时间：2023-05-17 16:11:18
序论：在您撰写数学课堂教学的特点时，参考他人的优秀作品可以开阔视野，小编为您整理的7篇范文，希望这些建议能够激发您的创作热情，引导您走向新的创作高度。
一、有亲和力，富有情感
课堂教学语言是师生双方传递信息和交流思想的桥梁，教师亲切、感人的课堂教学语言能使学生保持积极舒畅的学习心境，唤起学生的学习热情，从而最大限度地提高教学效率。教师在课堂教学中，语言要亲切，富有情感。特别是对待一些学习后进生，更应该如此，这样能维护他们的自尊心。应该注意的是，数学教师不能对学生的错误过多地批评、指责，甚至讽刺、挖苦，否则会使学生失去学习数学的信心。著名数学教育家波利亚就非常注意这一点，有时他一眼就看出学生的计算是错误的，但还是以温和的态度、亲切的语调、慈祥的目光和学生一行一行地查看。学生回答问题时，用“你答得很好”、“你并不比别人差”、“你也许课前忘了复习，若课前看了。我相信你是能够回答的”等评价，这样就做到了多鼓励，少批评；多进行正面指导，少板起面孔训人，让学生在学习上有信心，数学自然就学好了。
二、准确而精练，提高效率
数学是一门逻辑性很强的学科，教师的语言应非常准确，否则很可能产生歧义。所谓语言要精练，就是要求教师在课堂教学中，用最少的语句表达最丰富的内容。有的教师唯恐学生理解不了，讲课语言繁琐累赘，不停重复。这种做法不利于学生掌握知识的重点和理解知识间的联系，更不利于学生智力的发展和能力的培养。但是语言精练并不是单纯地削减语言的数量，而是要提高语言的质量，这就要求教学语言要突出重点，抓住关键，分化难点。例如在讲解如何求圆锥的侧面积时，教师首先做好教具，让学生动手演示，提问学生有何发现。学生通过操作，不难发现圆锥底面圆的周长等于展开后扇形的弧长等有关重要结论。在这一过程中，教师不需要过多的语言。语言要精练必须服从于教学规律，采用最优教学方法，放心大胆地让学生思考、讨论、猜想、总结，教师的语言只起到适时点拨和画龙点睛的作用。
三、生动，通俗，便于理解
数学具有高度的抽象性，而高度抽象的数学内容又可以凭借十分生动具体的材料做原型。初中学生的学习心理尚处于“开放期”，他们纯真、活跃，表现出强烈的求知欲和好奇心。因此，在教学中善于运用贴近学生生活的事例、简明扼要的口诀、脍炙人口的名言、充满时代气息的语言，把教学内容讲得生动、通俗，学生就能更深刻地理解知识。
四、具有启发性和激励性
有效的数学学习来自学生对数学活动的参与，而参与的程度与学生学习时产生的情感因素密切相关。让学生获得成功的喜悦，得到老师的肯定，能在很大程度上激励学生更好地参与数学学习。因此，教师在课堂中要适时地启发诱导、及时评价，提供榜样，鼓励进步并寄予希望，从而调动学生的积极性。例如，在教学“在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”时，老师让学生在纸上任意画出一个含有30°的直角三角形，要求学生量出斜边的长并告诉老师。此时，老师采用富有激励性的语言：“同学们，老师能立即报出30°所对的直角边长。”“老师并没有用刻度尺去度量，是怎么知道的呢？”“其中有什么规律吗？为什么呢？”显然，老师的话既有很强的启发性，又有一定的激励性，充分调动了学生的学习热情，收到了很好的教学效果。
五、幽默，具有趣味性
1中美数学教学案例比较
中国美国课题《玩转等腰三角形》《Classifying Triangles》三角形分类教学过程
1.任务一：折一折，讲一讲
请你拿出一张三边不相等的三角形纸片，折一次，剪一刀，得到一个等腰三角形？（折好后，请先暂缓裁剪）
视频展示折叠过程
2.任务二：折一折，画一画
过等腰三角形的顶点折一次，画一线得出一个新等腰三角形.
3.任务三：算一算，折一折（四人小组合作探究）
是否存在特殊的等腰三角形，折一次分割成两个等腰三角形？
（画一画）.请你过等腰三角形顶点画一条线段，把它分割成两个等腰三角形，请你设计几种不同的方法，画出示意图.
4.谈谈你的收获：
（1）自由、随意地剪出一个等腰三角形的方法？
（2）剪纸，计算过程中体验的数学思想是？
课前准备：教师击掌相庆给学生写有序号的圆形纸，并对序号进行随机分组；分发给每位学生一支mark笔，一块小白板.
1.观看视频，请学生找出视频中的三角形，并对三角形进行分类：等边三角形、不等边三角形、等腰三角形.
2.为什么不是等边三角形？
3.小组合作讨论等腰三角形定义.
4.画三角形：等边、等腰、不等边三角形各一个.
5.等腰三角形的判定
（1）小组合作：
寻找五角星中的等腰三角形
（2）下列图形中哪些是等腰三角形？
2中美数学课堂教学的区别
以上两个案例，展示了中美两国初中数学课堂教学的一些情形，我们也发现两国在课堂教学中的一些差异.
中国美国教学工具多媒体、黑板.多媒体、白板（特殊材质的塑料袋里放一张白色硬纸）教学内容窄而深：任务驱动，分层递进，最终实现“是否存在特殊的等腰三角形，从顶点出发画一条线分割成两个等腰三角形”之教学目标.宽而浅：内容涉及三角形的分类；画等腰三角形、等边三角形；等边三角形的判定；等腰三角形的判定.但均点到为止，不要求写出证明过程.教学模式大班授课，注重四基训练，进行启发式教学.小班教学，面向个体进行教学，强调人的发展，进行启发式教学.教师角色语言精练，动作沉稳.教师是教学的组织者和引导者，不再是知识的拥有者和传播者.语言幽默，肢体动作丰富，课堂气氛活跃，以学生伙伴的身份，倾听学生意见，鼓励学生各种想法和做法，用建议或暗示等方式引导、组织学生学习.学生角色通过折、画、剪、做，主动投身教学过程，参与教学各环节，在做中学，学中做.大胆表达、质疑、思维，在参与教学中确立创新精神.学习方式小组合作与自主探究相结合，但学生之间的合作缺乏有效性，没有实现“1+1>2”的目的.交互生成、小组合作，但由于问题浅显（相对于中国学生），小组合作失去其意义.
3中美数学教师的对话
相同的课题，不同的教学设计，不同的教学风格，不同的教学目标达成，使每位听者的思想产生东西方教学差异的相互碰撞.下面是观摩活动中的中美数学教师互动情景.
教师1：美国教师如何培养学生的逻辑思维能力和推理能力？对几何中的定理的证明为什么没有体现？
Andrew Bylow：教科书中的几何定理前人已经证明，我们为什么还要费力让学生来重新证明一遍，当学生都成长成我们这样的成人的时候，在生活中我们还有几人在使用几何定理的证明呢？
教师2：听说美国中学教育明显“小班化”的特点？
Andrew Bylow：在美国往往采用小班教学，每个班的人数大多在十几到二十几人.
教师3：听说美国的课堂教学自由化.
Andrew Bylow：美国强调给予学生充分的自由度，数学课的授课地点可以不仅仅是教室，老师可以随意选择该节课的教学地点和内容在实验室，在操场，在公园，在野外，在任何有利于学生学习兴趣的地方都可以.
教师4：听说美国的师生关系是平等的？
Andrew Bylow：老师和学生基本上是朋友关系，在老师眼里，每一个都是好学生，可以互相自由地交往、交流，教师在教学过程中起辅导提示的作用.课堂上老师有目的地让学生讨论，学生可以自由出入，这种教学方法能促进学生积极开动脑筋，增加对学习数学的快乐.
教师5：听说美国十分注重对学生创新能力的培养和个性发展？
Andrew Bylow：美国强调给予学生充分的自由度，让他们去发展个人的兴趣爱好.在没有外力干扰的环境下，每个学生的天性可以得到最充分的发展.
教师6：美国是通过什么方法来了解学生的非智力因素的个体差异？
Andrew Bylow：美国一些学校使用的教学日记法，学生以日记的形式记录教学中的思维过程、心理状况，使学生与教师能经常通过日记进行交谈，教师易于了解学生的认知水平、知识经验、兴趣及个人思维风格等非智力因素的个体差异，教师能从学生的这些资料中综合出各种学生的成就抱负水平、焦虑水平、意志水平，从而设计出教学方案，提高教学水平.
教师7：你如何评价我们的小组合作？
Andrew Bylow：刚才听了刘老师的课，你们也在采用小组合作、分组讨论，小组之间的合作也比较顺畅，但活动对学生的思维要求过高，导致数学课堂的压抑沉闷.
教师8：通过课堂教学，谈谈你对中国学生的感受？
Andrew Bylow：中国的学生很棒，思维很活跃，喜欢独立思考问题，能得出自己的结论.课堂上，当每位学生都自信满满地举起手中的小白板时，脸上都洋溢着无比开心的笑容，他们不再觉得学习数学是一种枯燥的东西.更令我惊讶的是，他们举起的一张张白板上面大多数都写着英文，喜欢同样用英语和我交流，能让学生做到这样确实是我做老师的成功.
4美国教师的课堂带给我们的思考
教之本在师，教师本身往往也被烙上不同文化的印记.通过Andrew Bylow的这堂课，若把中西方的教师放到一块对比，会碰撞出怎样的火花呢？对于中西方教学方式的差异，会给我们带来怎样的思考.
思考1：热情――富有天赋的表演才能
要提高学生的课堂参与度和学习兴趣，教师在教学过程中应该要把自己塑造成一个“表演家”.观摩课堂教学全过程，美国教师总是落落大方地运用各类肢体语言诠释着每一个知识点，时而动作滑稽可爱，牢牢地吸引着学生的眼球，时而神情俏皮夸张，紧紧地牵动着学生的神经，让学生在愉悦的环境中体验着丰富情绪变化，这样的教师就像是一个优秀的表演家演绎着一段引人入胜的剧集.
思考2：尊重――是教师诠释爱的基本方式
教师热爱学生首先是体现在尊重学生上，尊重就是一种爱！尊重他们不够完整的表达，尊重他们不够成熟的想法，甚至于尊重他们可能犯的错误.在美国教师的课堂上，学生兴致勃勃地完成了一道关于画一个不等边三角形的习题，他发现某一小组中有一人画错了，睿智的老师立马下达指令，让每个组的6个成员不断地交换他们的作品，直到在分不清谁那张作品是谁的状况下才示意同学们停下来，然后他拿起那个画错的作品进行点评，点评完后又妙语如珠般点赞了一句“这位学生真聪明，连老师接下去要教什么他都已经预知到了”.对学生的尊重无处不在，用心良苦.
思考3：理念――教育要为学生的未来规划
每个教育对象最终是要走向社会的，而我们所推崇的“以生为本”的思想必将着眼于学生未来的发展，使学生有一把开创美好生活，提升生命价值的金钥匙，教学就要为他们的未来人生奠定一定的基础.在美国教师的课堂上，他在学生进入教室前，每一组随机放六张有序号的卡片，学生进入教室，每人在他的手中领取一张另一种颜色的有序号的卡片，然后根据序号相同原则找到自己的座位，随机组成学习小组，他这样的组队方式还原了社会的未知现实，这样的组队才能让学生真正地去学习适应，提高学生的合作能力与交际能力.
思考4：使命――不让一个学生掉队
从教师的使命感来看，不让一个学生掉队是我们努力的目标，我们也努力地在追求.纵观全课，美国教师在课堂上无时无刻不让我们感受到每一个学生在他的眼中都是一样的，当学生遇到困难时，他会用慈祥的眼神鼓励孩子，用亲切的微笑让孩子拥有自信，用和蔼的语言引导孩子，用亲昵的动作给孩子安全感.在课堂上教师还很重视学生的团队合作，每提出一个问题，他都要求学生先独立完成，再小组讨论，只有等小组讨论定下答案后才可以发言.这样做给不爱动脑筋或学习有一定困难的学生提供了一定的机会，也给学有余力的学生提供了当小老师的机会.体现了教师的使命感！
美国教师的言行一直停于我们眼前，有一个疑问在我心中呼之欲出，我们是否认真反省过我们的教育？我们这样一个正在全面谋划自己未来前程的民族，应该怎样审视我们为孩子们营造的教育环境？
总之，中美初中数学教育各有利弊，差异的产生是由于历史、文化、制度等多种因素，我们无须崇洋，也不必东施效颦，但我们需要考反思.我们需要考试及评价制度的调整，需要学校、老师、乃至学生和家长进一步转变教育观念，使数学教育将更多地关注教育的本质.
关键词：数学；教学语言；特点
教师主要运用语言向学生传授知识，而教师的语言艺术也是课堂教学艺术的核心，是一个优秀教师必须具备的基本条件。而且要具有以下几个特点：
一、课堂语言要具有知识性、科学性。
初中的学生大部分学习自觉性较差，要想普遍的培养他们课外坚持自学的习惯是不容易的，课堂自然成为他们用来学习掌握知识的主要场所。而渗透着对教学内容的理解和对教学目标明确的教师的课堂语言，则是他们定向思维的主要导向。因此教师的课堂语言必须具有高度的知识性，即在每一节课都能让学生吸收到不同程度的新养分。同时随着现代学生知识面的加宽，以及学科内容的相互渗透，课堂上的内容往往会引起他们对课外知识的联想，并在课堂上向教师质疑。
课堂教学是知识内容和其语言形式的统一表现，知识的科学性决定了语言的科学性，所以科学性是各科教学课堂语言所具有的根本属性，而数学教学语言的科学性又有自己独特的内涵。斯托利亚尔指出：“数学教学是数学思维的教学”，因此数学教师的语言要在有效的培养学生的思维能力上下功夫。长期以来，由于受数学的所谓“逻辑严谨性”的影响，教师在教学中偏重逻辑演绎，误以为“精确、严谨、符合逻辑要求”的语言就是唯一科学性的数学教学语言。实际上数学教学语言的科学性应针对学生的特点，既要讲究严谨的逻辑演绎，又要适时的穿插能引导学生进行联想、想象、猜想、类比、归纳及洞察领悟等活动的非逻辑的语言，从而使学生全面的认识和理解数学，积极主动的去发现数学和创造数学。
二、语言要精练，提高效率。
所谓语言精炼，就是要求教师在课堂教学中，用最少的语句表达更丰富的内客。有的教师唯恐学生理解不了，讲课语言繁琐累赘，这种做法不利于学生掌握知识的重点和理解知识间的联系，更不利于发展学生的智力，培养学生的能力。但是语言精练并不是单纯地削减语言的数量，而是要提高语言的质量，这就要求教学语言要突出重点，抓住关键，分化难点。如在讲解垂径分弦定理及其逆定理时，教师只需讲清扇形与等腰三角形之间的联系，任何一个扇形都对应着一个等腰三角形，这个等腰三角形的顶点是圆心，顶角是扇形的圆心角，底边是扇形的圆心角所对的弦，两腰是扇形的半径，至于垂径分弦定理及其逆定理，就可以让学生根据等腰三角形三线合一的性质自己去导出。语言要精练必须服从于教学规律，采用最优教学方法，放心大胆地让学生思考、讨论、猜想、总结，教师的语言只起到画龙点睛的作用。
三、语言要亲切，富有情感。
课堂教学语言是师生双方传递信息和交流思想的桥梁，亲切、感人的课堂教学语言能使学生保持积极舒畅的学习心境，唤起学生的学习热情，从而最大限度的提高教学效果。教师在课堂教学中，语言要亲切，富有情感。特别是对待一些差生，更应该如此，维护他们的自尊心。应该注意的是，数学教师不要对学生的错误过多地批评、指责、甚至讽刺、挖苦，那就会使学生失掉学习数学的信心。著名数学教育家波利亚就非常注意这一点，有时他一眼就看出学生的计算是错误的，但却还是喜欢以温和的态度、亲切的语调、慈样的目光和学生一行一行地查看。学生回答问题时，用“你答得很好”、“你并不比别人差”、“你也许课前忘了复习，若课前看了。我相信你是能够回答的”等，这样做到了多鼓励，少批评；多进行正面指导，少板起面孔训人，让学生在学习上有信心，数学自然就学好了。
四、语言要生动，但要通俗。
数学具有高度的抽象性，而高度抽象的数学内容又可以凭借十分生动具体的材料作原型、初中学生的学习心理尚处于“开放期”，他们纯真、活跃，表现出强烈的求知欲和好奇心。因此，在教学中善于运用贴近学生生活的事例、简明扼要的口诀、脍炙人口的名言以及充满时代气息的语言，把教学内容讲得生动、通俗，学生就能更深刻地理解知识。追求语言的生动、通俗，但不要出现粗俗的语言，而应该是文明、规范、高雅，蕴含着丰富知识乳汁的语言。要精心锤炼描述性的语言，把学生带入美的意境，数学教学偶尔出现几句诗情画意的语言，效果更是不同凡响。
五、语言要幽默，具有趣味性。
苏联著名教育家斯维特洛夫指出：“教育家最主要的，也是第一位的助手是幽默”。在数学教学中巧妙地运用幽默，可使教师的讲课变得风趣、诙谐、睿智，具有一定的艺术魅力；有助于学生去理解，接受和记忆新知识。例如，在讲解平面直角坐标系的过程中，教师可以先讲解数学家欧拉发明坐标系的过程：有一次，欧拉躺在床上静静地思考，如何确定事物的位置，这时发现一只苍蝇粘在了蜘蛛网上，蜘蛛迅速地爬过去把它捉住。欧拉恍然大悟：“啊！可以象蜘蛛一样用网格来确定事物的位置啊。”然后引入正题――怎样用网格来表示位置。这时学生的学习兴致被大大地调动起来了。当然，不是所有引人发笑的都是幽默，教学语言幽默应具有深刻智慧，能使学生在笑声中领悟教师的语言所蕴含的丰富知识。然而，幽默只是手段，并不是目的。不能为幽默而幽默，如果脱离教材的内容和实际需要，一味调笑逗乐，插科打诨，那只是舍本逐末。
六、语言要富有激励性。
一、在课堂教学中展现数学的应用特点
抽象性、精确性和应用的极端广泛性是数学学科有别于其他学科的三大特点。尤其数学应用的极端广泛性，最迫切、最应该为学生在课堂中认识到。在课堂中空泛地讲“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，日用之繁，数学无处不在”是不行的，这些是学生无法切身体验的。事实上，任何问题只要能用数学加以讨论和解决，就会程度不同地发生实质性的变化。我国在优化、控制与统筹，设计与制造，质量控制，预测与管理，信息处理，大型工程，资源开发与环境保护，农业经济和数学物理[1]等方面都贯穿了数学的应用思想。在课堂教学中，教师应结合课程目标和教学内容，适当地介绍数学的应用，培养学生用数学分析、解决实际问题的能力。
比如学生在课堂上学习错位相减法有很多很好的素材，但大多与纯数列相关，和实际应用结合得较少。学生普遍认为这个方法太繁琐，而且没有实际意义。事实上，这个方法是可以有一些实用性很强的例子的。
【例】某公司有一基建项目，分6个年度投资，每年末投入40 000元，预计6年后建成。若该项目的投资来自银行贷款，贷款利率为10%，试问该项投资的投资总额是多少？[2]
教学建议：在计算这道题时，学生很有可能回答总额为40 000×6=240 000（元），这便是没有考虑资金的时间价值。学生之所以会回答错误，是受了长期理想化的、与实际无关的应用题的训练“熏陶”。如有必要，这时可以向学生介绍“普通年金终值”的概念，即每期期末收入或支出等额款项的复利终值之和。在解题的时候，我们可以设S为普通年金终值，A为每期的收付款项，n为记息期数，则：
S=A（1+i）0+A（1+i）1+A（1+i）2+A（1+i）3+…+A（1+i）n-3+A（1+i）n-2+A（1+i）n-1 （1）
两边同时乘以1+i，得：
（1+i）S=A（1+i）+A（1+i）2+A（1+i）3+A（1+i）4+…+A（1+i）n-2+A（1+i）n-1+A（1+i）n （2）
（2）-（1），得：iS=A（1+i）n-A 从而S=
本题A=40 000，n=6，i=10%，
故S==308624（元）。
显然，这个结果与240 000元差别很大。我们这里使用的方法便是错位相减法。课堂中也有学生直接用等比数列求和公式计算的，这当然很好，但我们应该让学生明白，等比数列前n项和公式事实上就是由错位相减法演变而来，如果学生还能体会到其中的类比和化归思想那就更好了。
需要指出的是，得到本题的答案并不意味着这个案例的结束。本例的求解过程已经建立了一个模型，即普通年金终值的计算模型：S=。以后我们可以直接利用这个模型来进行计算。事实上，财务管理就是这么做的，财务管理里把叫做普通年金终值系数，并且就i和n的不同取值编制普通年金终值系数表，使用起来很方便。实际课堂教学中，将这些应用呈现给学生，引导学生思考数学应用的广泛性，对于学生的成长是大有裨益的。
二、在课堂教学中讲述数学文化及其与其他学科的相互关联
数学与哲学、数学与艺术、数学与自然科学等等都有密切联系[3]，它们之间互相影响、相互为用。中学数学课堂教学不能割断这些联系：牛顿之所以发明微积分，是他研究物理问题的需要；爱因斯坦的广义相对论是建立在黎曼几何的数学基础上，并且其论证方法为数学中的公理化方法；伽利略用数学符号表达物理概念，并认定宇宙之书是用数学语言写就的；孟德尔从概率论的角度在数量上研究豌豆，发现了遗传学定律；意大利数学家沃尔泰拉在一战后不久创立了生物动力学；数学家琼斯在扭结理论方面工作突出，并因之获菲尔兹奖，生物学家将这一理论成果应用到DNA分析上，对认识DNA结构产生了重大影响；数学家H.Hauptman仅用古典数学就解决了难倒现代化学家的晶体结构的谜，并因之获得诺贝尔化学奖；三角形的任意两边之和大于第三边，构成了美国三权分立的政权架构的基础；马尔萨斯断言人口以几何级数增长，而生活资料以算数级数增长，声称战争等灾难是有益的；统计学家凯特勒发现人类几乎所有精神和物理特征都呈正态分布；达・芬奇说欣赏他作品的人几乎都是数学家；诺贝尔经济学奖得主应用数学的程度与物理相当，数学方法在其研究中起着相当本质的作用……总之，数学作为一门基础学科，与其他学科有着广泛的联系，且相互为用。那么，如何在课堂教学中体现这种相互关联呢？
【例】如图1，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，求克服弹力做功。
教学建议：对于弹簧变力做功问题，学生已经记得公式W=kx2，这里要引导学生思考公式是怎么得到的。在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需要的力F与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比，即F=kx，其中k是比例系数。下面，我们分析并解决这个问题。
用n+1个点x0，x1，x2，…，xi，…，xn，将拉长的长度l分割为等距的n小段，则每小段克服弹力做功近似为
Wi=kxi=k=k.
对n段功求和，得：
Wi=k=ki=k=kl2+kx2.
当分割足够细的时候，这个和就充分接近我们要求的克服弹力所做的功W，即
W=Wi=（kl2+kl2）=kl2.
这里的过程总结起来就是分割、近似代替、求和、取极限。利用这样的一个数学过程，变力做功的问题就得到了解决。如果学生已经学了一点简单的积分，那这里将会更精彩。
三、在课堂教学中凸显作为思维工具的数学
数学推导和演算是锻炼思维的智力操[4]，对提高学生思维水平，形成批判性思维、理性思维、创造性思维等有独到的作用。作为知识的数学，学生毕业后几乎用不上，会很快忘记；作为思维工具的数学却能伴随人的一生，它会影响人们的言行和思维方式等各个方面。抽象化、符号化、公理化、最优化和数学模型等，都是有数学特色的思维方式，这些思维方式将构成基本的数学能力，使人们更好地理解他们生活于其中的充满信息的世界。教师在课堂教学中既要注重知识的传授，更要注重对思维的训练，培养学生的创造性思维。
【例】一个和尚爬山，他早晨8点钟出发，中午时到达山顶，并在山顶上过了一夜。第二天早晨，他8点钟出发，按昨天上山时的路径下山，中午到达山脚。证明在8点和12点之间必有某一时刻，这个和尚在上下山途中到达同一地点。[5]
教学建议：题中并没有明确和尚是以怎样的速度行走的，比如，开始他可以以每小时8公里的速度行走，走累了便坐下休息一会，再继续上山；而且不要求和尚上下山的速度相同。
初次接触这样的问题，学生往往不知道该从哪里下手，甚至不相信题中的结论。在这种情况下，我们假设这个和尚可以以他自己喜欢的任意方式登山，当他第二天早晨开始下山的同一时刻，另一个和尚刚好从山下开始爬山，而其行走的过程同第一天第一个和尚上山的过程完全相同。因此，两个和尚必然在途中的某一个地点相遇，这一相遇的时间和地点就是我们要找的答案。这个解法最特别之处是引进了第二个和尚，这是最体现创造性思维的地方。经过这个分析以后，学生便毫不怀疑题中结论的正确性了。
值得注意的是，思想没有专利，数学就像一个思维宝库，任学生拿去并据为己有，教师的重要作用就是使得这个过程能够更加顺利地实现。
四、在课堂教学中渗透数学发现的方法论
近代方法论起源于培根和笛卡尔，培根提倡归纳法，笛卡尔提倡演绎法。事实上，数学学习最令人困惑也最引人入胜的环节之一，就是如何发现、怎样证明。数学的方法论主要研究数学发现和发明的原则，并由此领悟其他科学发现和发明的方法。数学上的发现，主要来源于一种冒风险的、有争议的和暂时的推理，即合情推理（或者猜想）。基本的逻辑训练必不可少，但不能过于偏向演绎论证的训练。当今的中学数学课堂，教师讲授证明过程过多，引导学生发现方法过少。前者固然重要，然而后者才是培养学生创造力的源泉。作为教师，我们既要教会学生证明，更要教会学生猜想，让学生在数学课堂上体验发现的乐趣，学习数学发现的方法，并鼓励学生将这些发现的方法用于生活实践，这必将使学生终身受益。
【例】两人坐在长方形桌旁，轮流往桌上平放一枚同样大小的硬币，条件是硬币一定要平放在桌面上，不能使后放的硬币压在先前的硬币上。这样继续下去，最后桌面上只剩下一个位置时谁放下最后一枚硬币就算谁赢，钱就都归谁。那么，是先放的人胜还是后放的胜？[6]
教学建议：波利亚在《数学与猜想》中用到了这个由来已久却值得深思的难题。如果这个桌子小到只能放下一枚硬币，那么第一个放的人必然胜。想到这个极其简单的特殊情形，剩下的问题就迎刃而解了。从这个特殊情形展开联想，我们把桌子放大，并注意到方桌是有对称中心的，这样一来，便可知先放硬币的人必胜了。
特殊化、一般化、归纳、类比等等都是合情猜想，是数学发现的方法论中的内容。在中学数学课堂中适当渗透数学发现的方法论，能激发学生的求知欲，帮助学生发现，更有益于学生的学习。
在倡导课程改革的今天，如何激发学生的数学学习兴趣，打造具有数学味的高效课堂，一直是课堂教学研究中的一个重要课题。在中学数学课堂中展现数学的特点、讲述数学与其他学科文化的相互联系、渗透数学发现的方法论，并根据教学实践不断反思、归纳、提升，应是一种有效的途径。
参考文献：
[1]王梓坤.今日数学及其应用[J].自然辩证法研究，1994，10（1）.
[2]王晓凤.会计核算基础与财务管理[M].长春：吉林大学出版社，2006.9.
[3][4]张顺燕.数学的美与理[M].北京：北京大学出版社，2012.7.
[5][美]Zeitz，P.怎样解题：数学竞赛攻关宝典[M].李胜宏，译.北京：人民邮电出版社，2010.7.
1 语言要亲切，富有感情。课堂教学语言是师生双方传递信息和交流思想的桥梁，亲切、感人的课堂教学语言能使学生保持积极舒畅的学习心境，唤起学生的学习热情，从而最大限度地提高教学效果。教师在课堂教学中，语言要亲切，富有情感。特别是对待一些差生，更应该如此，以维护他们的自尊心。应该注意的是，数学教师不要对学生的错误过多地批评、指责，甚至讽刺、挖苦，那会使学生失掉学习数学的信心。著名数学教育家波利亚就非常注意这一点，有时他一眼就看出学生的计算是错误的，但却还是喜欢以温和的态度、亲切的语调、慈祥的目光和学生一行一行地查看。学生回答问题时，用“你答得很好”、“你并不比别人差”、“你也许课前忘了复习，若课前看了，我相信你是能够回答的”等，这样做到了多鼓励、少批评，多进行正面指导，少板起面孔训人，让学生在学习上有信心，数学自然就学好了。
2 语言要精练，提高效率。所谓语言精炼，就是要求教师在课堂教学中，用最少的语句表达更丰富的内客。有的教师唯恐学生理解不了，讲课语言繁琐累赘，这种做法不利于学生掌握知识的重点和理解知识间的联系，更不利于发展学生的智力、培养学生的能力。但是语言精练并不是单纯地削减语言的数量，而是要提高语言的质量，这就要求教学语言要突出重点、抓住关键、分化难点。如在讲解垂径分弦定理及其逆定理时，教师只需讲清扇形与等腰三角形之间的联系，任何一个扇形都对应者一个等腰三角形，这个等腰三角形的顶点是圆心，顶角是扇形的圆心角，底边是扇形的圆心角所对的弦，两腰是扇形的半径。至于垂径分弦定理及其逆定理，就可以让学生根据等腰三角形三线合一的性质自己去导出。语言要精练必须服从于教学规律，采用最优教学方法，放心大胆地让学生思考、讨论、猜想、总结，教师的语言只起到画龙点睛的作用。
3 语言要生动，但要通俗。数学具有高度的抽象性，而高度抽象的数学内容又可以凭借十分生动具体的材料作原型。初中学生的学习心理尚处于“开放期”，他们纯真、活跃，表现出强烈的求知欲和好奇心。因此，教师在教学中善于运用贴近学生生活的事例、简明扼要的口诀、脍炙人口的名言以及充满时代气息的语言，把教学内容讲得生动、通俗。学生就能更深刻地理解知识。追求语言的生动、通俗，但不要出现粗理的语言，而应该是文明、规范、高雅，蕴含着丰富知识乳汁的语言。
4 语言要幽默，有趣味性。苏联著名教育家斯维特洛夫指出：“教育家最主要的，也是第一位的助手是幽默”。在数学教学中巧妙地运用幽默，可使教师的讲课变得风趣、诙谐、睿智，具有一定的艺术魅力，有助于学生去理解、接受和记忆新知识。例如，在讲解平面直角坐标系的过程中，教师可以先讲解数学家欧拉发明坐标系的过程：有一次，欧拉躺在床上静静地思考如何确定事物的位置，这时发现一只苍蝇粘在了蜘蛛网上，蜘蛛迅速地爬过去把它捉住。欧拉恍然大悟；“啊!可以像蜘蛛一样用网格来确定事物的位置啊。”然后引入正题――怎样用网格来表示位置。这时学生的学习兴致被大大地调动起来了，当然，不是所有引人发笑的都是幽默，教学语言幽默应具有深刻的智慧，能使学生在笑声中领悟教师的语言所蕴含的丰富知识。然而，幽默只是手段，并不是目的。不能为幽默而幽默，如果脱离教材的内容和实际需要，一味调笑逗乐，插科打诨，那只是舍本逐末。
一、语言要亲切，富有感情
课堂教学语言是师生双方传递信息和交流思想的桥梁，亲切、感人的课堂教学语言能使学生保持积极舒畅的学习心境，唤起学生的学习热情，从而最大限度地提高教学效果。教师在课堂教学中，语言要亲切，富有情感。特别是对待一些后进生，更应该如此，以维护他们的自尊心。应该注意的是：数学教师不要对学生的错误过多地批评、指责，甚至讽刺、挖苦，那就会使学生失掉学习数学的信心。著名数学教育家波利亚就非常注意这一点，有时他一眼就看出学生的计算是错误的，但他还是喜欢以温和的态度、亲切的语调、慈样的目光和学生一行一行地查看。学生回答问题时，应该用“你答得很好”、“你并不比别人差”、“你也许课前忘了复习，若课前看了，我相信你是能够回答的”等语言，这样做到了多鼓励，少批评。多进行正面指导，少板起面孔训人，让学生在学习上有信心，数学自然就学好了。
二、语言要精练，提高效率
所谓语言精炼，就是要求教师在课堂教学中，用最少的语句表达更丰富的内容。有的教师唯恐学生理解不了，讲课语言繁琐累赘，这种做法不利于学生掌握知识的重点和理解知识间的联系，更不利于发展学生的智力，培养学生的能力。但是，语言精练并不是单纯地削减语言的数量，而是要提高语言的质量，这就要求教学语言要突出重点，抓住关键，分化难点。如：在讲解垂径分弦定理及其逆定理时，教师只需讲清扇形与等腰三角形之间的联系：任何一个扇形都对应着一个等腰三角形，这个等腰三角形的顶点是圆心，顶角是扇形的圆心角，底边是扇形的圆心角所对的弦，两腰是扇形的半径；至于垂径分弦定理及其逆定理，就可以让学生根据等腰三角形三线合一的性质自己去导出。语言精练必须服从于教学规律，采用最优教学方法，放心大胆地让学生思考、讨论、猜想、总结，教师的语言只起到画龙点睛的作用。
三、语言要生动，但要通俗
数学具有高度的抽象性，而高度抽象的数学内容又可以凭借十分生动具体的材料作原型。初中学生的学习心理尚处于“开放期”，他们纯真、活跃，表现出强烈的求知欲和好奇心。因此，在教学中善于运用贴近学生生活的事例、简明扼要的口诀、脍炙人口的名言以及充满时代气息的语言，把教学内容讲得生动、通俗，学生就能更深刻地理解知识。追求语言的生动、通俗，但不要出现粗俚的语言，而应该是文明、规范、高雅、蕴含着丰富知识乳汁的语言。
四、语言要有激励性
在课堂教学中，教师主要是运用教学语言向学生传道、授业、解惑，所以，教师的语言表达能力重要地影响着教学的效果。要想提高教学效果，就必须研究教学语言。下面就初中数学课堂教学语言作一分析，我认为初中数学课堂教学语言应该具有下面几个特点。
1．语言要亲切，富有感情。课堂教学语言是师生双方传递信息和交流思想的桥梁，亲切、感人的课堂教学语言能使学生保持积极舒畅的学习心境，唤起学生的学习热情，从而最大限度的提高教学效果。教师在课堂教学中，语言要亲切，富有情感。特别是对待一些差生，更应该如此，维护他们的自尊心。应该注意的是，数学教师不要对学生的错误过多地批评、指责，甚至讽刺、挖苦，那就会使学生失去学习数学的信心。著名数学教育家波利亚就非常注意这一点，有时他一眼就看出学生的计算是错误的，但却还是喜欢以温和的态度、亲切的语调、慈样的目光和学生一行一行地查看。学生回答问题时，用“你答得很好”、“你并不比别人差”、“你也许课前忘了复习，若课前看了，我相信你是能够回答的”等，这样做到了多鼓励，少批评；多进行正面指导，少板起面孔训人，让学生在学习上有信心，数学自然就学好了。
2．语言要精练，提高效率。所谓语言精炼，就是要求教师在课堂教学中，用最少的语句表达更丰富的内容。有的教师唯恐学生理解不了，讲课语言繁琐累赘，这种做法不利于学生掌握知识的重点和理解知识间的联系，更不利于发展学生的智力，培养学生的能力。但是语言精练并不是单纯地削减语言的数量，而是要提高语言的质量，这就要求教学语言要突出重点，抓住关键，分化难点。如在讲解垂径分弦定理及其逆定理时，教师只需讲清扇形与等腰三角形之间的联系，任何一个扇形都对应着一个等腰三角形，这个等腰三角形的顶点是圆心，顶角是扇形的圆心角，底边是扇形的圆心角所对的弦，两腰是扇形的半径。至于垂径分弦定理及其逆定理，就可以让学生根据等腰三角形三线合一的性质自己去导出。语言要精炼，必须服从于教学规律，采用最优教学方法，放心大胆地让学生思考、讨论、猜想、总结，教师的语言只起到画龙点睛的作用。
3．语言要生动，且要通俗。数学具有高度的抽象性，而高度抽象的数学内容又可以凭借十分生动具体的材料作原型、初中学生的学习心理尚处于“开放期”，他们纯真、活跃，表现出强烈的求知欲和好奇心。因此，在教学中善于运用贴近学生生活的事例、简明扼要的口诀、脍炙人口的名言以及充满时代气息的语言，把教学内容讲得生动、通俗，学生就能更深刻地理解知识。追求语言的生动、通俗，但不要出现粗俚的语言，而应该是文明、规范、高雅，蕴含着丰富知识乳汁的语言。
4．语言要幽默，要具有趣味性。苏联著名教育家斯维特洛夫指出：“教育家最主要的，也是第一位的助手是幽
默。”在数学教学中巧妙地运用幽默，可使教师的讲课变得风趣、诙谐、睿智，具有一定的艺术魅力，有助于学生去理解、接受和记忆新知识。例如，在讲解平面直角坐标系的过程中，教师可以先讲解数学家欧拉发明坐标系的过程：有一次，欧拉躺在床上静静地思考，如何确定事物的位置，这时发现一只苍蝇粘在了蜘蛛网上，蜘蛛迅速地爬过去把它捉住。欧拉恍然大悟：“啊！可以象蜘蛛一样用网格来确定事物的位置啊。”然后引入正题――怎样用网格来表示位置。这时学生的学习兴致被大大地调动起来了。当然，不是所有引人发笑的都是幽默，教学语言幽默应具有深刻智慧，能使学生在笑声中领悟教师的语言所蕴含的丰富知识。然而，幽默只是手段，并不是目的。不能为幽默而幽默，如果脱离教材的内容和实际需要，一味调笑逗乐，插科打诨，那只是舍本逐末。
