时间：2023-07-12 16:27:35
序论：在您撰写高中数学导数的概念及意义时，参考他人的优秀作品可以开阔视野，小编为您整理的7篇范文，希望这些建议能够激发您的创作热情，引导您走向新的创作高度。
【关键词】 以问导课；问题驱动理念；高中数学概念课；教学设计
高中学生对数学概念的理解情况将会直接影响高中学生的数学解题能力，然而在实际的数学教学活动中，很多学生存在着数学概念理解能力较差，掌握能力不足等方面的问题，不利于学生数学知识的深入学习.基于以问导课，设计驱动理念下的高中数学课堂教学活动，能够结合学生的实际学习质量、性格特点开展教学指导活动.文章将结合高中数学概念课教学实际活动进行分析，希望能够促进高中学生数学学习质量的快速提升.
一、结合课程教学特点，明确问题驱动目标
新课程背景下，高中数学概念课教学活动需要摒弃满堂“灌输”的课堂教学模式，教师需要结合《普通高中数学课程标准》中的相关教学内容，明确课堂教学指导目标，基于高中学生认知能力的数学概念课教学设计，能够在充分激发学生数学学习兴趣的基础上，使学生更好的理解数学概念，为学生数学知识的深入学习奠定良好的基础.
以问导课，设计驱动教学中，教师需要可以将三维教学目标融入于其中，关注学生学习的过程，关注学生情感的体验.例如在指导学生学习“曲线与方程”这一项内容中，教师可以将课堂教学内容划分为四个层次，其一为指导学生学习并理解曲线方程，明确曲线方程的概念，掌握特殊曲线和方程之间的互为表示关系.其二为指导学生明确求曲线方程的基础步骤，学会自主解答问题.其三为通过不同的平面直角坐标系，对同一曲线方程的影响进行分析，能够合理建立平面直角坐标系.其四为能够自主分析一些简单的曲线方程，学会利用坐标法解答数学问题.
二、灵活设计数学问题，组织学生合作探究
正所谓“兴趣是最好的老师”，学生对所学习的数学概念产生兴趣，便能够积极、主动的参与到课堂探究活动中，使高中数学概念课教学产生“事半功倍”的教学效果.“以问导课，设计驱动”问题驱动理念下的高中数学概念课教学设计，可以结合学生的性格特点，灵活设计数学问题，教师可以将学生划分为若干个小组并为学生布置探究任务，使学生能够通过小组合作探究的方式进行学习，在营造良好课堂教学氛围的基础上，也能够有效提升高中数学概念课教学的质量.
教师可以将前后座的4名学生分为一个小组，为学生布置各式各样的问题，引导学生进行合作探究.例如教师可以结合学生的实际生活提出问题，如“你想邀请朋友到××餐厅吃饭，餐厅位置在兴华街北二路左侧20米，你该怎样叙述呢？”等问题，学生可以通过建立直角坐标系的方式进行解答，用点与坐标的对应关系来研究曲线与方程的关系.
再如教师也可以为学生布置“画出两坐标轴所成角在第一、三象限中的平分线m，并写出方程；画出函数y=2x2（-1≤x≤2）的图像c”.教师可以借助多媒体等信息技术软件，为学生进行图像展示，并组织学生借助信息技术进行操作或者在组内借助纸笔进行绘制（详见图）.在学生画完图像之后，教师可以提出“对照抛物线的一部分C和方程，如果符合某种条件的集合M与C分别和其他方程之间存在着怎样的联系？”学生可以与小组成员之间可以相互讨论和分析，得出“如果M（x0，y0）是m上的任意一点，那么它到两个坐标轴的距离是相等的，即为x0=y0，它的坐标（x0，y0）即为方程x-y=0的解.但是如果（x0，y0）是方程x-y=0的解，即为（x0，y0），以此为解的坐标点到两坐标轴的距离相同，它则在平分线m上，则可以将直线m和方程x-y=0相互联系.”
三、注重教学语言应用，培养学生数学思维能力
数学概念教学过程中，教师需要在指导学生关注概念形成的同时，指导学生重视知识之间的普遍联系，培养学生形成一定的数学逻辑思维能力.
多种多样的数学问题有助于学生思维的启发，在充分调动学生数学概念探究欲望的基础上，教师可以通过适当的引申，使学生能够感受到数学概念与数学概念之间的联系，并能够逐渐形成较为完整的数学知识框架结构.
与此同时，教师需要特别注重课堂教学中自身教学语言的应用.相关心理学研究证明，教师课堂教学中的语言将会直接影响学生的听课质量.所以在高中数学概念教学活动中，教师需要密切关注学生的表情变化，给与学生更多的支持和鼓励，教师需要多采用“请”、“谢谢”等话语，尊重学生、关心学生.
结束语
新课程背景下，高中数学概念课教学活动可以通过结合课程教学特点，明确问题驱动目标；灵活设计数学问题，组织学生合作探究以及注重教学语言应用，培养学生数学思维能力等方式，不断提升高中数学课堂教学的质量，促进学生多元智能的发展.
【参考文献】
[1] 尹丽文. 问题驱动理念下的高中数学概念课教学设计探析――以《曲线与方程》课为例[J] . 学周刊，2013，14：144-146.
关键词：数学课程标准 微积分 内容标准 国际比较研究
一、问题的提出
自20世纪80年代后期以来，在不少主要国家的基础教育改革中，课程标准或教育标准几乎不约而同地被放到了一个突出位置上；“标准”一词一时间成了基础教育改革，尤其是课程改革的关键词[1]。其中，数学学科作为基础教育阶段的核心学科之一，在国际课程改革中常常首当其冲。数学本身的社会地位以及数学作为一门学科的自身特点，为关于数学的国际比较研究提供了内在的必要条件，数学教育国际比较也因此成为教育国际比较研究的重要领域[2]。
微积分在高中数学课程中有着重要的地位和作用。微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展及广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段[3]。本文将中、新、韩、日四个国家高中数学课程标准文本中微积分内容标准作为研究对象，深入分析四国高中数学课程中微积分内容标准的异同，从而得出一定结论和启示，以期为我国已经启动的高中数学课程标准修订工作提供一定的参考。
二、研究设计
1.研究对象的选取
考虑到文化背景的相似性以及同为数学教育优质国家[4]，本文选取中国大陆、新加坡、韩国、日本四个国家现行的高中数学课程标准为研究对象。
其中，四国课程标准文本的选取如下：中国：2003年教育部制订的《普通高中数学课程标准（实验）》[3][5]。新加坡：2011年教育部的《数学教学大纲》[6]。韩国：2011年教育科学技术部的《数学教育课程》（高中部分）[7]。日本：2009年文部科学省的《高中数学学习指导要领》[8]。
为了行文方便，本文中用到以上文本时均简称为“某国标准”。
2.研究思路与方法
本文研究主要基于四国高中数学课程标准文本，针对其中微积分内容标准进行比较分析，寻找共性与差异，在国际视野下审视我国高中微积分内容的特点以及不足之处，进而在保持我国特色的基础上，借鉴经济发达国家以及数学教育高成就国家的优势，更好地认知自己，进而反思自己，促进我国数学教育的发展；主要采用文献、比较、内容分析等教育研究方法。
三、四国高中数学课程中微积分内容标准的比较与分析
1.内容设置的比较与分析
我国标准中将微积分内容设置在选修1-1的“导数及其应用”以及选修2-2的“导数及其应用”中。选修系列1是为那些希望在人文、社会科学方面发展的学生而设置的，选修系列2则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。系列1、系列2内容是选修系列课程中的基本内容。其中，选修1-1“导数及其应用”包括：导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题距离以及数学文化共5个主题；选修2-2“导数及其应用”在此基础上增加了“定积分与微积分基本定理”主题。
新加坡的大部分初等学院或中心学院都采用A-水平课程，学生可以灵活自主地进行课程选择。A-水平课程中的数学科目分为Higher1（H1）、Higher2（H2）和Higher3（H3）三个层次。H1教学大纲为希望学习诸如商业、经济和社会科学等大学课程的学生提供数学基础；H2教学大纲为学生学习包括数学、物理和工程的大学课程做好充分准备，要求更多的数学内容；H3数学教学大纲提供给在追求学科更好水平和更深程度方面具有天资和激情的学生一个机会。H1层次“微积分”包括：微分学、积分学；H2层次包括：微分学、迈克劳林级数、积分法、定积分以及微分方程；H3层次包括H2层次中的“微积分”以及“微分方程模型”。
韩国数学课程包括两个部分：第一部分是共同课程（从一年级到九年级），要求所有的学生必须学习相同的必修课程；第二部分是选择课程（高中一年级到三年级），可以学习有“基本、一般、深化”层次的课程内容，建立有区别的数学课程体系。每个选修科目相对独立。其中，微积分内容作为两个单独科目“微积分Ⅰ”、“微积分Ⅱ”设置在“一般科目”模块中，微积分Ⅰ是理解数学Ⅰ和数学Ⅱ课程内容的学生可以选修的模块；微积分Ⅱ是理解了微积分Ⅰ课程内容的学生可以选修的模块，适合于想升入大学学习以微积分内容为基础的自然系列（理科）或工学系列（工科）的领域的学生。另有部分内容设置在“深化课程”模块的“高级数学Ⅱ”中。
日本高中数学课程设置为：数学Ⅰ、数学Ⅱ、数学Ⅲ、数学A、数学B、数学应用。其中，微积分内容数学Ⅱ、数学Ⅲ科目中，数学Ⅱ是用来学习高中数学核心内容和培养广泛的数学资质和能力，在发展和扩充数学Ⅰ的内容的同时，又考虑进一步学习数学Ⅲ。数学Ⅲ是针对那些对数学有浓厚兴趣、欲进一步深入学习数学的学生以及将来从事需要数学专业的学生而开设。
综上所述，四个国家高中数学课程中微积分的内容设置大致都是分为两个层次：基础和深化层次。基础层次主要是针对今后准备在人文、社会科学方面发展的学生而设置的，例如我国的选修系列1-1、新加坡的H1课程、韩国的微积分Ⅰ课程以及日本的数学Ⅱ课程中的微积分内容；深化层次则主要是针对今后准备在理工等方面发展的学生而设置的，例如我国的选修系列2-2、新加坡的H2课程、韩国的微积分Ⅱ课程以及日本的数学Ⅲ课程中的微积分内容。值得一提的是，新加坡还专门针对“有数学天赋并对数学怀有热情的学生”而设置了H3课程。
2.基本内容的比较与分析
（1）基本内容分布概况
本文以各国标准文本中内容标准最小整句（内容条目）作为基本单位进行编码，从微积分内容在整个高中数学课程中的比重以及微积分内容在微分学、积分学以及其他三个方面的比重分别进行统计与分析。
一方面，四国标准中微积分内容在整个高中数学课程中的比重各不相同。
我国文科数学课程内容标准共有内容条目144条，其中微积分内容9条，占高中全部课程内容的6%；理科数学课程内容标准共有内容条目159条，其中微积分内容11条，占高中全部课程内容的7%。而其他三国中微积分内容比重最高的是新加坡H3课程，高达44%；比重最低的是日本课程，也达19%。由此可见，我国微积分内容在四国高中数学课程中比重明显偏少。
另一方面，四国标准中微积分内容在三个子内容领域（微分学、积分学、其他）中分布也各不相同。
可以发现：我国文科微积分内容中微分学比重最高（89%），同时也是唯一不包含积分学内容的；我国理科微分学比重仅次于文科比重（73%），积分学比重相比于其他三国也是最低的（9%）。对于其他三国而言，微分学比重最高的是韩国（68%），比重最低的是新加坡H3（19%）；积分学比重最高的是新加坡H1（44%），比重最低的是韩国（23%）。
进一步分析，我国微积分内容明显倾向于微分学，文科甚至不涉及积分学；而理科的积分学相比其他国家也为最少，虽然涉及到“其他”，也仅仅是有关微积分历史的数学文化类内容以及微积分基本定理。
（2）微分学的基本内容
导数的概念是微积分的核心概念之一，它有着极其丰富的实际背景和广泛的应用。我国标准选修1-1、2-2中的微积分内容均是以“导数及其应用”主题呈现的，包括导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用以及生活中的优化问题举例四个部分。但是2-2要求比1-1要求高。比如，在“导数的运算”中，1-1仅要求“能根据导数定义，求函数y=c，y=x，y=x2，y=■的导数”，2-2除了要求上述四类函数，还要求简单三次函数y=x3以及无理函数y=■的导数。又如，在“导数在研究函数中的应用”中，2-2在1-1内容的基础上还增加了“体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性”。
新加坡标准H1课程中，微分学内容主要包括导数概念及其几何意义，函数y=xn、y=ex、y=lnx以及它们与常数的乘积、和、差的导数，求复合函数的导数，导数在研究函数中的应用，利用图形计算器求给定点处导数的数值解，导数的实际应用等。H2课程中，微分学内容要求比H1要高，较之H1增加了二次导函数大于0（小于0）的图释，导函数与原函数图像的关系；隐函数和含参数函数的求导等。H3中微分学内容由H2中相关内容组成，但是要求和严密性比H2更高一个层次。
韩国标准中微分学内容主要包括微积分Ⅰ中的数列的极限、函数的极限与连续、多项函数的微分法（导数、导数的应用）等，微积分Ⅱ中的指数函数与对数函数、三角函数的微分、微分法（各种微分法、导数的应用）等，高级数学Ⅱ中的微分的应用（柯西中值定理）、二元函数的极限和连续、偏微分及其偏微分的应用等。
日本标准中微分学内容主要包括数学Ⅱ中的微分系数与导数、导数的应用，数学Ⅲ中的极限（数列的极限、函数的极限）、导数（函数的四则运算的导数、复合函数的导数、三角函数・指数函数・对数函数的导数）、导数的应用等。
综上所述，四国均提及的基本知识包括：导数概念及其几何意义、基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、简单复合函数的导数、导数在研究函数中的应用等，都是围绕微分学核心概念“导数”的基础知识。我国微分学课程比较注重导数在生活中的应用，四国中仅有我国和新加坡在标准中有明文显示。然而，就内容广度、深度来说，我国微分学内容都不及其他三个国家。
（3）积分学的基本内容
我国标准中选修1-1没有积分学的相关内容；选修2-2提出“初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础”，进一步要求“通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念”。
新加坡标准中H1课程积分学内容主要包括：幂函数、指数函数、对数函数的积分，积分的四则运算法则；简单复合函数的积分；定积分；定积分的计算；利用图形计算器求定积分的数值解等。H2、H3课程积分学内容主要包括：一些特殊形式的函数积分，积分方法（换元积分法、分部积分法）；定积分的概念；定积分的计算；含参数曲线所围面积的计算；旋转立体图形体积的计算；使用图形计算器求解定积分的数值解等。
韩国标准中积分学内容主要包括：不定积分的含义，积分的四则运算法则，穷竭法计算面积和体积，定积分的含义，不定积分与定积分的关系，定积分的应用（曲边图形的面积）；积分方法，定积分的应用（立体图形的体积）；极坐标方程表示的由曲线围成的领域的面积；旋转体的体积；旋转面的面积；瞬间、质量中心等。
日本标准中积分学内容主要包括：不定积分与定积分的含义、积分的四则运算法则、利用定积分求面积；积分方法；求曲线图形的面积和立体图形的体积以及曲线的长度等。
综上所述，我国文科没有积分学内容要求，理科要求仅仅在于“初步了解定积分的概念”。而其他三国均有的微分学基本内容包括：积分的四则运算法则，简单函数的积分，积分方法，定积分的概念及其几何意义，定积分的计算，旋转立体图形体积的计算等。就内容的广度和深度而言，我国积分学内容均不及其他三个国家。例如，新加坡标准还要求含参数曲线所围区域面积的计算，重视图形计算器的使用。韩国标准还要求极坐标方程表示的曲线围成的面积、旋转曲面的面积等内容。
【关键词】高中导数教学；教学意义；教学设计
导数是高中数学教学内容的重要组成部分，高度总结和概括了函数图像及其性质，大大减轻了函数最值、单调性、极值教学难度，教学案例的应用在增加学生兴趣的同时，提升了导数教学质量.但目前数学教材没有连续性概念，导致导数教学存在一定难度，因此教学中教师需花费更多精力.
一、高中数学应用导数教学的必要性
导数是数微积分的重要组成部分，是研究现代科学技术的重要手段.导数与函数有着密切联系，在一定程度上丰富了函数内容.在高中数学教学中应用导数教学有利于学生的后续学习，培养学生逻辑思维，分析解决数学问题，理性理解函数性质，加强与数学有关其他学科的学习.因此在高中教学中开展导数教学十分必要.
新课程改革将微积分作为教学内容列入高中教材，并根据学生各方面发展需要对微积分内容作出了大幅度的调整，教学要求和教学任务也与以往教学有明显不同.在高中数学学习和教学中，导数成为教学的重点和难点，也是高考的重要考查对象，导数教学在高中数学教学中有着特殊的地位和作用.教师利用导数教学帮助学生解决函数、数列、不等式、几何等数学问题，简化数学过程、明确教学重点，提升教学质量.
二、高中导数教学现状
导数作为高中教学的选修课程，文理科生所学习的导数内容有所不同.但无论是文科生还是理科生对导数的学习和应用都不够深入，特别是利用导数求解函数参数范围问题，没有一定的技巧和学习能力是无法解答的.导数在实际生活、工作中也有广泛应用，因此要求学生记忆公式，具备一定的计算能力，灵活运用导数解决函数问题.
现有教材没有连续性的概念，学生难以理解导数概念，教师需要通过逐渐讲解让学生明白如此抽象概念.教学中教师要将几何画板与多媒体教学相结合，全面、直观的展示导数教学内容.通过多次训练和反复记忆，利用定义推到一些简单的函数导数，进而解决函数最值、极值、单调性等问题，但仍没有全面掌握导数概念.
三、高中导数教学设计重点
1.教学目标
①通过导数及其应用教学，向学生展示平均变化率、瞬时变化率的实现过程，了解导数概念，领悟导数思想和内涵；②利用导数解决函数最值、极值、单调性等问题；③了解定积分概念，为以后微积分学习奠定基础，使学生明白导数可以解决数学问题和生活问题，感受导数教学中的变量教学思想，增强学生利用导数知识和函数思想分析、解决数学问题的能力；④体会导数、微积分对文化和教学发展的意义，培养学生创新意识和创新能力.
2.教学过程
教学过程中要从概念入手，夯实导数学习基础.导数学习必须先掌握平均变化率和瞬时变化率两个知识点.
平均变化率教学.利用课本教学实例，使学生理解什么是平均速度，借助平均速度准确描述某一物体某一时间内运动速度，通过对应曲线图像分析“平与陡”和平均变化率的关系，并根据这一关系总结平均变化率概念.
瞬时变化率教学.教师要让学生明白瞬时速度是怎样产生的，进而认识到切线斜率产生过程.借助教学案例让学生理解瞬时速度概念，在运算过程中逐渐掌握瞬时变化率、切线斜率等知识，为导数学习打下基础，加强知识灵活运用，深入探讨和研究导数教学内容.
3.教学策略
借助导数案例，激发学生兴趣.在教授导数概念过程中引用案例，气温突增有何数学意义，如何利用曲线刻画气温变化规律，曲线与函数的单调性有何联系，学生借助类似比值描述曲线变化情况.在导数应用中通过几个具体的案例，对比分析其共同点，进而得出函数单调性与导数的关系.
加强技巧训练.利用导数分析函数单调性，求导后得出导函数零点，判断导函数符号，但此过程需要一定解题技巧.一般将导数化成乘积形式来求解导函数零点或是判断导函数符号.为了避免学生理解困难和思维混乱，二阶导数建议不介绍，如果需要可将二阶导数作为一个新函数介绍，并对新函数求导.
实施分层教学.学生由于个体差异，对数学知识掌握能力和问题接受水平各异，教学过程中要加强因材施教、因地制宜教学理念，积极应用于数学课堂教学中.教师按照学生水平选择不同类型、不同难易程度的习题进行训练和辅导，并进行针对性的测试，及时总结测试结果，为学生补差补学.
4.教学反思
教师作为教学活动的引导者，许多数学问题是要靠教师的引导.在高中导学教学中，教师要充分发挥引导作用和学生主体地位，制定的教学计划一定要突出重点，对于难懂的知识点要单独进行讲解.将传统教学与多媒体结合使用，利用多媒体直观形象的展示导数概念及应用，借助传统板书和口头教学，对重难点知识进行分析，加深学生对知识的理解和记忆.
提出有建设性的问题，注意新旧知识点的衔接，对于学生易混淆的内容要有明确的区分，在同一问题采用多种提问方式，让学生多侧面的考虑问题，培养学生的发散思维.开展主题式教学活动，为学生提供更多自主学习和实践操作机会，通过合作学习来完成教学任务.把课堂表现与考试成绩结合起来，对掌握不牢固的知识点要及时巩固学习.
四、结 语
导数是一个比较抽象的数学概念，高中导数教学中要采用科学教学方法，结合学科和学生特点，加强平均变化率、瞬时变化率等知识教学，不断优化教学设计理念和教学过程，发挥教师引导作用和学生主体地位，几何画板与多媒体充分结合，采用分层教学手段，注重因材施教，保证导学教学质量.
【参考文献】
一、明确教学目标
明确的教学目标是开展高中数学教学的前提．莉莱说:“赢得好射手美名，并非由于他的弓箭，而是由于他的目标．”纪伯伦说:“人的意义不在于他所达到的，而在于他所希望达到的(目标)．”由此可见，目标的存在有着重要的意义．随着教育模式的创新和变革，当前教育界越来越注重学生的素质教育．在高中数学教学中，教师制定教学目标需要考虑素质教育的影响．在设计教学方案时，为了迎合学生的素质发展，教师往往将教学目标设置为三个领域目标，知识技能领域、过程方法领域以及情感态度领域．针对这三个领域分别设定教学目标，并在教学中采取合适的教学方式完成目标，是培养学生的综合能力的有效策略．例如，在讲“导数计算”时，为了培养学生基本的数学能力，提高学生的运用能力，我设计了三方面的教学目标．知识与技能目标:能够用定义求四个常用函数的导数，熟悉求导数的三个步骤，使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y=c、y=x、y=x2、y=1x的导数公式，并能运用这四个公式正确求函数的导数．过程与方法目标:通过本节的学习，掌握利用导数的定义求导数的方法．情感态度目标:通过课堂学习，体会导数与数学知识之间的联系，培养应用意识，提高对问题的分析能力，明白数学在研究整个自然科学中的重要位置．教学目标设定之后，一切教学活动就要围绕着教学目标进行．这样一来，整节课就有了主心骨，让学生知道自己该干什么，该学什么，提高学生的学习能力．
二、突出教学重点
教学重点是整节课堂中重要的内容．在高中数学教学中，教师要对教材内容进行详细分析，尤其是教学重点和难点．一节课的主要教学内容就是重难点部分．在教学过程中，教师要将本节课的重点内容列在黑板上，时刻提醒学生，引起学生的重视．教师还要利用丰富的教学工具，强化学生的记忆，刺激学生的大脑．例如，在讲“互斥事件”时，我将教学重点设置为互斥事件的概念及其概率的求法．我以探究为主导策略，为学生的探究活动精心创设问题情境，调动学生的积极性和参与性，并对学生的探究结果给出客观性的评价．此外，我留出部分时间供学生理解和消化所学知识．我提出一个案例问题:在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球，若从盒中摸出1个红球记为事件A，从盒中摸出1个绿球记为事件B，从盒中摸出1个黄球记为事件C，则事件A、B、C之间存在怎样的关系?引导学生对这个案例进行分析，使学生在分析的过程中领悟本节课的学习重点———互斥事件的概念及其概率的求法．经过学生的思考和探究，再加上我在课堂上的讲解和引导，学生最终明白事件A与B不可能同时发生．这种不可能同时发生的两个事件叫作互斥事件．突出教学重点，能够帮助学生提高学习效率，培养学生的综合能力．
三、创设教学情境
关键词：导数与函数；交汇；命题
中图分类号：G632.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）01-0166-02
数学是一门具有独特魅力的学科。在高中数学里我们会学到很多有趣的数学符号以及复杂的函数，当然还有很多复杂的数学问题。高中数学主干知识包括函数与导数、数列、三角函数、证体几何、解析几何、概率与统计，这些主干知识足以支撑高中数学知识体系的主要内容，构成了高考数学试卷的主体。在函数与导数这一重点模块当中便有许多值得探究的问题，为了认清这一模块，我们将从导数与函数的思想概念、地位以及它们在数学中的应用着手，仔细分析导数与函数间的关系，为此我们作了研究并从例子中分析导数与函数的融会以及它们的作用。本文主要分成两部分，第一部分在参考了文献的基础上对导数与函数的概念及其关系做出了解答，并且详细地阐释了导数的思想及其在高中数学中的工具性地位。第二部分是论文的重点部分，在对导数与函数的运用中，通过导数解决单调性问题，通过导数求最值、证明不等式等展开对导数应用方面的诠释，包括了通过历年的高考例题来解析导数与函数在高考中的重大作用。
一、理解导数，掌握导数的思想和概念
1.高中数学中的导数概念。导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它是由平均变化率到瞬时变化率引出和定义的，导数的几何意义是曲线的割线逼近曲线的切线，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。导数可以说是新课程改革与旧课程的一个区分点，也是新教材的一个亮点。因为导数的应用非常广泛，它是连接高中数学与大学数学的纽带，用它可以解决许多数学问题。目前，随着新课程改革的不断推进，对导数知识考查的能力要求也逐渐提高，而且对导数的考查已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析问题和解决问题时的有力工具。
2.高中数学中导数的思想及工具性地位。函数与导数是高中数学的核心内容，在导数应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维、简化解题过程的目的。而导数已由解决问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性、极值、最值以及切线问题。
二、函数解题需要导数
1.函数中运用导数的思想。函数中运用导数的思想主要有四种：等阶转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想和数形结合思想。等阶转化就是“把要解的题转化为已经解过的题”就是把未知解的题转化到在已有知识范围内可解问题的一种重要思想方法。等阶转化在导数及其应用中主要用来解决有关恒成立、函数的单调性等问题。函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题、解决问题。方程问题是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程或不等式），然后通过解方程或不等式来使问题获解。而函数与方程的思想在导数及其应用中主要用来解决生活中的优化问题以及构造函数证明不等式问题。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。它在导数及其应用中主要用来求解单调区间、参数问题、极值、最值及恒成立问题等。数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来。数形结合思想在导数及其应用中主要用来解决方程根的问题。因为函数是贯穿中学数学的一条主线，是数学高考考查的重点。而函数是中学数学研究导数的一个重要载体。通常遇到复杂函数的时候难以利用普通的手段进行求解，所以采用对函数求导的方式可以克服此类问题，从而达到从繁化简的效果。
2.函数中导数的应用。高中数学中导数有很大的作用，主要表现在三个方面。①导数解决单调性问题，当函数表达形式比较复杂，并且用初等函数不能求解的时候，可以考虑使用导数求解的方法，通常可以求出函数的导数，然后再求解导数的不等式。函数f（x）=-（a+1）ln（x+1）其中a≥-f'（x）=ax-1/x+1，a≥-1，可以求f（x）的单调区间。函数f（x）的定义域是（-1，+∞）且函数的导数是f'（x）=ax-1/x+1.可以分成两个分进行求解，一部分是-1≤a≤0时，f（x）0时，f（x）=0，则无论是导数还是函数，都会随着x的变化而变化。根据x的取值变化可以化一个表来看函数和导数的变化范围和区间，由此可见，当a在（-1，+∞）区间变化时，函数是单调递减的，余下的部分是单调递增。导数在解题时出现最多的就是分类讨论的问题，解决此类问题，需要找到分类点和画表，根据表格x值得走向来判断函数是递增还是递减。②导数求解函数的最值问题，函数最值的问题也是常考的题型之一，对于闭区间的可导函数求其最值可以先求极值，根据极值与函数进行比较，确定最大值与最小值。函数f（x）=-x3+9x+a，闭区间[-2，2]，最大值为20，给出函数式子求最值。这种问题一般都会有两个问题：第一个问题，会对函数的单调增减区间进行探讨，然后给定一个闭区间求最值，最值包括最大值和最小值。第二个问题，闭区间会给你固定值，并且还会有最大的取值，从计算的过程中看，可以将闭区间两端的值代入导函数中，求出一个公式，f（x）=-24+a，f（x）=10+a，然后，根据第一问讨论的单调递增与递减区间的确定，确定其大小值，求解a的值。③导数证明不等式问题，导数证明不等式的问题，最关键的步骤要构造函数，利用导数判断单调性，来证明不等式。利用函数的单调性证明不等式，最关键需要构造一个函数，利用相应区间上证明不等式的知识来判断其单调性。根据以上的分析，可以解决数学的问题，并且也是有效的手段之一，思路很清晰，过程比较简单，能够加强导数的教学任务，可以提供一个清晰的思想，一个新的解题方法。
三、从高考命题来解析导数
1.导数在高考上的运用趋势。近几年来利用导数与函数、数列、三角函数、向量、不等式、解析几何等其他知识的交汇进行命题考查学生应用数学知识解决综合问题的能力已成为高考的一大亮点。因此，在命题上导数充分突显出其“工具性”的作用，在处理各类交汇性问题上，在处理曲线的切线、函数的最值（极值）及单调性、参数的范围、实际生活中的优化等问题方面，导数发挥着重大作用，所以导数是高考解答题命题的热点内容。例1：（重庆·理·16）f（x）=a ln x+1/（2x）+3/2 x+1，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴.（1）求a的值；（2）求函数f（x）的极值。解：（1）对f（x）求导，故f'（x）=a/x-1/（2x2）+3/2；由于曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，所以该切线的斜率为0，即f'（1）=0，所以a-1/2+3/2=0，解得a=-1。（2）由（1）知f（x）=ln x+1/（2x）+3/2 x+1，（x>0），则f'（x）=1/x-1/（2x2）+3/2=（3x2-2x-
1）/（2x2）=（3x+1）（x-1）/（2x2），x>0，令f'（x）=0，得x1=1，（x2=-1/3，不在定义域，舍去），当x∈（0，1）时，f'（x）
2.运用导数的解题技巧。①求导后导数的几个固定形式：a.含分母的导数形式f（x）=（mx2+nx+p）/x，此类导数由含lnx的函数求导得到，所以定义域为（0，+∞），此时导数的正负与分母无关，只要研究g（x）=mx2+nx+p，分m=0及m≠0时Δ与0的关系即可；b.含ex的导数形式，此类导数的正负与ex无关；c.含三角函数的导数形式，利用三角函数的有界性。②二次求导的使用：当遇到含ex的复杂形式函数时可以采用二次求导的方法，例如设函数f（x）=ex-1-x-ax2。若当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围。一阶求导f'（x）=ex-1-2ax，二阶求导f''（x）=ex-2a，由于x≥0，所以ex≥1，即2a与1的大小与二阶导数与0的关系，而二阶导数与0的关系决定一阶导数的单调性，若一阶导数单调则必有f'（x）≥f'（0）=0成立，从而获得原函数的单调性。③恒成立的应用：恒成立是导数问题中永恒的话题，归结为一句话就是恒成立即为求最大值与最小值问题，所以是导数应用的一个最重要的体现。在导数问题中，几乎所有的最后一问都要涉及到这类恒成立问题。
四、结论
1.重视导数方面的学习，弄清导数的概念。
2.有必要强调导数的工具作用。
3.进一步加深对函数的理解和直观认识。总之，导数引入中学数学教材后，使传统中学教学内容注入了新的生机与活力，如何更好地利用导数这一工具来重新认识原中学课程中的有关问题并为解题提供新的途径和方法已经成为当今中学数学教学要面对的崭新课题。
随着时代的发展，特别是适应课程改革和考试改革的需要，数学教学应“与时俱进”，重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵导数作为新增内容，在研究函数的性质中发挥了重要的作用。函数是高中数学的主线，因此导数与高中数学的融会关系将会更近一步。高中数学是高中课堂极为重要的一门功课，在高考中占据很大的分量。导数作为高中数学的重要知识，不仅蕴含着丰富的数学思想，也是一种简捷而有效的解题工具，对于解决数学问题有极大的帮助，因此本文希望通过导数与函数间解题研究能够帮助广大同学更好地学数学。
参考文献：
[1]王锦.导数在中学数学中的应用[J].学科建设，2012，（8）.
当前，《高等数学》作为高职院校的一门公共基础课，存在着内容多、学时少的矛盾。微分学和积分学在现有的高职数学教材中占了大量的篇幅。随着新一轮的高中数学改革，《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称为《标准》）把微分中的导数及导数的应用、积分学中的定积分作为高中学生必须掌握的知识点，也是高考的一个重要考点，所以学生对这部分知识的掌握也相对提高了。然而笔者认为高职数学的教学内容仍然涵盖此内容，并没有任何升华，这就导致传统的内容体系很难满足现在学生发展的需求。因此，高职数学教材的内容体系应逐步更新，即简化微分学和积分学的知识，增加线性代数、概率论和数理统计的知识，以达到高职高专教育的“实用为主、够用为度”的要求，从而体现高职数学的服务功能。
一、高中数学新课标与旧课标内容对比
《标准》将《导数及其应用》这部分内容安排在选修系列1-1的第三章和选修系列2-2的第一章中。虽然是选修内容，但对绝大部分高中学生来说，它依然是必需掌握的知识。选修系列2-2增加了微积分基本定理与定积分的内容，对运算的要求也略有提高。
《标准》对《导数及其应用》的处理与原《大纲》相比，有以下几点变化：1、突出导数概念的本质，原《大纲》把导数作为一种特殊的极限来讲，过于形式化及抽象的概念使学生学习起来比较困难。而《标准》则非常强调对其本质的认识，提高了对导数几何意义以及用导数处理实际问题的要求。教材让学生从随处可见的平均变化率开始，巧妙地通过瞬时变化率引入导数的概念。这样引入能让学生更深刻地理解变量数学的本质，有助于学生对函数这一核心概念的深入理解。2、突出了导数在实际问题中的应用，从导数概念的引入到导数的应用，教材都列举了大量的实例。这些实例恰好是体现导数价值的最好素材，这主要体现在以下几方面：1、用导数求匀变速运动的瞬时速度；2、用导数处理切线问题；3、用导数研究函数，包括用导数研究函数的单调性、极值和最值，方法较以前的简便且具有一般性；4、用导数处理生活中的优化问题等。
二、高职数学教材的现状
现行的高职数学教材从内容展开的层次看，还是按照以前《大纲》的安排：第一章 函数、极限与连续；第二章 导数与微分；第三章 导数的应用；第四章 不定积分；第五章 定积分及其应用；第六章 常微分方程；第七章 向量代数与空间解析几何；第八章 多元函数微分学；第九章 多元函数积分学；第十章 无穷级数。现行高职数学教材中函数、导数的概念和导数的应用、定积分、数理统计等内容在高中《标准》选修系列2-2，选修系列2-3中占有很大的比重，并规定一学期来学习这部分知识，也是高考的必考内容。
高职院校在数学教学课时安排方面，无论是文科学的《经济数学》和理科学的《高等数学》都是把“一元函数微积分”作为所有专业的必修模块，高职院校在第一学期大部分专业开设高职数学，课时定为60学时。第一册内容包括：函数、极限与连续；导数概念及导数的应用；积分学及其应用。教学计划安排16课时讲解函数、极限与连续，24课时讲解积分学及其应用，20课时讲解积分学及其应用。这就重复学习了高中《标准》选修系列2-2，选修系列2-3中的数学知识。第二册的内容包括：多元函数微积分；无穷级数；微分方程；矩阵及其应用。第二学期只有少数专业开设数学课，因此现行高职数学教材内容导致学生浪费大量的时间重复学习高中已经掌握的知识。
三、高职数学教材体系重构的必要性
现行高职数学教材除了导数和定积分概念按惯例简单介绍了产生背景外，基本是沿用传统“定义、定理及证明例题”的固定模式，微积分只在部分章节后介绍一点数学概念的经济意义，片面强调数学技巧，学生无法创造性运用已有的数学知识去解决实际问题。而学生真正需要的与专业知识相联系的数学知识却涉及很少。两者没有达到有机整合，使学生觉得学习数学课程和专业课程无关联，无法激发学生学习数学的激情和兴趣。
高职教育改革的目的是要缓和学校人才培养模式与社会需求之间的差异和矛盾,更确切地讲,是要让高职院校学生能够掌握必需的理论知识与实践技能。就高职数学教育来看,重构数学教材体系的必要性与重要性在于:现行的教材内容的分布不合理，函数、导数概念及导数的应用在高中《标准》中作了详细的介绍也是高考的考点，不定积分的概念在《标准》中也作了介绍，所以学生对这部分知识掌握得比较好。现在高职数学教材中的微分部分又重复的讲解着部分知识。每个学校也安排了大量的课时来学习这部分知识。
四、高职数学教材体系重构的设想
基于上述保持数学的系统性理念及高职数学应该与专业相联系的基本原则，通过大量调研与实际经验的基础上，笔者认为高职数学教材体系重构可以从以下几个方面着手。
(一)“随风而动”保持数学的系统性为突出和体现数学的应用性，将新的高职教育数学课程体系确定为“应用数学”课程体系。整合后的课程内容包含：微积分、线性代数、概率论等。
1、微积分部分：由于高中《标准》对学生掌握微分和定积分知识的要求有所提高，高职数学教材应适当减少这部分内容，不要让学生浪费一学期的时间重复高中学习过的内容。因为，学生在高中的学习过程中都已经掌握微积分的基础理论和常用的计算方法。教材在这部分内容上应从数学方法解决几何、经济等实际问题的能力训练出发，通过微积分部分的学习，逐步培养学生的抽象概括能力、运算能力和综合分析问题、解决问题的能力，从而提高学生学习数学的兴趣。
2、线性代数部分：行列式、矩阵、方程组是线性规划、企业管理等学科的重要基础和工具。此部分的重点是计算方法、计算方法的应用。突出实际案例的选择和编排，达到使线性运算直接用于企业管理之中的目的，让数学和专业知识密切相关。
3、概率论与数理统计部分：概率论从数量上研究随机现象的统计规律性，它是本课程的理论基础。数理统计研究处理随机性数据，它以概率论为基础，建立有效的计算方法，进行统计推断。目前，概率论与数理统计的理论与方法在经济、金融与管理各个领域也有广泛应用。同时，概率论与数理统计的理论与方法又向各个基础学科，产生了一些边缘性的应用学科，是经管类各专业的一门重要的基础课和工具课。此部分重点是介绍数据统计方法，建立有效的统计方法，进行统计推断及假设检验，突出概率计算在统计方法中的应用，使学生掌握概率论和数理统计的基本方法，并具备应用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。
(二)改变模块顺序,增强数学的应用性与传统的经济数学相比，整合后的内容在知识结构顺序上发生变化。由于学生在高中的学习中已经熟练掌握了微积分和定积分的部分知识，所以在高职数学的教材中就应该减少计算性的例题，增加与专业有关的例题。介绍积分的计算既可以传授知识又可以满足学生的求知欲，达到节省学时提高效率之目的。最后介绍积分的应用，让学生把学到的知识用于实际问题之中。
(三)在各模块内容中做好教学重难点的转化教学内容和教学顺序的改变使得教学重难点也应随之改变。重新整合后的教学内容在以下几个方面实现了突破：一是极限理论处理办法是用复习方式一带而过。二是中值定理的处理，中值定理是导数应用的理论依据，但中值定理的结论抽象，其定理证明更是难点。教学时可以用简单的几何解释，使学生直观地理解定理及其意义。三是定积分的运算及定积分的应用采取复习的方式，教材例题增加与专业相关的题型，从而提高学生应用数学知识解决与专业相关问题的能力。四是矩阵的乘法，矩阵的乘法历来是学生学习的重点和难点，复杂的运算，让学生感到困难、无用。在此选取了有代表性的某公司年度预算报表中的实际案例，不仅使复杂的矩阵乘法运算得以轻松的解决，也使学生享受到数学概念在实际工作中应用的乐趣。
五、小结
高职数学作为一门公共基础课，在数学教学中突出应用不但是高职教育的目标要求，而且符合数学教学改革的趋势，因此，在高中数学教学不断改革的今天，高职教师必须对高职数学内容做全面的审视和反思，从高职数学课程设置、教材内容的改革等方面来寻求一种既能满足高职教育的需求，又能有效提高学生学习质量的有效途径。以最大化地体现“实用为主，够用为度”的原则。
参考文献：
[1] 人教版高中数学教材选修2-1[M] 人民教育出版社.2011.
[2] 人教版高中数学教材选修2-2[M] 人民教育出版社.2011.
[3] 胡龙.高等数学(上册)[M].高等教育出版社.2006.
一、从高中数学知识链中认识函数
函数是必修1的重点内容,也是中学数学的基本概念之一。新课程数学从必修到选修,函数是其中一条主线,主要体现在必修1:函数概念和性质与基本初等函数I(指数、对数、幂函数);必修数学4:基本初等函数II(三角函数);必修数学5:数列(离散型函数);选修系列1-1(2-2):用导数研究函数的性质。
函数是研究方程、不等式、数列、线性规划、算法、微积分的基本思想,函数模型是实际问题和几何问题中研究最值的常用模型。
二、从高中数学内容和结构中认识函数
必修1中主要是:函数的概念、图像和性质三种函数模型(指数、对数、幂函数)函数与方程函数模型及其数据应用。
必修4中主要是:角的概念及表示三角公式及应用三角函数的图像三角函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)三角函数模型的应用。
必修5中主要是:数列的概念及表示方法两种数列模型(等差、等比)a,S的研究数列模型的应用。
选修1-1(2-2)主要是:导数的概念及其几何意义常见函数的求导公式及求导法则用导数刻画单调性极大值、极小值最大值、最小值实际应用。
从高中所研究的初等函数来看,函数的研究的结构都遵循着以下几种结构。
三、从高中数学的思维方式认识函数
1.两条线索
一是抽象的数学研究,主要研究对象是符号y=f(x),符号化、形式化是数学的重要特征,如所有的函数关系都可以用抽象符号y=f(x)来表示,这种表示不仅形式简单,而且可以加深对函数概念本质的理解。
二是具体的实例研究,主要研究对象是y=a,y=logax,y=x,y=sinx,y=cosx,y=tanx,以及初中学的y=kx+b,y=,y=ax+bx+c等函数,通过研究这些函数图像,掌握这些函数的性质,对了解和掌握函数的性质具有形象直观的优势。
2.两个角度
对高中函数的研究是从两个角度进行的,一是从符号语言对函数进行精确的刻画;二是从图形语言对函数进行直观的描述。这两种角度贯穿了函数的学习的全过程,具体体现在以下几个方面。
(1)函数的概念
在函数的概念中定义域的定义为所有输入值x组成的集合,值域的定义为所有输出值y组成的集合。其本质就是由符号的取值构成的集合,而这两个函数基本概念用图形语言描述为函数y=f(x)的图像在x轴上的射影构成的集合即为定义域,在y轴上的射影构成的集合即为值域。如图1,值域用图形语言描述。
(2)函数的表示方法
函数有三种表示方法:列表法、图像法、解析式法。
解析式即用一个关于x、y的二元方程f(x,y)=0来表示两个变量之间的关系。图像即把二元方程f(x,y)=0解构造为一个点集{(x,y)|f(x,y)=0},然后建立平面直角坐标系画出函数的图像。前者是通过式子用代数的方法刻画了两个变量之间的关系便于通过等式研究函数的性质,而后者是通过图形用几何的方法刻画了两个变量之间的关系能够直观反映函数值随自变量值变化的趋势。
如方程x+y=1(y≥0),根据函数定义可得,该二元方程即为函数y=,而该方程的解构造为一个点集{(x,y)|y=},画出图像如图2所示。
(3)函数的性质
①单调性
符号语言:“>0”就是对自然语言“随着x增大,y也增大”的精确刻画。
图形语言:
从左向右观察,曲线在逐渐上升,这样就是对自然语言“随着x增大,y也增大”的直观反映。
②奇偶性
符号语言:“?坌x∈D,f(x)=±f(-x),”就是对奇偶性的精确刻画。
图形语言:通过图形关于y轴对称和关于原点对称直观反映了函数奇偶性。
③周期性
符号语言:“?坌x∈R,f(x)=f(x+T)”就是对自然语言“周而复始”的精确刻画。
图形语言:通过图形的不断重复,直观地反映了函数的周期性。
从函数的概念到函数表示与函数性质,我们可以发现高中函数的研究是从代数角度用符号语言和几何角度用图形语言这两个角度来进行研究。
四、从高中数学感受与应用认识函数
1.函数与方程之间的关系
代数:ax+b=0相当于函数y=ax+b,当x=?时y=0?
ax+bx+c=0相当于函数y=ax+bx+c,当x=?时y=0?
f(x)=0相当于函数y=f(x)当x=?时y=0?
几何:方程f(x)=0的根即为y=f(x)的零点。
2.函数与不等式之间的关系
代数:y=ax+b>0,y=ax+bx+c>0,即解不等式的解的问题就是函数值大于零或小于零时对应自变量的值。
几何:如:x-5x>0的解集即为函数y=x-5x在x轴上方所对应图像在x上投影的集合。
3.函数模型的应用
日常生活中有着太多的变量与变量之间的关系,如何用数学的方法来研究它们,而函数作为一个重要的模型之一,其发挥着巨大的作用。
用数学的方法来研究实际问题,其本质就是建立数学模型和数学方法的运用,其过程如下图:
高中新课程对实际的应用进一步加大,其目的是想通过对函数的应用,使得以前我们对于数学与实际、数学与其他学科的联系未能给予充分的重视,使得学生对数学的兴趣日趋减少,认为数学就是做题,学数学没用、升学有用等现象得到避免,通过数学应用的教学活动符合社会需要,有利于激发同学们学习数学的兴趣,有利于增强同学们的应用意识,有利于拓宽学生的视野。
