时间：2023-08-31 16:23:18
序论：在您撰写三角函数值规律时，参考他人的优秀作品可以开阔视野，小编为您整理的7篇范文，希望这些建议能够激发您的创作热情，引导您走向新的创作高度。
关键词：直角三角形；边角关系
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）04-244-01
直角三角形的边角关系，在现实世界中应用非常广泛。而锐角的三角函数在解决实际问题中有着重要的作用，如测量距离、角度、高度等问题，特殊角30度、45度、60度角的三角函数值也是经常用到的，但许多学生在应用这些特殊角的三角函数值解决问题时，却总是出现记忆不牢靠或者张冠李戴的现象，如何让学生牢固并熟练掌握这些特殊角的三角函数值呢？我觉得可以从以下几个方面去加强。
一、引入图形，让学生建立清晰的第一印象
由于含30度、45度、60度的直角三角形三边之间有着特殊比例关系，因此，教学时为了便于学生理解和记忆，可以根据含这些特殊角的三角形的边角之间的关系，画出相应的图形，如30度角所对的直角边，所临的直角边，斜边之比为1∶√3∶2，含45度角的直角三角形三边之比为1∶1∶√2，让学生自己独立完成这几个特殊角的三角函数值的求值过程，学生根据定义，便可得到各角的三角函数值，学生经历了特殊角的三角函数值的求值过程，由于图形的直观作用，必然会产生清晰的第一印象，方便了记忆。
二、利用三角函数的增减规律进行记忆
在直角三角形中，当锐角的度数一旦确定，它对应的正弦值、余弦值、正切值也随之确定，当锐角的度数发生变化，它的正弦值、余弦值、正切值也随之发生变化，为了帮助学生探索并理解随着锐角度数的增大或减小，它对应的正弦值、余弦值、正切值变化的规律，可设计有公共锐角顶点且一直角边有重叠，以及斜边相等的一系列直角三角形，通过图形，学生会直观的感受到，当锐角的度数逐渐增大，它所对的直角边也随之增大，它所邻的直角边则随之减小，所以会很自然地得出结论，正弦值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角的增大而减小，正切值随锐角的增大而增大，用锐角三角函数的增减性，学生记忆这几个特殊角的三角函数值就会容易许多。
三、寻找数字规律巧妙记忆
在记忆30度、45度、60度角的三角函数值时，可引导学生通过比较，寻找数字规律，巧妙记忆，如30度、45度、60度角的正弦值分母都是2，而分子依次对应为：1即√1，√2，√3，而余弦值分子则分别是√3，√2，√1即1，分母也都是2。
四、利用互余两角正弦和余弦之间的关系，及同角三角函数之间的关系，通过比较与联系记忆。
关键词：三角变换；诱导公式；倍角公式
三角变换是高中数学的重要内容，是历年高考的必考内容，但也是学生们比较头疼的地方，总结起来原因有二。第一，三角公式繁多，记忆时容易出错；第二，即使公式都记住了，用公式解题时不知道该用哪一个公式。本文就针对学生学习时容易出现的问题，探讨怎样巧记活用三角公式进行三角变换。
一、把握公式规律，巧记公式
对三角公式的准确、熟练记忆是进行三角变换的前提，但是三角公式繁多：同角三角函数的基本关系式（8个）、诱导公式（36个）、两角和与差的三角函数公式（6个）、二倍角公式（5个），再加上各组公式的变形，总共有60多个公式。如何才能保证记忆时不出现错误呢？这就要求学生在记忆时不要死记硬背，而是要把握其中的规律，巧记公式。下面，介绍各组公式的记忆方法。
1. 同角三角函数的基本关系式
这组公式常称“三类八式”，即这八个公式分为三大类：平方关系、商数关系和倒数关系。八个公式可画一个六边形来记忆。
记法：①在最长对角线上的两个三角函数的乘积为1。如：tanα・cotα=1；②在3个倒三角形中，上面两个顶点的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方（中心点为1）。如：tan2α+1=sec2α；③任意一顶点上的三角函数值等于与之相邻的两个顶点的三角函数值的乘积。如：sinα=tanα・cosα.
2. 诱导公式
诱导公式看似很多，其实可以概括为一句口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。诱导公式左边的角可统一写成k・±α(k∈Z)的形式，当为奇数时，等号右边的三角函数名称与左边的三角函数名称正余互变，当k为偶数时，等号右边的三角函数名称与左边一样；而公式右边的三角函数之前的符号，则把α当做锐角，k・±α为第几象限，以及左边的三角函数之前的符号即为公式右边的符号。
3. 两角和与差的三角函数公式
这6个公式可分为三组，故可分为三组来记忆。每一组的特征都很明显：两角和（差）的余弦：余余、正正、符号异；两角和（差）的正弦：正余、余正、符号同；两角和（差）的正切：分子同，分母异。
4. 二倍角公式
其实，二倍角公式是两角和的三角函数公式当两角相等时的特殊情况。把握住这点，记住两角和的三角函数公式，二倍角公式自然就记住了。有规律有方法地巧记公式，有事半功倍的效果。
二、总结题型规律，活用公式
记 住了三角公式，如果不了解三角变换的提醒规律，也很难去用公式解题。三角变换题目虽然很多，但是也是有规律可循的，大致可以分为以下几类。
1. 角的变换
进行角的变换常用的公式有诱导公式、两角和（差）公式和二倍角公式。因此，题目当中需要化角时就要想到用这些公式，而不是往别的公式上去套。例1：已知α、β为锐角，且sinα=，cos(α+β)=-，求sinβ的值。解析：此题就需要用到角的变换β=(α+β)-α，然后两边取正弦，右边用两角差的正弦公式展开即可。
2. 函数名称的变换
一般是切割化弦或弦化切割，常用公式为同角三角关系式中的倒数关系式和商数关系式。例2：已知tanα=3，求的值。解析：已知正切的值，求关于正余弦的值，很显然只能采用公式tanα=。
3. 常数变换
在三角变换中，有时需要将常数化为三角函数值，比较常见的是“1的变换”，常见的变形有1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=cot2α-
sos2α。例3: 若2k?仔-≤α≤2k?仔+(k∈Z)，则+的化简结果为( )。解析：巧用常数1的变换：1=sin2α+cos2α，则1-2sinαcosα= sin2α+cos2α-2sinαcosα=(sinα-cosα)2，同理，1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2，再结合角的范围开方即可。
4. 幂的变换
降幂是三角函数变换时常用的方法，对次数较高的三角函数公式一般采用降幂处理方法，常用的降幂公式有：二倍角公式的逆用和同角三角函数平方关系式，降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂处理变成有理式。例4：化简cos8x-sin8x+ sin2x・sin4x。解析：本题中三角函数的次数较高，需要从降幂入手进行化简，先后用到平方差公式，二倍角公式和sin2α+cos2α =1。
总之，三角变换题目比较灵活，其解法也千变万化，没有固定的、唯一的解法。所以，在解题时，应根据题目的特点确定解题方法和变换技巧，再选择有关公式，千万不能对公式生搬硬套。如果在学习过程中多归纳、多总结，注意分析题目的结构及发现其规律，则可以结合所学的知识迎刃而解了。
参考文献：
[1]王红霞.三角恒等变换的常用方法与技巧[J].新高考,2010(2).
1. 概念理解不透彻
例1 在RtABC中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A的三角函数值（ ）.
A. 都扩大3倍 B. 都扩大4倍
C. 不能确定 D. 没有变化
【错解】A.
【分析】三角形三边都扩大3倍后的三角形与原三角形相似，所以直角边与斜边或直角边与直角边的比值不变. 错解没有真正理解三角函数的概念.
【正解】D. 三角函数的值是直角边与斜边或直角边与直角边的比值，大小只与角的度数有关，与边的大小无关.
2. 忽视求三角函数的限制条件
例2 （2012・江西内江）如图1，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）.
A. B.
C. D.
【分析】在本题的解答过程中，根据sinA=，部分同学会错误地得出sinA=，导致结果与选项不符，要么随便选一个，降低了正确率，要么开始重新审题，浪费了宝贵的考试时间. 这个错误的根源在于没有真正理解正弦的概念，没有掌握锐角三角函数的使用条件：在直角三角形中. 因此本题需先寻找∠A所在的直角三角形，而图中∠A所在的ABC并不是直角三角形，这就需要添加辅助线，构造直角三角形. 如图1，连接CD，得到CDAB，sinA===.
在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高（形内或者形外）构造直角三角形.
3. 忽视分类讨论
例3 RtABC的两条边分别是6和8，求其最小角的正弦值.
【错解】6和8是直角三角形的两边，斜边是10，最小角的正弦值是.
【分析】已知条件中并没有指明6和8是两条直角边，所以本题应分两种情况：
（1） 6和8是两条直角边；
（2） 6是直角边，8是斜边.
很多同学错在忽视了第2种情况.
【正解】当6和8是两条直角边时，斜边是10，所以最小角的正弦值是.
当6是直角边，8是斜边时，则另一直角边是=2，所以最小角的正弦值是=. 综上可知，最小角的正弦值是或.
4. 忽视锐角三角函数的范围
例4 已知α为锐角，4tan2α-3=0，求tanα.
【错解】4tan2α-3=0，tan2α=，
tanα=±.
【分析】锐角三角函数值等于相应直角三角形的边的比，所以tanα>0.
【正解】4tan2α-3=0，tan2α=，tanα=
±. tanα>0，tanα=.
锐角三角函数值都是正数，在求解时不能忘记.
5. 混淆特殊角三角函数值的变化规律
例5 锐角α满足
A. 30°
C. 45°
【错解】A.
【分析】正弦值与正切值都随锐角度数的增大而增大，而余弦值是随锐角度数的增大而减小. 本题错在没有准确掌握特殊角的三角函数，将特殊角的三角函数值张冠李戴，混淆了锐角的正弦值、余弦值的变化规律.
【正解】cos60°=，cos45°=，又余弦值随锐角度数的增大而减小，cos60°
在锐角范围内，正弦与正切可以看成是单调递增函数，即度数大三角函数值就大；而余弦正好相反.
6. 主观臆断
例6 在RtABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，则sin=______.
【错解】sinA===，
sin=.
【分析】本题错在将∠A的一半的正弦值看作是∠A的正弦的一半，两者显然不等. 如sin60°=，而sin30°=. 本题正确的解法是先求出∠A的度数，然后再求其正弦值.
【正解】sinA===，
∠A=60°，∠A=30°. sin=.
求一个角一半的三角函数值，应先求出这个角的度数，然后再求其三角函数值，一定不能用三角函数值的一半作为角的一半的三角函数值.
【关键词】 恒等变换 给值求值 给角求值 给值求角 综合运用
【中图分类号】G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)06(a)-0143-02
三角恒等变换是高考的重点之一,要求掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式;高考对本部分内容的考点:一方面是简单的化简、求值,以客观题为主,难度一般不大,有时以向量为载体出现解答题;另一方面本节内容常作为数学工具常融合三角函数,这时要先对三角函数解析式进行化简、变形,再深入考查三角函数的图像和性质。还需说明一点的是“几个三角恒等式”及积化和差、和差化积公式和半角公式不要求记忆和运用,已经淡出高考范围。本文现从江苏和全国其他各省近几年的高考试卷中精选出一些典型考题与大家一起研讨高考中这部分内容的命题方向和考查方向,希望能起到一个抛砖引玉的效果。
1 高考命题热点一:给值求值问题。
【真题再现1】(2011年全国卷理科第14题)已知,,则
【解析】本题考查了同角三角函数的基本关系式与二倍角的正切公式的运用。
由已知得,则,所以。
规律小结:对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值,关键在于变角,使目标角变换成已知角,若角所在的象限没有确定则应分情况讨论,应注意这部分内容中公式的正用、逆用、变形利用,同时根据题目的结构特征,学会拆角、拼角等技巧,
如,等。
2 高考命题热点二:给角求值问题。
【真题再现2】(2006年江苏卷第14题)
【解析】本题考查了切割化弦、辅助角公式
,倍角正弦公式、降幂公式。原式
=
=
=。
规律小结:给角求值问题,一般给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系。解题时要利用观察得到的关系,结合三角公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而得到解,有时还要逆用、变用公式,同时结合辅助角公式和升幂、降幂公式等技巧。
3 高考命题热点三:给值求角问题。
【真题再现3】(2008年江苏卷第15题)如图,在平面直角坐标系中,以轴为始边做两个锐角,,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为。(1)求的值;(2)求的值。
【解析】本题融合三角函数的定义,考查两角和的正切公式、二倍角的正切公式。由条件得,因为,为锐角,所以=,因此
(1),
(2),所以,因,为锐角则,故=
规律小结:给值求角问题,往往通过间接求出这个角的某个三角函数值,再得出这个角的大小,选取某个三角函数值时可按照下列原则:一般已知是角的正切函数值,则选所求角的正切函数值;已知条件是正弦、余弦函数值,则选所求角的正弦、余弦函数值皆可;若所求角的范围是,则选该角的正弦函数值较好;若所求角的范围是,则选该角的余弦函数值较好。解决给值求角问题分三步:第一步是求该角的某个三角函数值,第二步是确定该角所在的范围,第三步是根据角的范围写出所求的角。
4 高考命题热点四:三角恒等变换与其他数学知识的综合运用问题。
【真题再现4】(2011年重庆卷第16题)设,
,满足,求函数在上的最大值和最小值。
【解析】本题考查融合了三角函数的单调性和最值的性质,考查诱导公式、二倍角的正弦公式、降幂公式、公式
,又考查综合分析问题和解决问题的能力。由已知 ,由得,因此
;由及,解得增区间;由及,解得减区间,所以函数在上的最大值是;又因,则函数在上的最小值为。
【真题再现5】(2009年江苏卷第15题)设向量
,,。
(1)若与垂直,求的值;
(2)求的最大值;(3)若,求证:∥。
【解析】 本题主要考查融合向量的基本概念与向量平行,考查同角三角函数的基本关系式、
二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力、综合分析问题和解
决问题的能力。
(1)由与垂直,,即
,。
(2)4,
,则的最大值是。
(3)由得,即,所以∥。
规律小结:三角恒等变换与其他数学知识的综合运用,大多以解答题的形式出现,它一方面融合平面向量知识考查化简、求值、证明恒等式,学生必须掌握好平面向量知识特别是数量积的运算才能顺利解答问题;另一方面三角恒等变换为数学解题工具,它往往融合三角函数考查三角函数的图像和性质(如周期性、单调性、值域、最值等),这类题突破的关键是能正确快速地对三角函数进行化简,化简的技巧和原则:①采用遇平方降幂的方法使式子的次数尽量低;②采用辅助角公式、切弦互化使式子的函数种类尽量少;③采用已知角表示未知角使式子的角的种类尽量少;④采用通分等变形技巧使式子结构尽量简单,同时还要注意角的范围及三角函数的正负。随着知识的深入还会更多的接触到三角恒等变换与解三角形(正弦、余弦定理)融合的题型。
5 高考的考查特点分析和方向预测。
上面就一些高考中的三角恒等变换知识进行了深入的分析,通观全国各省对三角恒等变换的考查,我们发现有以下特点:
(1)分文理科的地区,两科对三角恒等变换均有考查;文理试题的题目基本相同,难度区分不大。
(2)区分度问题:三角恒等变换部分不会出非常难的题目,一般都是以容易题、中档题出现。
（3）题型方面:全国各省在选择题和填空题中都有所考查,更侧重填空题;在解答题中考查但难度不大;全国各省高考大多数都是考一道填空题容易题和一道解答形式的中档题。
关键词：中职数学；三角函数；诱导公式；教学探讨
中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）14-0283-02
目前我国正在大力地发展职业教育，职业教育的价值不仅表现为经济发展、社会和谐作做出了贡献，而且在促进社会就业、个人发展方面做出了贡献.数学对于培养学生的理性思维、分析推理能力有着不可代替的重要作用，数学是学习专业技能知识的重要工具.三角函数是数学的基础知识，也可以说是几乎所有高科技的基础，它是基本初等函数中的一种，在数学的学习中都有着重要的不容忽视的核心地位与重要作用.
中职数学三角函数诱导公式这节内容，在三角函数部分具有非常重要的地位.学生能够掌握并正确运用诱导公式，对解决三角函数有关问题会起到事半功倍的作用.三角函数诱导公式是中职数学三角函数部分的重要公式，然而三角函数诱导公式多而复杂，利用传统诱导公式求解相应的三角函数，步骤多且难以理解.如何解决这一难题？笔者在多年的教学中总结教学经验，改变传统教学模式，将三角函数诱导公式进行拓展，化难为易，以适应中职生的学习需求.下面笔者就多年来的教学实践，结合中职学生的具体实际，谈一谈诱导公式教与学的一些做法，以期为其他同行教师提供一些参考.
中职数学诱导公式共有2kπ+α，-α（或2π-α），π+α及π-α四套公式.利用公式的目的就是要把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值.以往学生在学习本节内容时最大的困惑是记不住公式和不会运用公式.现就以上问题和大家一起探讨我在上课时不太成熟的解决问题方法.
一、推导公式
中职教材公式的推导方法学生不易理解，即使听懂了，学生也记不住.我在教学诱导公式时，先引导学生观察上述四套公式，学生会发现几套公式中，都与2π或π有关，化简后三角函数名称都不变，符号有的改变，有的没变.然后引导学生总结出利用诱导公式求三角函数值“三角函数名称不变，符号看象限”的口诀.这里如何确定角的象限至关重要.例如：π+α这套公式，先设α为锐角，则π+α为第三象限的角，第三象限角的正弦值为负，故sin（π+α）=-sinα；同理，第三象限角的余弦为负，故cos（π+α）=-cosα；第三象限角的正切为正，故tan（π+α）=tanα.这样学生只要记住不同象限角的三角函数值的正负情况，自己就能轻松推导出公式.不同象限角的各种三角函数值的正负口诀是：“一全正、二正弦、三为切、四正弦.”
学生推导完公式之后，让他们和教材公式对照比较，发现完全正确，他们一定会有一种成就感.这时教师不失时机地强调，当角α为任意角时，上述公式照样适用.通过以上的方法教与学，学生能够非常顺畅地掌握公式.即使课后学生忘记了，自己也能轻易地推导出来.这样，在课堂上就能节省大量时间.原来需要四节课才能讲完的内容，两节课就能讲完，并且效果还好.这样也极大地增强了学生学习数学的积极性.
二、运用公式
我们在教学过程中教给学生掌握公式固然重要，但让学生会正确地使用公式更重要.不会使用公式从理论上说等于零.就像士兵一样，拥有了先进的，强大的武器装备，但不了解其性能，不会使用它，一点用都没用.我们在教学中遇到问题最多的是：学生经常问老师这些公式怎么用.所以教师教会学生如何正确使用公式至关重要.
三、课后思考
师者，所以传道授业解惑也.授之鱼不如授之以渔.教师不但要善于传授知识，还要能够帮助学生总结规律性的东西，并且运用规律解决实际问题.要正确引导学生善于观察问题、分析问题，进而解决问题.我在讲授三角函数诱导公式时，没有利用单位圆和对称的性质进行复杂的推导，那样讲对于职业学校基础较差的学生来说太难了.而我通过三角函数诱导公式知识的教与学，是要让学生学会一种数学思想，那就是不完全归纳法的具体运用.它和学习等差数列、等比数列通项公式一样，根据等差数列和等比数列的定义，利用不完全归纳法非常自然地归纳出等差数列和等比数列的通项公式.我们推导三角函数诱导公式时，先设角α为锐角，利用不同象限角的三角函数值的符号，引导学生毫无费力地推导出每个公式，最后让学生明白当角α为任意角时照样适用.在这样的数学思想指导下，学生就能自主轻松地推导公式，掌握公式，达到事半功倍的效果.从而突破了本节课的难点，为顺利求出各种形式的角的三角函数值打下坚实的基础.在求任意角三角函数值时，教师也要引导学生观察，分析每一套公式的特点和使用的条件，让学生做到有的放失，少走弯路，经过一段时间的训练，很自然地学会利用哪个公式求值了.
总之，教师上好每一节课，不是简单地传授知识，而是要注重引导学生善于发现规律、总结规律.让学生更好地运用知识解决实际问题，从而搞好我们的教学工作.这样也能更好地发挥数学工具科的作用，更好地为专业课教学服务，提高学生的文化素质和专业技术素养.
参考文献：
[1]赵卫国.高中数学公式与定理教学“五步曲”[J].中学数学研究，2011，（04）.
[2]覃桂燕.几何画板在三角函数教学中的应用[J].广西教育学院学报，2011，（01）.
[3]许钦彪.任意角三角函数的教学反思[J].数学教学研究，2008，（02）.
[4]陈洁.对信息技术与数学教学整合的思考[J].中学数学月刊，2010，（05）.
[5]刘扬.中职学生的三角函数教学探讨[J].数学学习与研究，2010，（05）.
[6]刘艳.基于情境认知理论的中职数学教学设计初探[J].湖北广播电视大学学报，2008，（04）.
[7]雷彬.对教育信息化发展现状的思考及建议[J].中国教育信息化，2008，（07）.
[8]阮佩文.专业背景下中职数学的应用性教学[J].职业教育研究，2008，（01）.
“任意角的三角函数”教材中以初中所学的锐角三函数数为引入，要学生利用直角坐标系中角的终边上的坐标来表示锐角三角函数，进而转化到利用单位圆上点的坐标定义三角函数。可是在教学过程中，本人发现从长度到坐标的转化过程学生理解上存在困难，而且在知识点的迁移扩展上存在不清楚的问题。例如，以下教学过程：
引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？
思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？
显然，我们可以将点取在使线段OP的长r=1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示。那么，角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数。
探究新知：
1.探究：结合上述锐角α的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？
显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1，然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了。所以。我们在此引入单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆。
2.思考：如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义？
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：
（1）y叫做α的正弦（sine），记做sinα，即sinα=y；
（2）x叫做α的余弦（cossine），记做cosα，即cosα=x；
注意：当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P（x，y），从而就必然能够最终算出三角函数值。
3.思考：如果知道角终边上一点，而这个点不是终边与单位圆的交点，该如何求它的三角函数值呢？
【关键词】三角函数 教材分析 教学建议
在学习三角函数之前，学生已经学习了一次函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数，对函数有了一定的认识。三角函数是学生遇到的第一个周期性函数，是中等教育阶段最后一个基本初等函数。学完本章以后，学生应对函数的一般内容，如函数符号、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等建立更完整的认识。
初中数学教学中已有锐角的三角函数的概念，但没有将其作为一种函数来教学，关注的只是三角函数值，主要利用锐角三角函数的定义解决直角三角形中有关边角的问题。到了中职教育阶段，需要从函数的角度来认识三角函数，落实大纲中与三角函数部分相关的教学内容与要求。
本章首先对角的概念进行推广，并通过弧度制对角的度量建立角与实数之间的一一对应关系，为学生理解三角函数是以实数为自变量的函数奠定基础；为了角的概念推广的需要，把角放到平面直角坐标系中进行研究，不仅建立了角的大小与终边位置的关系，而且通过角的终边上的点的坐标来定义任意角的三角函数，并利用角的终边上点的坐标的正负直观性，判断三角函数值的符号，得到特殊角的三角函数值，建立同角三角函数的两个基本关系式以及诱导公式；借助三角函数图像以及诱导公式帮助学生从“形”与“数”两方面理解正弦函数、余弦函数的变化规律；最后利用计算器及诱导公式，能由已知三角函数值求出指定范围的角。
本章内容分为五个部分：角的概念推广，弧度制，任意角三角函数的概念及相关公式，正弦函数、余弦函数的图像与性质，已知三角函数值求角。
《中等职业学校数学教学大纲》建议本章设置18课时，其中新授部分16课时，复习部分2课时。
《大纲》对本章知识内容的学习要求包括：4项“了解”（角的概念推广、诱导公式、余弦函数的图像和性质、已知三角函数值求指定范围内的角）；4项“理解”（弧度制，任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数，同角三角函数基本关系式，正弦函数的图像和性质）；2项“掌握”（利用计算器求三角函数值及利用计算器求角度）。
本章可看作是第三章（函数）的延伸和拓展，在教学中要注意让学生体会三角函数与一般函数之间的关系，即个性与共性之间的关系。同时，在本章的教学中，要特别注意数学思想方法的渗透，如突出“数形结合”的思想方法。由于三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，所以教学中既要“以形助数”，突出几何直观帮助学生理解抽象概念，又要“以数助形”，通过代数性质反映图像的变化规律。再如，由锐角的三角函数值到任意角的三角函数值，三角函数图像上一点的作法到一个周期内的图像上的画法乃至整个定义域上的图像的画法等都遵循了由特殊到一般的思维方法。学好余弦函数的图像和性质的最有效的方法是与正弦函数的图像和性质进行类比。
下面，笔者对本章的教学内容，从学习准备、教学探究、教学过程及例题处理等方面，分节给出教学建议。
一、5.1角的概念推广（2课时）
在学习了角概念的基础上，本节的学习将进行角的概念推广。在初中，角的定义是有公共端点的两条射线组成的图形，角的范围是0°～360°。
为了研究的方便，常将角放在平面直角坐标系中，一般将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与X轴的正半轴重合。这样对所有的角来说，角的顶点、始边是相同的，区别仅在终边，而终边的位置就决定了它是哪个象限的角。
锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角；钝角是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角。
由“问题解决”可归纳出一般的结论：
若α是第一象限角，则α/2是第一或第三象限角；若α是第二象限角，则α/2是第一或第三象限角；若α是第三象限角，则α/2是第二或第四象限角；若α是第四象限角，则α/2是第二或第四象限角。
二、5.2弧度制（1课时）
本节的学习是在初中学习的角度制基础上进行的。首先要引导学生回顾角度制的规定：一个周角的1/360叫做一度。
在此基础上通过多种形式的教学活动使学生理解：弧度制是一种新的度量角的单位制。一个角的弧度数就是这个角（以角的顶点为圆心，任意长为半径的圆的圆心角）所对弧的长度与半径的比值，关键是要掌握弧度与角度换算的基本关系式：360°=2π（rad）或180°=π（rad）。
三、5.3任意角的三角函数（2课时）
本节的学习是在初中角的正弦函数、余弦函数、正切函数等概念的基础上进行的。在初中，学生是通过直角三角形边的比值来规定角的三角函数值：对于一个直角三角形的锐角，其正弦值为对边与斜边的比值，余弦值为邻边与斜边的比值，正切值为对边与邻边的比值。现在对任意角，分别用三个比值y/r、x/r、y/x来规定，它们都只与角的终边所在位置有关，而与点P在角的终边上的具置无关。
从“问题解决”中，我们可以得出结论：
一个角的终边与单位圆交点的纵坐标就等于这个角的正弦；与单位圆交点的横坐标就等于这个角的余弦；与单位圆交点的纵坐标与横坐标的比值就等于这个角的正切。
由讨论可知，对于任意角α，它的正弦、余弦都有意义（因为r>0），但正切不同（因为tanα=y/x，x有可能为0），只有当x≠0，即角α的终边不在y轴上才有意义。因此，正弦函数、余弦函数的定义域都是R，正切函数的定义域是{α|α≠π/2+kπ，k∈Z}。
要确定角α的三个三角函数值的符号，关键还应从任意角的三角函数的定义出发，结合图形更容易掌握。
四、5.4同角三角函数的基本关系（2课时）
本教材是利用单位圆导出同角三角函数基本关系的：角α的终边与单位圆的交点的纵坐标就等于sinα，横坐标就等于cosα。由此就能得到sin2α+cos2α=1（称为平方关系）；再由正切的定义tanα=y/x，就可得到sinα/cosα=cosα（称为商数关系）。
由两个基本关系式可知，一个角的正弦、余弦、正切函数值之间是相互关联的。因此，已知一个角的一个三角函数值，就可利用基本关系式求出其余两个三角函数值。
学习了同角三角函数的基本关系后，除了可以解决已知一个角的某个三角函数值求其余三角函数值，还可以对三角函数式进行化简。要启发学生在解题的基础上讨论并总结化简的原则。
五、5.5三角函数的诱导公式（2课时）
根据终边相同的角的同名三角函数值相等，就能得到诱导公式1；根据单位圆上点的坐标及对称关系，就能得到诱导公式2、诱导公式3、诱导公式4。
要掌握三角函数的诱导公式，关键是要掌握公式2、3、4的特点：函数名称不变，至于正负号，可以通过特殊化的办法来确定。既然公式对任意角α都成立，那么，当α是锐角时当然也成立。当α是锐角时，-α为第四象限角，其正弦、正切值为负，余弦值为正，因此，-α的正弦、余弦、正切就分别为-sinα、cosα和-tanα。公式3、4也是如此。
用诱导公式可以把任意角的三角函数值化为[0，π/2]内的角的三角函数值，正确地化角和正确地运用诱导公式是关键。
由“问题解决”可知，诱导公式之间是有联系的。如对于sin（π+α），我们可以作如下转化：
sin（π+α）=sin[π-（-α）]=sin（-α）=-sinα.
分析例4时要引导学生回顾：判断一个函数的奇偶性，一般都是从定义出发。在确认了定义域关于原点对称后，接着就考察f（-x）的结果等于f（x）还是-f（x），进而判定这个函数是偶函数还是奇函数。
六、5.6正弦函数的图像与性质（3课时）
用正弦线作正弦曲线的好处是不需要计算角的正弦值，实际就是把正弦线平移到相应角的位置。这里要特别注意在坐标系里横轴、纵轴的单位必须一致，同时注意曲线的走向，[0，π]是向上凸的，[π，2π]是向下凹的。“五点法”作正弦曲线，实际就是列表描点法。这里的五个点分别是曲线与x轴的交点和最高点及最低点，它们的横坐标的间隔是π/2。
无论是几何法还是“五点法”，都是为了找到曲线上的一些点，再用光滑的曲线把这些点连接起来。熟练之后就要把握好正弦曲线的形状和特征，能迅速画出正弦曲线的草图。
由教材P152的“思考交流”所得结论，我们可以进一步推广：y=-f（x）的图像，与y=f（x）的图像关于x轴对称，y=f（x）+1的图像，可以由y=f（x）的图像向上平移一个单位而得到。
无论是单位圆中角在旋转过程中正弦线的变化规律，还是由诱导公式1，均能得出正弦函数的图像是呈“周而复始”的规律的。结合周期函数的定义和对周期的规定，由“探究”所得结论可知，正弦函数y=sinx是周期函数，它的周期为2kπ，k∈Z，最小正周期为2π。
要判断一个函数是否为周期函数，通常是按照定义，寻找非零常数T，满足f（x+T）=f（x）。由于已约定，在没有特别说明的情况下，我们所说的周期都是最小正周期。因此，在找到这样的常数T之后，还要再找出其中的最小正数。
由于正弦函数y=sinx的周期为2π，也就是说其图像每经过2π就重复，因此，要讨论正弦函数的单调性，只需选取长度为2π的区间即可。
解决了例3后，可启发学生总结：遇到出现含有正弦式的等式，求其他量的范围问题时，通常是把正弦式放在等式的一侧，其余的放在另一侧。由于sinx的取值范围是[-1，1]，等式另一侧表达式的取值范围也就是[-1，1]，这样就可求出其他量的范围。
不求值比较两个角的正弦值的大小时，关键是用好诱导公式把问题化为在一个单调区间内的两个角的正弦，再根据单调性来确定它们的大小。
七.5.7余弦函数的图像与性质（2课时）
本节的教学过程中要充分运用好类比法，利用上一节研究正弦函数的图像与性质的类似方法来研究余弦函数的图像与性质。
与画正弦线类似，我们要画出余弦函数y=cosx图像上的点（x，cosx）。但余弦线不像正弦线那样是“竖立”的。从画图的角度来说，得到每一个角的余弦线后，用圆规还是可以把它移到相应的位置使它“立”起来的，但这样做比较麻烦。用教材P157上的图5-23，就能达到使它“立”起来的效果，这样画图就比较方便。
无论是几何法还是“五点法”，都是为了找到余弦函数y=cosx图像上的一些点，再用平滑的曲线把这些点连接起来。熟练之后把握好余弦曲线的形状和特征，就能迅速画出余弦曲线的草图。
仔细观察教材P159的“思考交流”中的图5-28，我们可以发现余弦函数y=cosx的图像，可以由正弦函数y=sinx的图像向左平移π/2个单位得到。
类比正弦函数的性质，很容易得到余弦函数的前三个性质，对照正弦函数的性质，余弦函数的定义域、值域、周期没有变化，最大的区别在于奇偶性（是偶函数）、单调性（单调区间不同）和最大值最小值（取得最大值最小值的自变量不同）。如此类同的根本原因，可以从几何上得到解释：余弦函数y=cosx的图像，可以由正弦函数y=sinx的图像向左平移π/2个单位得到。
不求值比较两个角的余弦值的大小时，关键是用好诱导公式把问题化为在一个单调区间内的两个角的余弦，再根据单调性来确定它们的大小。
对于例3，解决时要有整体意识，即把x/3看作一个角，为了方便，用换元法，设t=x/3，由t=2kπ，就能得到x/3=2kπ，从而得到x=6kπ。最后还须注意把所得结果写成集合形式。
八、5.8已知三角函数值求角（2课时）
为了解决有关已知三角函数值求角的问题，学生需要具备良好的基础。为此，教师要组织同学一起回顾本章前面所学的知识，特别是诱导公式，各个象限的三角函数值的符号以及特殊角的三角函数值等。
