时间：2023-06-18 10:35:52
序论：在您撰写数学与基础数学时，参考他人的优秀作品可以开阔视野，小编为您整理的7篇范文，希望这些建议能够激发您的创作热情，引导您走向新的创作高度。
一、经验性教学资源
经验性课堂教学资源的含义是指以老师学生在日常生活中所共有的经验为依托，在此基础上将数学学习的相关内容与之结合，使学生能够借助于生活经验来了解和掌握数学知识与技能。
例如教师在进行“加减法的一些简便计算”相关内容教学的时候，学生对于“2938+198=2938+200―2”和“2938―198=2938―200+2”这样一类含有简单算理在内的简算过程不是太容易接受，这是因为学生在当前阶段还没有具备一定的数学思维，即使这是一种最为简单的数学思维。为此，教师在生活的宝库中寻找相似场景，相关的可供使用的原型很多，譬如发工资奖金加班费、在柜台买东西找零、在水果批发市场称重、物资库内物资的出入库等等。考虑到最为贴近学生的生活，教师选取了“发工资奖金”和“柜台买东西找零”的场景进行了模拟，分别将“2938+198=2938+200―2”与“2938―198=2938―200+2”的数字表达转化为“甲一个月工资2938元，因为某周六加班一整天，单位会计又额外补发给他198元，会计给他两张一百元面值的钞票，甲找出两块钱硬币给会计”和“甲随身带了2938元现金去商场购买了一双198元的鞋，甲拿出两张一百面值的钞票，收银员找了他两块钱的硬币”，同时教师也让学生来进行模拟操作。
在学生模拟完成之后，教师及时总结出“先补整，后找零”的简单算理，这样的一种经验型隐性课程资源的开发不仅使学生掌握了简单算法，而且对于数学思维有了最为基本的接触，更为重要的是亲自将数学与生活进行了结合，这一切对于学生来说都是“脱离了书本的新鲜事物”，与此同时，学生们看待数学的眼神正在悄悄的改变着。
二、生成性教学资源
生成性教学资源的含义是指在教学中，根据学生对于学习内容的反应（行为或者语言上的表现），并灵活选取其中的具体内容，辅以教师的引导，从而将自己的教学通过学生的反应来进行有机的联系，将教学以一种易被学生接受的方式高效的进行。这样的教学方式叫做生成式教学，在这之中，学生的一些对于教学有很好帮助的反应（基本上是以语言的形式来表达，是思维的反映）就可以称之为生成性教学资源。
例如，在教学“统计”的时候，教师设计了FLASH动画，以空白球场和篮球、足球、排球、橄榄球、网球、羽毛球、乒乓球等若干种学生较为熟悉的球类为主体，设计制作出了“非常多的球无规则排列成一条直线依次滚进场地”的情景，这样的情景会自然而然的促使学生特别的想知道这里面一共有几种球，与此同时就会有学生根据自己的想法、运用自己的方法来对其进行统计。
动画播完之后教师对学生进行提问“画面中一共有多少只球？”、“这里面有几种球？”、“每种球有几只？”
随即有学生回答“多少只球没有数，但是我看清楚了这里面有七种不一样的球！”
师：那么有谁将动画里出现的球的总数数清楚了？
生1：老师，我数清楚了，应该是99只球。
师：不错，那么又有谁知道每一种球分别有多少只呢？
生2：这个还真没有数清楚！
生3：老师，我喜欢足球，我就盯着足球看了，好像一共有10只足球。
师：非常好！这位同学数出了足球的个数！那么有没有其他同学数了其他的球呢？
生：没有。
师：那么我们再看一遍好不好，每个同学都自己数一遍，看看能不能数清楚！
生：好！
学生们再次观看动画！在这之前，“统计”的相关概念已经通过老师和学生问与答具化为“数清楚每一种球类的个数”，于是学生们开动脑筋，使用自己的办法，依据自己的能力，或自力或合作，运用了各种方式，将各种球类的个数清楚了，而紧接着教师再次运用规范语言对“统计”进行简介，相辅相成，便将统计教好教透，学生在此过程中不仅收获了知识也收获了意识与能力的提升。
三、错误性教学资源
错误性教学资源的含义是教师对于教学过程中出现的错误（以学生学习中的错误为主，教师在教学中原则上不能出错，除非错的恰到好处精妙异常）予以改正或“将错就错”，以使学生的思维得到拓宽。
例如，在学习角的过程之中，教师为了拓展学生对于角的理解和把握，于是采用提问的方式，要求学生说出生活中出现的角。
生1：墙角。
生2：桌角。
生3：菱角。
师：什么菱角？
生3：菜市场有的卖的那个好吃的菱角。
师：哦，吃的啊！（教师以为该学生在开玩笑，一时也没有反应过来，所以语气与表情都带有质疑的涵义）
学生们瞬间哄笑开来。该学生脸涨得通红，很无辜的说：“菱角虽然可以吃但是它的确也是角啊！你看两个尖的，有的侧面也有两个尖的，可以说是锐角的一种变形。”
教师瞬间的冷静了下来，一点都没有错，菱角真的也是有好几个角，只是不规范而已！
于是教师快速的进行应变，请该学生对他的答案进行解释，同学们听了之后，在觉得该同学的观察细致入微的同时也暗自要求自己要更加的细腻。
这就是一种由错误引出的隐性教学资源。
全面贯彻党的教育方针，深化教育改革，推进素质教育，是当前我国教育改革的重要任务。教育部计划从2001年秋季开始，用大约五年左右的时间在全国推行义务教育新的课程体系。在新一轮基础教育课程改革中，在理念、目标、结构、内容、实施、评价等方面较以往的课程有了重大的突破和创新，对广大中小学教师和教育工作者提出了许多新的更高的要求，对培养教师的高等师范院校提出了严峻的挑战。高师数学教育面对课改带来的一系列变化，应采取积极的策略应对这些挑战，不仅有利于保障课改的顺利实施，也有利于推动高师教育自身的发展。
一、基础数学课改对高师数学教育的挑战
基础数学课程改革具有很强的系统性，是真正意义上的课程文化创新，是一场深刻的课程文化变革，它将改变学生沿袭已久的被动接受的学习方式，同时也将改变教师的角色，教师从“儿童的保姆”、“小树的园丁”、“知识的批发商”转变为“教学活动的组织者”、“学生成长的促进者”、“课程结构的研究者”。基础教育数学课程改革向培养中小学数学教师的高师数学教育提出了严峻的挑战。
挑战一：教育理念的更新
新旧课程的本质区别是教育理念的不同。旧课程观认为课程是知识，教师是知识的传授者，教师是中心，学生是知识的接受者，而新课程观认为课程不仅是知识，同时也是经验，是活动；课程不仅是文本课程，更是体验课程；学生获取知识的过程是自我构建的过程，是师生共同探究新知识的过程。旧课程认为课程就是教材，教材又是知识的载体，而新课程观认为课程是教材、教师、学生、环境等因素的整合，是一个生态系统；师生是课程资源的开发者，共创共生，形成学习共同体。目前，师范在校生接受的是传统的数学教育，陈旧的教学理念在头脑里根深蒂固。而基础数学课程改革能否取得成功的核心问题是数学教育理念能否转变为教师的教学行为，陈旧的教育理念很难保证高师生在未来数学教学中适应基础教育数学课程的改革。
挑战二：教育目标的多维性
传统的应试教育由于过分注重知识的传授和学科本位，强调知识和技能的获得，学生被动学习，死记硬背，机械训练，大部分学生失去了学习数学的兴趣，90%的学生陪10%的学生学习数学。新课程数学教育是“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”三维一体的培养目标，不只是让学生获得必要的数学知识和技能，还包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面的发展；让学生愿意亲近数学、了解数学，学会用数学的眼光去认识自己所生活的环境和社会；学会“做数学”和“数学地思考”；发展学生的理性精神、创新意识和实践能力，培养学生克服困难的意志力，建立自信心等。但目前的师范生，大多采用被动接受的学习方式，重结果轻过程，重套用轻创造，重理论轻实践；对学生情感、态度和价值观的培养不够关注，这样培养的数学教师与素质教育要求的新型教师是不相符的。
挑战三：数学课内容的整合性
基础教育数学课程与原课程相比较有重大变化，一是教材内容的变化。增加了一些有用的、与日常生活紧密的内容，如视图与投影，数据处理，数学建模，算法，信息安全与密码，测量，二维与三维图形的转化，风险决策等，这些内容在高师数学专业课中比较薄弱，有些甚至是没有覆盖的。二是教学内容的变化。教学内容不仅仅是教材，还包括教师、学生、教材和环境等因素的整合，因为这些因素对学生的教育和影响远远大于学生在课本上学到的东西。这就向传统的、有缺陷的高师数学课内容提出了挑战。
挑战四：教学活动中角色的转变
素质教育提出：数学教学应该是数学活动的教学，是师生之间交往互动与共同发展的过程，是以学生学习兴趣和内在需要为基础，以主动探索、变革、改造活动对象为特征，以实现学生主体能力综合发展为目的的主体活动。学生是教学活动的主人，教师是组织者、引导者和合作者，教师要从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流获得知识、形成技能、发展思维、学会学习，关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都能得到充分的发展。而目前高师数学教学中，教师基本上是“满堂灌”，教学过程呆板，缺乏探究和学生的主动参与，缺乏相互的合作和交流。学生是忠实的听众，被动地围绕上课、作业和考试转，缺乏主动探索精神，这样的教学活动不利于师范生从学生向新型教师角色的转变。
二、高师数学教育的应对策略
在我国教育战略、政策、体制改革的大背景下，随着教师教育改革的不断深入，高等师范院校在未来教师培养方面所面临的挑战应予高度重视。针对当前我国基础教育正在进行大规模的改革，中小学数学课程出现前所未有的变化，高师数学教育“教什么、怎么教”，如何使培养的学生适应基础教育数学课程改革的发展要求，是需要深入研究的问题。笔者认为高师数学教育面对基础数学课改的挑战应做好五个“转变”：
策略一：教学内容的转变
高师数学教育类课在很大程度上仍然没有跳出“数学+教育学”的传统框架，所开设的课程基本上是纯数学的，重在专业基础知识的培养，这当然是必须是。但素质教育要求数学必须与其他学科和生活实际相联系，更注重实用性，更注重师范生的数学素养和师范技能的培养，使师范毕业生在具有扎实的专业基础知识的同时，还要具有应用意识、建模意识、学科综合意识和教育现代化意识。所以，高师数学教育应调整基础数学课程和应用数学课程，对专业必修课的内容进行整合和优化，加强基础性、前沿性和综合性内容。教学内容应包括教
转贴于
育的现展、数学学习心理学、数学教育理论与实践、数学建模、新课程标准解读、新教材教法研讨、课例评析等，使高师数学教育达到“授人以业、授人以法、授人以道”的目的。
策略二：教学方法的转变
恰当的教学方法是对素质教育理解的直接体现，教师的作用是通过课堂教学来体现的。传统的讲授法不能适应素质教育的要求。素质教育的最大特征就是由“教给学生数学的结果”转化为“引导学生参与学习数学的过程”，这不仅仅是对中小学的要求，也是对高师的要求，更是对高师数学教师的要求。高师数学教师在教学中的地位应重新定位为数学探索活动的设计者、组织者、“导游”，数学教学必须使学生参与到数学探索活动中来，传统的“以教师为中心”、“教师在课堂上起支配和决定作用”的状况应改变，学生的主体地位应加强，让学生在学习中进行探索并主动构建知识。发展学生自主学习、自主探索、自主构建、自主创造的行为模式。高师数学教师的教学行为直接影响学生的学习方式和未来的教学方式，许多有效的学习方法和教学方法是直接从教师具有示范性的教法转化而来的。
策略三：教学模式的转变
由于同一年级学生的知识、能力、背景和理想等因素的不同，传统的同一的教学模式与分化的学生之间存在的矛盾比较突出：“比较差”的学生跟不上，“优秀”的学生感到吃不饱；立志从教的学生（假设为a层）觉得师范技能培养不够，立志进一步深造的学生（假设为b层）感到专业知识需要提高。分层次教学模式是解决这一矛盾的有效方法。对不同的学生制定不同的教学目标和教学内容，提出不同的要求：a层学生应达到中学教师的基本要求，b层学生在知识能力达到较高要求的同时应在创新和应用上有所拓展。
策略四：学习方式的转变
长期以来，相当数量的学生几乎是从小学开始面对应试的竞争，并随着年级的升高愈演愈烈，这对学生的学习方式产生了许多不良影响：读死书和死读书；死记硬背概念、公式、性质、定理和解题方法；搞题海战术；不习惯于合作和探索。现代数学教育理论研究的一个重要成果是获得了关于学生学习活动本质更为深刻的认识：这是一个以其已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，是一个社会的过程。学生的学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受。高师院校应充分利用自己的课程资源和各种信息技术作为学生学习数学的平台，给学生自由学习的时间和空间，为学生创造充分的条件，在独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学和课题研究中体验数学的本质和学习数学的乐趣，学会“做数学”的方法。
策略五：学习评价方式的转变
关键字：数学学习；理性思维；思维模板教学法
对绝大部分运动员来说，学习数学这门课程对他们而言是很痛苦的。所以在数学课堂上，除了少数几个能够一直跟着老师的思路学习的，其他的人不是睡觉，就是在做自己的事情。毫无疑问，这些运动员的数学成绩在考试的时候基本上都是在挂红灯笼。作者在上海体育职业学院上数学课也将近两年了，各个年龄层次，各个基础层次的学生也接触了不少，以上的情况基本上都出现在每个年级，每个班。课后，与他们交流为什么不想学数学，他们的回答也都很实在：“学数学做什么，只要钱不会数错，不就行了!”“你给我们的那些什么推导啊、公式什么的，有什么用啊，以后又不会用到。”在听了这些话后，作为一名教育者，真是心酸又好笑，都是十六七岁快成年的人了，对于数学，对于科学的看法怎么还跟小朋友差不多呢，思考问题还是停留在表面，缺乏深度，这不免让人对他们在以后的学习和工作产生担忧。
一、运动员对数学产生厌学情绪的原因
数学本身就是一门系统性很强，连贯性很强的学科，首先对学生的出勤率就有要求。而我们的运动员，尤其是我们体育职业学院附中的优秀运动员对于这点本身就很难做到，每年在十月到十二月份，三月至六月份，外出集训或者各类大小的比赛致使他们无法正常地坐在教室里面听课，以至于回来之后，老师当堂讲的内容他们消化不了，再加上训练过后的疲劳，自然而然教室里面趴倒一大片，这是其一。
其二，就如上文提到的，很多学生对于数学的认识就有误解，认为学习数学是可有可无的，以后也用不到。其实，这个原因也与他们从小到大文化学习的不完整、不连贯有关。如果是普通全日制的学生，他们应该有了解，学习数学不仅仅是教我们学会算数，这只是学数学的表面层次，更重要的是，学习数学知识是培养我们理性思维的载体。在我们国家，运动员都有一个很普遍的性格特征，在对待问题方面，他们不是缺乏解决问题的胆量，而是缺乏思考，做事情比较冲动，考虑问题不是很周全，我认为这与他们数学学科学习的薄弱性是有很大关系的。
二、学习基础数学的重要性与必要性
其实，我们的小学数学，初中数学，高中数学都是有很强的系统性的，只不过，这个知识系统的复杂程度不一样。前面，我们也说到，学习数学，不只是单纯的学习数学知识（概念、定理、公式等等），更重要的是以数学知识为载体培养理性思维。这种素质的培养对运动员而言，无疑是非常必要的。例如，在解数学证明题时，我们由已知能得到什么，条件预示可知并启发解题手段，导出结论需要什么，它预告需知并诱导解题方向。如果由已知条件能直接得到结论，则解题成功；如果由条件不能直接得到结论，就要转化，转化必须等价，因此前一步到后一步往往会有附加条件约束，它是正确解题的前提，也是检验的依据，可以是数形结合，可以是变形（恒等变形或非恒等变形），可以构造模型，也可以用辩证思想作指导，等等。各种思想方法在此大有用武之地。
三、如何做到有效地学习数学
由于客观原因的存在（学习时间有限，无可避免地缺课），在目前我们无法改变客观存在的时候，我们只能在现有的基础上实现最有效的教学。
第一，教材的处理。
目前，就数学教材而言，我们所用的还是全日制普通中学的教材，如果按照教材上既定的课时进行教学的话，一是难度较大，二是课时任务紧张。这就要求我们老师在备课的时候，结合运动员的学习特点，将难度降低（降低到最简单），对课时进行压缩（压缩到一学期课时任务的三分之二）。这样，不仅减轻了学生学习的任务，而且使课堂的有效性学习得到提高。
而对于长时间不能上课的运动员，在他们也要考试的时候，我们也可以将这些内容以“常识”的形式介绍给他们。之前，我在给一个海事大学大三的运动员补数学的时候，发现他连对数是什么形式的都不知道，这种情况在当今这个时代应该算是荒唐的，对此，让他再重新学习数学没有必要也没有时间，那么，就给他辩证地介绍对数的起源，既学到了知识，又减轻了负担，而且还具体地了解了辩证思维的一个实例。
第二，课堂教学。
目前全日制学校普遍倡导的是以学生为主体的教学组织形式，然而，我认为这方式还是不能完全适用于我们的运动员。
根据我们上海体职院附中运动员的学习特点与他们目前的知识结构来看，让学生去主动地探究学习，不符合实际，而且会降低课堂学习效率，何况，他们的学习时间已经非常少了，最终的结果只是浪费时间。但是，我们可以结合教师为主导以及学生为主体的这两种教学组织形式运用到我们的运动员学习的课堂上来。
其实，思维与语言也类似。在语言的学习初期，我们只是纯粹地模仿，在熟练之后，我们才会自然而然地运用语言去演讲，去写文章，古今中外的文人骚客们创造出了多少流芳百世的奇闻佳话啊。同样的，在思维的初期，我们也可以先进行模仿，也就是说把思维模板化，让运动员去熟练各种各样的思维模式。再结合前面的教学组织形式，我把这种教学方式成为“思维模板教学法”。
在课堂一开始的时候，这个时间段学生的思维比较活跃，老师可以对本节课的问题给出一个思维模板，并对这个思维模板进行较详细地解释（教师为主导）；在课堂中间的这个时间段，学生对于这个思维模板已经有了一定的了解，这个时候，可以适当地把课堂交给学生，教师可以给出一到两个类似的问题，让学生模仿这个思维模板进行解决问题，并给出一些奖惩制度，激发学生的学习兴趣（学生为主体）；课堂尾声，教师再重回主导地位，根据学生对这个思维模板的掌握情况的反馈，及时给出有效性的解决方案，完善课堂教学情况。这是我在教学两年来，相对狭义地认为是对运动员的数学学习比较有效的一种方法。
第三，课后交流。
在客观上，运动员的主要任务还是在于训练。考虑到这个特殊性，为了更好地教学，我们不仅要与学生及时沟通，也要和他们的教练，领队做好沟通。前者，完全看老师；后者，虽然教务处的工作人员已经在这方面做出了很大的努力了，当然，对学生的学习情况最了解的还是老师。所以，不管是学生还是教练、领队，都需要我们老师及时地去沟通。然而，我认为这种沟通还不够深入，尤其是教练、领队这块。目前，我们的沟通都只是停留于电话和联系单，这些都存在很大的滞后性，导致解决问题不彻底。在这里，我有一个建议，文化教师与教练或领队进行交流互动。文化老师在没课的情况下可以去训练场了解运动员的训练情况，据我观察了解，绝大多数在学习上比较刻苦用功的运动员他们的运动成绩也都比较优秀，这其实也证实了方法是相通的，思维也是相通的道理；而教练或领队在运动员上课的时间可以与运动员一起听课，这对运动员的学习自然而然地就会起到一个督促作用。
以上是我对如何更好地促进运动员学习数学知识，培养数学理性思维的一点自己的观点和建议，在内容和结构的严谨性上还存在很多不足，希望各位同行能够多多提出指导意见。
关键词：基础数学；代数知识；融合思路
1 引言
随着社会的发展和经济的进步，国家越来越重视对于人才的培养，未来国家之间的竞争，归根结底是人才的竞争，于是承担教育人才和培养人才的教学工作也尤为重要。教育在发展，教育改革也在不断探索，我国传统的数学课堂中，将微积分学与线性代数作为两个分开的学科进行教学，有的学校甚至要求不同的教师进行分别授课，这样，学生在学习的过程中就会随着趋势将两种知识划分出界限，用两种不同的思维去看待两种课。而实际上，这两种课型只是数学学科的一个分类，在实际的解题过程中应用着相同的数学思维，为了进一步培养学生的数学思维，提高数学课堂的教学质量，我们必须将两种学科进行有意识的融合，让基础数学与代数知识进行有机结合，只有这样学生才能逐步形成大数学的概念，便于学生在继续深造的过程中更好地利用数学知识，熟练地掌握数学知识。
2 基础数学教学与代数知识融合的必要性
基础数学是数学的入门课程，比较偏重于探索和发现数学内部的规律和特点，是狭义的数学，是广义数学的一个分支，我们在学校中所学习的代数、几何以及高校中的微积分都是基础数学的内容和组成部分。所谓的代数就是数字之间的游戏，主要研究数字之间的计算基本原理以及各种数字计算的基本方法，一言以蔽之，就是研究数字的一个学科分支。通常来说，学校的数学课从启蒙之初首先开始教的就是基础数学，例如我们在课堂上向学生传授数的概念，基本的加法运算、减法运算进而逐渐拓展到乘法运算和除法运算，乃至相应的分数计算和小数计算等，拓展学生的思维，引导学生发现数字之间的规律。随着学生认知水平的提升，以及知识积累程度的增加，在初中阶段逐渐引导学生开始认识几何图形，从理论上的数字计算拓展到抽象数学思维的提升，很多学生在升入初中开始接触几何图形后，数学成绩会直线下降，他们既有的数学思维难以适应抽象的数学分析，这成为初中数学教师普遍遇到的难题。而究其原因，就在于学生对于数学图形的认识过于晚，已经形成的数学概念难以延伸到抽象几何图形中去，为了提高学生的数学能力，降低初中数学教育的压力，有必要在小学阶段，甚至是学生开始接触数学学科阶段就培养他们的基础数学与代数知识的融合，拓宽数学思维的广度和深度，逐渐形成基本的数学能力。
2.1数学各学科之间相互渗透是数学发展的趋势
数学之间的融合是教育的一个必然发展趋势，目前一些学校已经开始着手进行综合学科的教育探索，学生综合能力的培养是未来人才教育的一个重点。在这样的大背景之下，数学学科必然要适应教育改革的发展趋势，在自身的教学工作中努力实现融合，这就要求基础数学与代数知识进行有机融合。同时数学之间的知识是融会贯通的，如果强行将二者分开，不仅在教学过程中学生对知识点的理解难度会提升，而且两个学科之间的进度存在差异，学生在理解某些基础数学知识过程中，需要应用到的代数知识如果还没有学习，那么整个基础数学的教育工作就会受到影响。
2.2提高学生的学习能力
学生在数学课堂上基础的学习能力是运用公式进行相关问题的处理，而基础能力的培养则在于挖掘学生的数学思维，使其能够独立地发现问题并很好地解决问题。而数学是一个连贯的体系，如果分开授课，学生的思维必然会受到影响，一些数学方法的培养、数学方法的发现必然会受到制约。如果将基础数学教学工作与代数知识的讲解结合起来，那么学生的思维必然得到拓宽，学生的学习能力也必然会提高，教师会发现，原本的课堂难点，在学生独立自主探究的过程中就转化成为了简单的知识点，解放了教师，也培养了学生。
2.3为学习更多的数学知识打下基础
我们对于人才的培养应该是立足长远的，立足于学生更远、更深入的知识性的学习，学生在进入高等院校之后必然会接触到更为深奥的数学问题，此时，数学问题的解决必须应用到相应的基础数学与代数知识，同时需要他们之间方法的融合，如果此时才进行新的方法的教授，学生的固有思维已经根深蒂固了，教学压力就更大了。因此，对于学生数学思维的培养应该是在教育的初级阶段就进行相应的渗透，只有将基础数学与代数知识的教学工作进行融合，才能更好地促进学生的学习。
3 基础数学教学与代数知识的融合思路探究
基础数学与代数知识之间的融合并不是简单地将两节课并为一节课，将两个授课教师变成一个授课教师，它更加重视的是一种思路的融合、一种方法的融合甚至是一种观念的融合。因此，即便我们认识到了基础数学与代数知识进行有机融合的必要性，也乐于去尝试融合性教学，但是在实际的课堂当中，落实过程中仍然面临着诸多的问题。例如融合的具体模式是怎样的，融合的主要内容如何选取，融合的知识如何传授才能符合学生的认知水平，这些问题都有待于教育学家与一线的数学教师进行深入探讨和研究。笔者具有多年一线教育经验，同时担任数学教材的编写和研究工作，对于数学学科的学情和内容等都比较熟悉，因此，在不断的课堂探索和理论分析中，逐渐形成了几点自己的建议，下面进行详细的说明和分析。
3.1教师要完善教学体系
学生是课堂的主体，是课堂活动的主要参与者，而教师则是课堂活动的组织者和引导者，要想将基础数学与代数知识进行高效融合，教师首先需要建立起一套完整的教学体系。对此，我们提出了如下要求：一线数学教师要充分掌握相关数学知识，并对所有的知识点能够进行横纵两个方向的独立梳理，站在高处俯视教学工作，对于教学过程中可能涉及到的每一个知识点都具有精通的水平；教师是传道授业解惑的主体，在教学过程中教师不必每一道题都详细地讲解和分析给学生看，但是教师必须具备将基础数学与代数知识进行融合的方法，并能够将这种方法很好地描述给学生，努力提高学生掌握方法的能力。当然在实际的教学工作中，由于学生的认知水平以及学习态度和学习能力的差异，学生对于知识点的领悟和分析能力是有差异的，所以在实际的教学工作中还要因人而异地进行教学体系的适当调整。
3.2将基础数学教学与代数知识进行整体讲解，合理安排教学顺序
在进行基础数学教学与代数融合的时候，教师须要根据教学需要对所教授的课程进行合理安排。基础数学授课与代数知识教学课程一般是分离的，采用将两者融合的方法促进学生的学习存在困难，所以对课程做出合理的安排对方法的实行有很大的促进作用。在实践中，教师可以先讲解代数中的逻辑、集合映射、群、环、域等内容，针对这些内容，讲解基本数学中的单变量微积分，再讲解代数知识中的矩阵、行列式、矩阵空间，与这些代数知识相联系的是多变量微积分。通过这样的讲解方式，学生能够很清楚地认识到基础数学知识与代数知识是密不可分的，它们之间的融合更能促进学生对数学的学习。
3.3教师在教学过程中要多设置两者都能解答的题型
学生的固有思维一旦形成，那么就很难将其更改。所以教师在授课过程中要有意识地多设置一些必须充分运用到代数知识和基础数学知识才能够解答的练习题或者是家庭作业，并给学生充足的思考时间和解决时间，学生在探索过程中必然会逐渐摸索方法，实现方法融合，这样不仅简化了基础数学与代数知识的融合教学过程，还培养了学生的融合能力和思维能力。习题是学生提升自我能力的一个重要途径，任何的讲解和方法的传授最终都需要通过习题来进行巩固，所以在习题的设置过程中就是教师对学生能力有方向的培养过程，教师在题型的设置问题上要尤为注意。
4 结语
数学学科是一切工科学科学习的基础，无论是物理学还是化学甚至是医学等，都离不开数学知识作为支撑，因此，无论是学校还是家长甚至是社会对于数学学科都是尤为重视的。而数学学科不同于语文等语言类的学科，它更加注重对于学生思维能力的培养和思维方法的探索。如果能够将基础数学与代数知识进行有机结合，那么学生的数学思维能力就会得到很大的提升，学生在未来的学习过程中就会不断培养自己解决问题的能力，这对于学生的长远发展是十分必要的。广大的教育工作者必须清醒地意识到将基础数学与代数知识进行融合的迫切性，要在实际的教学工作中进行不断的探索和钻研。
参考文献：
[1]徐登明.浅谈本科基础数学教学中分析与代数知识的融合[J].大学教育，2015，（4）.
关键词 小学数学 小学生 兴趣 基础学力
中图分类号：G641 文献标识码：A
Talking about interest in Mathematics and Basic
Training of Primary School Students
YUAN Xu
(Shangshui County Education Department of He'nan Province, Zhoukou, He'nan 466100)
AbstractInterest is a positive, active mental state, once students are interested in mathematics, mathematics is a pleasure for them, interest due, basis of of scholastic ability in mathematics can be formed. In this paper, on the basis of exploring scholastic ability and interest, analysis of the affecting factors of the formation of basic skills in primary school students' interest, and for some of the problems in primary school mathematics teaching, put forward some suggestions for improvement.
Key wordsprimary mathematics; primary students; interest; basic scholastic ability
1 兴趣与基础学力
心理学研究表明，兴趣和个体活动的“目的”与“方法”是一致的。要理解兴趣的内涵，则须处理好以下两种关系：一是直接兴趣与间接兴趣。“所谓直接兴趣是指个体对接触的事物或参与的活动本身引起的兴趣，这种兴趣要求方法和结果结合在一起，主体需要的是一种及时的对活动本身的感觉和满足，不需要在活动之外再去寻找某种事物。间接兴趣是由活动成果或其它传媒所引起的兴趣。有时候，个体开始时并不对某项活动感兴趣，但在活动过程中发现结果乃是自己感兴趣的，于是，对于这项活动的过程也来了兴趣。”①二是兴趣与基础学力。基础学力指“构成一切学习之基础的‘三基’读、写、算的基础学力。”“学力结构包括知识、理解、问题解决学力、兴趣、态度之中作为基础部分的学力。”②小学生数学基础学力的形成是多种心理因素综合影响的结果，而兴趣又是小学生基础学力内在构成的重要因素。
2 兴趣对小学生数学基础学力形成的影响
兴趣不仅能推动人们去寻找知识、钻研问题、开阔视野，而且也是推动一个人走向成才的原动力。小学生一旦对数学学习产生兴趣，就会持续地专心致志钻研它，从而提高数学基础学力。学力问题的论争起源于日本，“现代在日本的学力论争所缺乏的是，如何变革课程与教学的讨论。”③那么，兴趣对小学生数学基础学力形成会产生什么影响？通过文献研究，大致可概括为以下几个方面：
（1）兴趣是小学生学习的推进器。数学教师在教学过程中善于激发小学生的学习兴趣，就能激活小学生学习的主体性，小学生对数学问题的认识和思考才能由被动变主动，抽象思维能力和数学基础学力才得以形成。
（2）兴趣是影响小学生学习态度的重要因素。心理学研究表明，在诸多非智力因素中，兴趣是影响小学生学习主动性，影响小学生学习效率的关键因素之一。在数学学习过程中，浓厚的数学兴趣会使小学生产生积极的学习态度，进而推动他们兴致勃勃地进行数学学习，自觉地克服数学学习中所遇到的各种困难和问题。而缺乏兴趣的强制性学习，只会扼杀小学生数学学习的欲望，降低他们的基础学力。
（3）兴趣影响小学生对数学学习过程的内心体验。在小学数学教学中，教师们常常叹息小学生数学基础学力低下，那是因为小学生在数学学习过程中缺乏了丰富的生活体验。唯物辩证法认为，实践是认识的来源。因此，对生活的体验既是小学生认知的源泉，也是小学生数学基础学力形成的根基。离开了真实的生活体验，小学生的数学学习就变成了“无源之水，无本之木。”教师只有把数学教学落实到小学生的生活中去，才能理论联系实际，激发小学生的数学兴趣，通过小学生的数学基础学力。
3 数学教学中小学生学习兴趣与基础学力培养的缺失
兴趣是影响小学生数学学习的重要因素。随着基础教育新课程改革的不断深化，小学数学教学与研究也越来越关注小学生学习兴趣激发和基础学力的培养。然而，受各种因素的影响，小学数学教学中小学生学习兴趣和基础学力培养还存在一定的缺失，可表现为以下几方面：
（1）教学目标脱离小学生的发展实际。兴趣和自信心是小学生不断走向成功的前提条件。然而，目前的小学数学教学存在着较多的问题，影响了小学生的数学兴趣培养和自信心形成。主要表现为教师把教学目标定位过高。《小学数学课程标准》强调：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”目前还有不少教师对小学数学“新课标”不理解，教学目的不明确，教学中往往以“应试教育”为导向，讲求“近期效益”，将数学教学过程变得过于复杂、过于抽象化，使小学生觉得数学 “高不可攀”，严重挫伤了小学生的数学兴趣和自信，出现消沉、厌烦等情绪。
（2）教学过程脱离了小学生的生活体验。数学知识有着显著的系统性，但对学生而言，这种系统性不应当简单地“被告之”，而应建立在学生的生活体验之上，使学生在体验中形成自主“建构”。但是，现行小学数学课堂教学的简单、线性和机械主义，小学生只知道被动接受运算训练和基本概念背诵，数学课堂变成了“纯知识”教学，脱离了社会生活和小学生的实际，变得刻板、僵化、难以理解，课堂教学缺乏兴趣、生机与活力。
（3）常规教学定势制约了小学生的学习兴趣。定势是指由于先前的活动而造成的一种心理准备状态，它使人以比较固定的方式去进行认知或做出行为反应。学习的有关理论告诉我们，不是所有的学生都是按照同一种方式加工信息，有点学生擅长加工图片信息，有的学生擅长加工文字信息，有的学生擅长加工言语信息。而教师常规的“讲”“练”教学定势会使很多小学生听不懂、学不会，长此以往，小学生的数学兴趣和热情也荡然无存。要激发和培养小学生的数学兴趣和基础学力，教师必须打破传统的教学定势，以多样化教学激发学生的兴趣。
4 小学生数学兴趣的激发与基础学力的培养
新课程理念指导下的小学数学课堂教学应该是促进学生发展、符合学生实际的、灵活开放的、动态生成的、师生互动的教学过程。因此，提高小学生基础学力，必须从激发小学生的兴趣入手，具体措施如下：
（1）基于学生发展的小学数学教学。小学数学是解决我们生活和生成问题的一门基础工具学科。因此，小学数学不仅仅是要教给学生一些数学知识和技能，更重要的是要让学生懂得数学的价值，学会用数学思想思考现实生活，解决生活中的问题。这就需要小学数学教师在课堂教学中突破传统模式，突出数学教学思想和方法，重视培养小学生学会运用数学思维方法来分析、解决实际问题的能力。做到以学生发展为主线，目标定位明确，开展多种方式的教育教学，把学生的主体地位落到实处，激发学生的数学学习兴趣，引领学生对数学学习的积极投入，提高学生数学的基础学力。
（2）提高教师的专业素养和教学技能。小学数学教材看似很简单的知识内容，其实蕴涵着很深奥的道理，没有坚实的数学根基，教师就很难把新课程的目标内容落到实处。因此，为适应小学数学新课程教学的要求与挑战，教师必须不断提高自身的专业素养和教学技能。一方面，教师要认真研究新课程标准和有关小学数学教育的理论研究成果开阔视野，更新知识储备，转变教学方式，提高教学能力，增强教学的有效性。另一方面，教师要认真研究小学生认知发展的规律，做到不以成人思维代替儿童思维，不断提升教学智慧，努力使数学课堂成为促进学生发展的平台，同时也是自我专业成长的舞台。
注释
①魏卿.教育活动中的“兴趣”辨析[J].教育导刊,2006.4.
【摘要】
在《算术基础》中，弗雷格追溯了数学表达式之不变的逻辑基础的同时，清理了带有主观性和相对性的心理主义。但心理主义并没有因此销声匿迹，反而在蒯因那里得到复兴，而且蒯因还基于自然主义的心理主义，否定了弗雷格对数学基础的探寻。本文试图借由解读弗雷格和蒯因的文本，展示数学哲学中的基础主义与心理主义之争，并借由弗雷格的文本对蒯因的心理主义做出回应。
关键词
基础主义；心理主义；分析性；整体论
中图分类号：B089文献标识码：A
文章编号：1000-7660（2015）03-0063-07
作者简介：刘钰森，广东潮州人，哲学博士，（广州510006）华南师范大学公共管理学院、哲学研究所讲师。
蒯因（W·V·Quine）在《从刺激到科学》开头“追忆往昔”一章中提到弗雷格（Gottlob Frege）时，将弗雷格的理想概括为探寻数学知识的本质以及数学真理的基础。他认为弗雷格和罗素、怀特海在这一方面是同路人，他们的结论是认为数学可翻译为纯逻辑，由此可以进一步推导出数学真理是逻辑真理，并且它的全部都能还原为自明的逻辑真理。蒯因认为弗雷格等人的这种观点是错误的，而且哥德尔1931年的论文以及罗素1902年的发现使得弗雷格等人的理想烟消云散
。
弗雷格当年在《算术基础》等著作中所提出的如蒯因以上所说的基础主义
理想，否定了密尔等人关于数学的心理主义所带有的主观性和相对性。然而，蒯因否定弗雷格等人对数学基础的探寻的背后，恰好是他在《真之追求》等著作中所概括的自然主义的心理主义立场。本文试图通过从《算术基础》到《真之追求》的解读，展示数学哲学中基础主义与心理主义之争的某种面貌，也试图基于弗雷格的文本，回应蒯因新兴的心理主义。
一、弗雷格的“基础主义”
“如果在万物长河中，没有任何东西是不变的，永恒的，那么世界就不再是可认识的，一切就会陷于混乱。”
弗雷格要探求的就是这种永恒不变的东西。作为一名数学家，他的这种探索是从数字入手的。比如数字1，惯常的说法是它指示一个事物；将1这个数说成属于事物，却没有说明事物是哪个；这将使得每个人都可以任意理解这个名称，关于1的同一个句子对于不同的人意味着不同的东西。心理主义会导致的这种相对主义是弗雷格所反对的。
弗雷格认为，思维本质上在哪里都是一样的：绝不能根据对象而考虑不同种类的思维规律。不同于心理主义从具有相对性的心理表象来解释意义，弗雷格要找的是一个客观的外在基础：“人们从本书将能看出，甚至像从n到n＋1这样一条表面上专属于数学的推理，也基于普遍的逻辑规律，而且不需要特殊的聚合思维的规律。” 弗雷格要的是在语言、数字后面的那个永恒不变的东西，他要的是一种在哪里都是一样的“思维”、一种普遍的逻辑规律。
弗雷格力图说明，感觉与内在图像具备不稳定性和不确定性，而数学概念和对象则具备确定性和明确性；因此算术与感觉根本没有关系，内在图像对于数学是无关紧要和偶然的。如果从心灵本质对概念进行心理学解释，并以为由此可以得到概念的本质，那么这只会使一切成为主观，走到底甚至会取消真。要认识到概念的纯粹性质，需要大量的理性工作以追溯定义普遍的逻辑基础：
如果定义仅仅在后来由于没有遇到矛盾而被证明是有理由的，那么进行证明的严格性依然是一种假象，尽管推理串可能没有缺陷。归根到底，人们以这种方式总是只得到一种经验的可靠性，实际上人们必须准备最终还是会遇到矛盾，而这个矛盾将使整个大厦倒塌。为此，我认为必须追溯到普遍的逻辑基础……
普遍的逻辑基础的追溯需要坚持三条基本原则：“要把心理学的东西和逻辑的东西，主观的东西和客观的东西明确区别开来；必须在句子联系中研究语词的意谓，而不是个别地研究语词的意谓；要时刻看到概念和对象的区别。”同上，第8—9页。 换言之，坚持客观性原则，要求只在心理学意义上使用“表象”，把表象与概念和对象区别开来，前者代表心理的和主观的，后者代表客观的和逻辑的；坚持语境原则，要求避免将个别的心灵的内在图像或活动当作语词的意谓；函项原则要求的是，未充实的概念不可成为不变的客观对象。
客观性原则预示着弗雷格所追溯的基础将是与具有相对性的心理表象无关的客观逻辑基础，它是普遍性的；而函项原则与语境原则将在获得作为算术基础的数定义方面起着至关重要的作用。提出这三个原则之后，弗雷格指出他那个时代的数学回到一种甚至要努力超越欧几里得的严格性，那就是人们对各种概念进行严格的证明；而且他相信沿着严格证明之路，必然能获得构成整个算术基础的数概念以及适合于正整数的最简单的句子。
于是在弗雷格眼中，数学本质上只要能用证明就不用归纳来获得确证。证明的目的在于使句子的真摆脱各种怀疑，并且提供关于句子的真之间的相互依赖性的认识。句子间的真的依赖性在哲学上需要对先验和后验、分析和综合做出区分。在弗雷格看来，与此区分有关的是判断的根据（justification），而非其内容。因此，通过证明达到的根据如果是普遍的逻辑真理和一些定义，获得的是分析的真；而根据非普遍逻辑性质的特殊知识领域的真得到证明的句子，则是综合的。类似地，是否完全从本身不能够也不需要证明的普遍定律得到证明，则是区分一个句子的真是否先验的标准。
从根据而不是从内容区分真的先验和后验、分析和综合，这也是弗雷格追溯基础理想的一种体现，更直接的是，它与追溯算术基础时所必需的严格证明之路密切相关：在数学领域，要尽可能严格地证明算术定理，避免推理串中的每个缺陷，找到证明所依据的原初真命题。比如：
2加2等于4，这不是直接的真；假定4表示3加1。人们可以如下证明这一点：
定义：1）、2是1加1；2）、3是2加1；3）、4是3加1
公理：如果代入相等的数，等式依然保持不变。
证明：2＋2＝2＋1＋1＝3＋1＝4（定义1，定义2，定义3）
所以；根据公理：2＋2＝4
弗雷格认为莱布尼茨的上述证明有缺陷，应该更精确地书写为：
2＋2＝2＋（1＋1）
（2＋1）＋1＝3＋1＝4 同上，第16—17页。
莱布尼茨的证明缺少2＋（1＋1）＝（2＋1）＋1，它是a＋（b＋c）=（a＋b）＋c的一种特殊情况；以这条定理为前提，其它公式都能以这种方式被证明，并且每个数就能够由前面的数定义。“我们甚至没有关于这个数的表象，可确实就这样把它据为己有。通过这样的定义，数的无穷集合化归为一和加一，并且无穷多数公式均能够由几个普遍的句子证明。”基于这种证明方式，弗雷格试图从a＋（b＋c）=（a＋b）＋c的形式来说明，借助几条普遍规律，仅从个别数的定义可以得出数公式，但这些定义既不断定观察到的事实，也不假设其合法性（不需要justification）。他在批评前面提到的密尔等人的聚合性思维的同时，认为数的规律不可能是归纳的真命题：归纳如果是习惯的话，“习惯（作为一种主观状态）完全没有保真的能力”，“归纳必须依据概率学说，因为它至多可以使一个句子成为概率的。但是如何能够在不假设算术规律的前提下发展概率学说，却是无法预料的”。
弗雷格认同莱布尼茨的观点，数学中发现的必然真的命题必须有一些原则，其证明不依赖于例子及感觉证据。他认为几何学定理之间可以互相独立，它们不依赖逻辑的初始规律，因而是综合的；但经验综合的性质并非算术规律的性质。就数而言，每个数都有自己的独特性，它要求关于数的科学原理是分析的，数相互之间是紧密相连的。关于数的普遍句子不必只适用于眼前存在的事实，数学的真命题“会有一系列未来使用的推理串，其用途将在于：人们不必再进行个别的推理，而是能够立即说出这整个系列的结果。”
如果真的可以达到上面提到的作为根据的普遍句子，以便由之推导出数公式，那么这样的句子应该是从更基本的数定义得出的。因此，接下来需要进一步考虑数的定义。
以往由于定义尝试的失败，数总被认为是不可定义的。把数看作事物性质，数是主观的东西，把数解释为集合、多或众多，通过对不同的实物集合加以不同的命名来解释数，这些说法都被弗雷格一一驳斥了。而对欧几里德的“数是一种单位集合”的解释，在指出后人的很多说法中的问题及困难之后，弗雷格提出解决困难的方法是：把一和单位做出区别。具有客观性的“一”作为数学研究的一个对象的专名，不能是复数；相应地，单位应该是一个概念。概念不同于专名，只有当概念带上定冠词或指示代词时才能被看做一事物的专名，但因此它就不是概念了。因此，“数是单位”的解释把概念词混淆为专名了。
弗雷格认为，“数的给出包含着对一个概念的表达”，“数的给出表达了一种独立于我们理解的真实的东西”。上述观点提醒我们：每一个个别的数词是专名，它不等同于概念词，当一个概念词被它“充实”而饱和了之后，我们就得到了专名。在贯彻语境原则的前提下，弗雷格认为，为了获得数这个概念作为对象的数，必须确定数相等的意义。他借助的是莱布尼茨“用一个事物替代另一个事物而不改变真，这样的事物就是相同的”的解释，把数相等界定为外延相等（数值的相等）。这与他在《含义与指称》中提到的等值置换原则相一致：在逻辑中，真值相同的词项和命题可以互相置换。我们可以由两个等数的概念得到其下的数相等，加上“n在自然数序列中紧跟m”这个表达式，就能定义0和1，并且进一步确定数序列是无穷的。
基于客观性原则，弗雷格反对心理主义的相对主义和主观主义，他把算术奠基于一种不变的逻辑基础之上。遵循语境原则和函项原则，他在《算术基础》中主要展示了一种追溯算术基础的方法。根据这种严格证明的方法，弗雷格认为从一些自明的公理（即他所谓的普遍的逻辑基础、普遍句子）出发，加上数的定义，可以演绎出所有关于数的真命题。虽然这有循环论证嫌疑，但是弗雷格明确地认为按照他的严格证明的方法，可以追溯作为算术基础的数的定义以及自明的公理。他在《算术基础》中谈及其基础主义的哲学动机，在于澄清算术真是属于先验还是后验、是属于分析还是综合。如前所述，从判断的根据而非内容解释真，由算术真所根据的是不可证明的普遍句子来看，算术真（truth）当然是先验分析的。换言之，从算术真的基础可以得出算术真是先验分析的。这种哲学动机促使弗雷格进行基础的追溯，而分析性也因此成了算术命题的特性，并且将其与综合性的心理命题区分开来。
二、蒯因的《真之追求》及弗雷格应对的可能性
弗雷格以澄清算术真的分析性为其哲学动机，蒯因则由对分析性概念的批判而提出一种整体论的彻底经验主义，他的经验主义就是所谓的自然主义的心理主义。基于对分析命题的态度，这种经验主义并不承认数学中存在如弗雷格所追求的那种分析性的基础。
蒯因在他著名的《经验论的两个教条》中所批判的第一个非经验论教条，就是分析与综合之分：奠基于非事实的意义的真（truth）是分析的，而奠基于事实的真是综合的。而且，对分析与综合之分根源同一的还原论的清理之后，他的结论是：由真一般地依赖于语言和语言之外的事实得出，每个陈述的真可分解为语言部分和事实部分，这是很多胡说的源头。根据这种划分，如果某陈述的真只与语言部分有关，那么该陈述就是分析的。这种分析和综合之分，在蒯因看来是顽固地抗拒任何明确的划分。科学看起来总体上依赖于语言与事实，但逐个地审视科学陈述，却能发现并非如此。 没有教条的经验论应该主张：“我们所谓的知识或者信念的总体，从最具因果性的地理和历史的事实到相当复杂的原子物理或者甚至纯数学和逻辑，是一个人造的构架，其仅仅是沿着边缘侵入经验。”Ibid.， p.39.
把架构在经验基础之上的人类知识体系比喻成一个倒扣的碗的话，纯数学和逻辑即便处于碗顶，也最终要与经验相关。这种思想在蒯因后期的《真之追求》得到了进一步的阐述，与弗雷格固守理性、固守不变的基础不同的是，蒯因固守的是他心中的经验论规范：“nihil in menter quod non prius in sensus（心灵中没有任何东西是以前感觉中没有的）”。他的出发点是：感觉的刺激-感受才是我们关于外在世界的知识客观性的保证：
有关我们外在世界的知识的客观性保持在我们与外在世界的接触中、从而在我们的神经摄取和与之相应的观察句中得以确立。我们从整个句子而非从词项出发。函项的一个教益是，我们的本体论，像语法一样，是我们自己对关于世界的理论做出的概念的贡献的一部分。人类提出建议，世界付诸实施，但这仅仅是经由对具体表达人的预见的观察句做出整句的“是”或“否”的判断来达到的。
在蒯因看来，我们经由感官刺激（stimulation），在历代累积的创造性之下构造关于外部世界的系统理论。在刺激和感受的关系或者刺激和我们的外在世界的科学理论的关系的分析中，神经科学、心理学、心理语言学、遗传学或者历史学都可以提供资源，而其中有一个部分可以仅借助逻辑分析来加以考察，那就是理论被预言检验的部分，或者属于证据支持关系的部分。这就进入到了“求真”的领域，并且看来他也将采取逻辑分析和语言分析的方式，从目标和方法上看似乎与弗雷格对算术基础的追求是一致的。
但事实并非如此，究其一生，蒯因直到最后的著作《从刺激到科学》都立足于前面提到的那个经验论规范。虽然蒯因有时候认为有些数学命题是没有经验内容的，但是不同于弗雷格所认为的对每个对象都必然有意义的命题都是重认命题（recognition?judgment），比如数学中的等式，他认为有意义的命题恰好是有经验内容的命题，也就是能被检验、值得检验的命题。
蒯因更直接要解决的是所谓“科学游戏的目的”的问题。他认为，科学游戏的压倒性目的是技术和理解。从技术和理解的角度来看，“所指和本体论如此后退到单纯的辅助者的地位。真句子，观察的和理论的，是科学事业的始终。它们由结构联系起来，而对象扮演了结构的纯节点的角色”。这种结构就是逻辑的联系，在函项的理论下，px原来意味x是p的地方，可以重新诠释为x是p的f；即在重新解释后的句子逐词保持不变的情况下，观察句依然和以前一样与相同的感觉刺激结合在一起，而且逻辑联系完好无损，理论的对象却被随意大幅度地移换了。
这说明对象“对于观察句的真是无关紧要的，对于观察句对理论句提供的支持是无关紧要的，对于这个理论预言中的成功也是无关紧要的”。只要能保证与感觉刺激结合，那么作为“人造架构”的观察句、理论句的对象就可以随意移换。语词、句子不过是人类使用的符号，人类可以“任意”地解释，当然，前提是与感觉刺激结合：“人类提出建议，世界付诸实施。”对象在蒯因这里并不重要，对真句子来说更重要的是与感觉刺激相合。但这种相合并非是孤立的，而是整体的。在他看来，直接面临经验检验的是所谓的观察范畴，而蕴含观察范畴的是一个理论的整体，其中，算术和其他数学的分支是理论背景的一部分。在《真之追求》第6节中，蒯因试图通过在整体论所要求的最低限度肢解整体的准则之下，保护任何纯数学的真，但这种保护不是因为数学的基础性，而是因为数学渗透到人类关于世界的知识系统的各个分支，对数学的破坏将令人无法容忍。蒯因认为，这可以解释数学必然性，并且基于一个所谓的未阐明的原理：人类在自由地拒斥其它信念的同时却要捍卫数学。由于整体论，加上数学对我们关于世界的知识系统的渗透，在数学得到应用之处，经验内容也被数学所分享。
蒯因的老师卡尔纳普在他的数学哲学中，使用分析性来解释缺乏经验内容的数学如何有意义以及为何数学是必然真。之所以使用分析性，在蒯因看来，是因为类似于形而上学的必然性反映出事物的本质，分析性反映了语词的意义。不过，如前所述，蒯因认为通过整体论就可以解决卡尔纳普通过分析性所解决的那两个问题。蒯因对于数学必然性的说明，并不是给出像弗雷格那样的基础主义证明，而更主要是从数学应用的效果来说明；与其说他想说明数学的基础性的必然性，倒不如说他想通过整体论来说明数学如何跟经验关联。
在《真之追求》第40节，蒯因专门讨论“数学中的真”。在他看来，数学有一部分因为不应用于自然科学而不享有经验意义，集合论的高级部分也是这样，而它们的意义在于它们是与应用数学一样用相同的语法和词汇来进行表述的。或许因为这种数学的高级部分的非应用性，蒯因认为要是将之排除在二值逻辑之外，就需要不自然地划分语法。因而，由于简单、经济和自然的考虑，这些高级部分或者是不必要的想象，或者可以在谓词逻辑和集合论这类基础上给出来；并且这样处理缺乏经验内容的纯数学，跟自然科学内部进步的简化和经济达到一致，“它是关乎使我们关于世界的整体系统紧凑（tightening）和简化（streamlining）的问题”。
从以上对蒯因在《真之追求》中的观点的述评可见，蒯因自然主义的心理主义把人看作自然的一部分，而人们使用的数学（包括逻辑、集合论作为其组成部分）只是人们的工具。蒯因不像弗雷格那样试图分析出一种外在的数学的基础，他只是从数学的应用来说明数学的必然性；这种必然性最终与经验相关的应用关联起来：数学作为理论背景的一部分，蕴含观察范畴，并且当观察范畴遇到反例时，唯有数学不能被破坏。在《从刺激到科学》中蒯因用一章的篇幅专门讨论了逻辑和数学，其中的观点与《真之追求》是一脉相承的，并且可以增进对他关于逻辑和数学的心理主义观点的理解。
作为自然一部分的人对于逻辑的习得有一种“进化”的过程：人类从孩提时代习得“并非”、“并且”、“或者”这些逻辑联结词以及“有的”、“每个”这些量词的时候，就逐步把蒯因界定的狭义的逻辑的基本律内化了；而当人类数学理论成熟时，就能够在一种形式化中把这种逻辑压缩为：证明一个给定的前提集对预期结论的蕴含，就是证明该前提集与结论的否定的不一致。这种观点把数学当成比逻辑更加高级的知识体系，蒯因接下来的一句话可以更清楚地看出这一点：“我乐意于如此狭义地限制词项‘逻辑’，而把集合论处理为数学另一更高级的分支。”他在后面甚至把集合论当成数学的代名词，即逻辑是数学的分支、集合论则是更高级的分支。并且，这种“狭义”的逻辑和集合论及数学的其它分支，有着三个重要的区别：一、逻辑没有能称为属于它自己的对象，其变量允许所有离散的值；二、除去同一性，逻辑没有自己的谓语；三、逻辑允许有完全的证明程序，而数学其它分支则由于哥德尔不完全性定理而不允许有完全的证明程序。
从以上对比可见，就没有对象与谓语而言，逻辑如前面所引述的《真之追求》的观点所表明的那样，更主要的是具有一种联系的功能；就证明的完全性来说，逻辑看来比之数学的其它分支更有优势。如前所述，在蕴含观察范畴方面，蒯因把数学律与自然律的作用等同起来，因为集合论和数学其余部分的规律排列在进行蕴含的前提之中，等同于自然科学的规律和假说。不过，这并不与公认的数学缺乏经验内容的看法相冲突，蒯因认为数学的这种参与并不赋予经验内容，因为经验内容是属于进行蕴含的集合并且不被其成员所分享的。
在《真之追求》里能够享有经验内容的是应用中的数学，而这里作为进行蕴含的集合一部分的数学，是所谓的非诠释数学（uninterpreted mathematics），它们不仅缺乏经验内容，且缺乏真假。蒯因在比拟这一类数学真理为经验真理时，主要出于其对观察范畴的蕴含有帮助的考量，而将其对经验的背离忽略不计。蒯因认为许多这样的语句可以用应用数学中所坚持的规律来处理，另外一些解证地独立于先前理论的情形则还是用经济原则来处理。加上哥德尔的不完全性定理，令蒯因为难的还有：有许多属于数学的闭合句在一致的证明程序中，不可证明也不可证伪。最后，蒯因只能与这种超出他认为的值得并且能够检验的才是真陈述的要求的句子做出妥协。但是，他还是强调，即使这涉及到康德的物自体问题，关键却还在于人类的用法，而并非宇宙之秘。
与密尔等心理主义的前辈相比，蒯因并不否认数学尤其是纯数学对于经验的背离；而对于逻辑，他则更主要从一种工具的角度来对待。在写作《经验论的两个教条》时，蒯因认为人类的知识最终都与经验相关；而到了《从刺激到科学》，他却承认非诠释的数学对于经验的背离。即使借用应用数学的规律处理部分这样的数学陈述的真假问题，同时用奥康的剃刀处理另外一些数学命题，还是存在着真假不定的数学命题，蒯因提到非诠释数学即抽象代数时说它们没有经验内容、也没有真假。而这与前面提到的他所贯彻的经验论的规范是冲突的。
蒯因的这种困境在弗雷格看来或许并不成为困境。弗雷格其实并不否认经验的作用，他承认感觉印象是认知数和其他一些东西的条件，但他强调在数学基础方面中经验是无关的。在《概念文字》的序言中，他把科学真理分成两类：一类是其证明纯粹由逻辑完成，另一类是必须被经验支撑的。不过，即使是第一类，也是与这样的事实相一致的：“没有任何感觉活动的话它是绝不会在人心中称为意识”；只是它并非源起于心理学，而是基于分类之上的最好的证明方法。感觉活动是意识形成的必要条件，包括其证明纯粹由逻辑完成的科学真理也是如此，不过感觉活动却并非基础。泰勒·伯奇（Tyler Burge）考究了奠基（grounding）一词的德语，认为基础和奠基是与理性相关的。哲学家所谈论的理性，一般意指源自亚里士多德的范畴理性，即弗雷格在《算术基础》第31节提到的，使我们与动物区别开来的更高精神力量。 作为算术基础的命题恰好是不需要检验的、自明的，其作为真命题的意义因此不在于蒯因所要求的值得检验和能被检验，而在于它们所含有的内容是理性所必须确认的。
与《算术基础》开篇建立的那三个原则相适应，弗雷格把科学真理分成两类，其中，客观性的算术真理纯粹由逻辑得到证明。算术领域的真在弗雷格那里如同赤道与北海的存在一样，具有超乎经验的客观性。算术真理在弗雷格那里具备的独立于经验的地位，恰好就标出了蒯因极不情愿地作出妥协后逐步接近的那种立场。另一方面，即使蒯因的经验论看起来似乎更符合人类的实际（人们通过微弱的纽带与包括数学对象这一类抽象对象的外在世界相连，更多的时候，人们谈论知识就是在谈论人们经验中的知识，在此意义上，人类提出建议，世界付诸实践），但是他却无法将经验主义的规范贯彻到非诠释数学的领域。
最后回到本文开头转述的蒯因对于弗雷格理想的否定。自明的逻辑真理作为算术基础的探寻在蒯因看来之所以是失败的，与蒯因对分析性概念的态度密切相关。如前所述，弗雷格基础主义探究的哲学动机是进一步澄清分析与综合之分，把通过证明由非事实的普遍逻辑真理或定义得到辩护的数学真视为分析性的，并且在《算术基础》结尾部分还认为他在这一点上推进了康德的研究。 蒯因在《经验论的两个教条》中虽然直接针对的是卡尔纳普的分析与综合之分，但就以奠基于非事实与事实来区分分析与综合而言，他的这种批判也可以针对弗雷格的分析与综合之分。蒯因否定奠基于非事实的分析的真的存在，最终目的是得出他的整体论的经验主义。克里斯托弗·皮卡克（Christopher Peacocke）指出，蒯因拒斥分析性与他的整体论、可错论相关联，而他的整体论是刺激意义（stimuli?meaning）的整体论。如前所引的《真之追求》中的观点所显示的，在蒯因那里，可以说感官刺激才是所有知识的基础。皮卡克指出，刺激意义并不必然具有一般的意义同一性。比如，对一个严重散光的人来说，“那条线是直的”的刺激意义将与他视力更好的朋友不同，但是这个句子在两种情况下都有同样的意义。
【关键词】数学；基础教育；教学；改革；反思
【基金项目】本文系钦州学院科研项目“师范专业学生数学学习习惯与方法研究”（编号：2011XJKY-38C）的阶段性成果。
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2017）09-0008-02
数学教育作为我国基础教育中的一门基础性学科内容，在我国数学基础教育改革的发展进程中，不断汲取和吸纳国内外的成功教育经验，对数学基础教育的教学理论进行研究，还对教学方法进行了创新和变革。同时，在不断创新和改革的时代变化中，将数学基础教育与网络新媒体相结合，在大数据下实现对数学基础教育的创新，在一定程度上推动了数学基础教育的改革与发展。
一、数学基础教育改革的现状分析
我国的数学基础教育改革在历经很长时间的磨砺之后，获得了较为丰富、宝贵的教学理论知识和教学实践经验，并培育出较多的数学竞赛的佼佼者。他们在数学基础知识的学习过程中，不仅基本功扎实，具有较为突出的优点，而且还受到了国内外学者的瞩目。然而，尽管我国的数学基础教育改革发生了翻天覆地的变化，却仍旧存在数学实际应用能力相对薄弱的现象，相对于国外数学基础教育改革成功的国家而言，还具有一定的差距。主要表现为以下几个方面：
1. 数学课程教育呈现出枯燥单调、深奥抽象的现象
受应试教育“指挥棒”的影响，学生大多处于数学基础知识学习中的被动状态。固态的数学教学思维和模式，在一定程度上压抑了学生的学习热情，加之数学知识自身的抽象性和枯燥的内容，导致学生难以摆脱机械性教育的困境和束缚。以考试成绩作为衡量学生学习效果的大环境，使得数学基础教育难以摆脱传统教学模式，因而在具体的教学中，难以增进学生的科学精神，对于数学思想和方法的理解也无法得到升华。
2. 过于追求数学教学的学习数量
在数学基础教育中，依据旧知导入新知的教学方式可以较好地引导学生学习数学基础知识。然而，为了不断地接受新的数学知识，学生总是依靠强记硬背的方法来达到对数学相关知识的掌握与学习，对新的数学知识进行记忆，数学知识并没有真正渗入到学生的脑海中，出现快速遗忘的现象和问题。这就使数学基础教育成了应付考试的途径，并没有使学生真正意识到数学基础教育的应用价值和功能。
3. 教师压力大
教师往往要花费极大的心血和精力，使学生理解相对抽象和枯燥的数学知识内容，这对于数学教师而言，无疑是一个巨大的挑战。教师为了提高学生的考试成绩，常常采用传统的“题海”战术，让学生沉浸于数学的习题解答过程之中，通过大量的数学习题训练，让学生解答各种难题和偏题，而对学生数学思想和方法的培养却较少关注，难以真正实现数学基础教育的价值。
二、数学基础教育的改革发展与反思
我国的数学基础教育与国外相比还存在着较大的差距，大多数学生可以较为熟练地掌握相应的数学基本技能，对于数学基础知识的实际应用却显得较为滞后，因而难以真正体现数学知识的应用价值。为此，我们要进一步推动我国的数学基础教育改革，在此过程中，不断反思并获得更为深刻的启迪。
1. 全面落实数学基础教育的课程标准
要全面落实数学课程标准，必须在转变数学基础教育的理念前提下，以学生为数学学习的主体，培养学生良好的数学思维能力和正确的行为习惯。因此，教师要全面、深入地了解学生思维活动中的既有知识和经验，鼓励学生积极参与实践探索，培养其直观、理性的思维能力。
2. 注重数学基础教育教学内容和教学体系的深化变革
在数学基础教育的课程教学中，需要对数学基础教育教材进行创新性变革，在转变应试教育的传统观念之下，克服单纯以数学理论教学为主体的教学状态，适当增添数学应用型实例的教学内容，把数学基础教学与生活现实相契合，使学生充分理解数学思想和精神。同时，还可以引入“一课研究”的研究和教育架构，这是一种创造性数学基础教育架构和模式，主要涵括以下几个方面的维度和内容：
（1）数学的知识维度。包括小学、初中、高中、大学阶段中的数学相关知识。
（2）课程标准维度。
（3）教材比较维度。即教师对一节课的教材内容进行纵、横向比较性的研究和教育。
（4）理论指导的维度。这主要是指教师在数学基础教育的教学中，可以努力探索数学基础教育的理论，并将其应用于数学课堂的具体教学实践当中，充分体现出数学基础理论的价值和意义。
（5）学生起点维度。在数学基础教育之中，教师要围绕一节课的教学，充分了解学生的起点，并以此为依据完成教学设计。
（6）教学设计维度。教师可以对一节课的教学设计加以明确，再根据不同的学情，设计出具有针对性、个性化的教学过程。
（7）课堂教学的维度。即教师要对课堂教学情况全面观察和分析、评价，从而更好地体现出数学基础教育教学的实效性。
（8）课后评价的维度。指教师在数学基础教育中的情感态度和“四基”等方面，实现对学生的测试和评价。
（9）校本教研维度。指的是教师要紧紧围绕一节课的热荩进行全面、系统地设计，完成校本教研活动方案。
3. 完善数学基础教育的专业课程设计
在数学基础教育之中，要完善对学生的专业课程设计内容，具体包括有：
（1）必修基础课程。这主要包括代数、几何、数学分析三大部分。
（2）必修应用类课程。这主要是指数学基础教育中的概率论教学、数理统计教学、数学建模、模糊数学应用等内容，但它们之间各有其侧重点。
（3）数学教育类课程。这主要包括数学问题研究、数学教学论、数学文化等内容，要在这个内容中培养学生的综合能力，培养学生的自主学习能力，从而更好地提升学生的数学思想、方法和技术。
综上所述，在数学基础教育的过程中，要坚持以学生为主体，转变原有的教学观念和意识，努力夯实学生的数学基础知识，不断培养学生潜在的数学能力，激发学生主动探究的热情，并在数学问题的发现、分析、反思和解决的过程中，更好地提升学生的数学思维创新能力。除此之外，教师还要根据学生的具体学情和知识，以及既有实践经验，完善和优化数学基础教育内容和体系，稳步持续地推进我国的数学基础教育改革。
参考文献：
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[2] 郑勇.中国数学基础教育扼杀了创新精神[J].科普童话，2015，（3）.
[3] 丁建林.甘南藏区数学基础教育的现状分析及策略[J].考试周刊，2016，（25）.
