方法和技巧的掌握。
对于生物信息学专业的学生，要求有强大的数学与计算机功底解决生物学问题。因此既要有扎实的理论基础，又要求具有分析和解决实际生物学问题的能力。面对微分方程这门课程，既要重视数学理论的教学，又要注重对学生解决生物学实际问题的引导，结合本专业的特点及培养目标，培养学生分析问题和解决问题的能力。
参考文献：
[1]郭伟艳， 常大全， 王敏慧. 浅谈微分方程教学中能力的培养. 绥化学院学报. 2006， 26 （2）： 48-49.
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[4]季瑞瑞， 刘丁. 一种基于分数阶微分方程模型的基因调控网络构建方法. 西安理工大学学报. 2011， 27（2）： 127-131.
作者简介：
王芳（1982- ），吉林人，哈尔滨医科大学生物信息科学与技术学院，讲师，主要研究方向：生物信息学，计算表观遗传学。
