时间：2023-03-08 15:33:57
序论：在您撰写大学生数学竞赛时，参考他人的优秀作品可以开阔视野，小编为您整理的7篇范文，希望这些建议能够激发您的创作热情，引导您走向新的创作高度。
在近几年工科数学课程教学中，将大学生数学竞赛融入到数学教学的实践中，取得了一定的效果，对于教师和学生来讲，数学竞赛都是很好的提升机会，从而提高了数学课程的整体教学水平。
大学生数学竞赛是由中国数学会主办的一项面向本科生的全国性高水平学科竞赛，目前已成为全国影响最大、参加人数最多的学科竞赛之一，参加该项赛事使得教师和学生都受益匪浅，整体提高了教学水平。在教学改革的实践中，除了组织专门的教师团队辅导学生参赛，还将数学竞赛融入到平时的日常教学中，将竞赛培训与日常教学紧密结合。
通过大学生数学竞赛的平台，一方面巩固了学生的数学基础，激励了学生学习数学的兴趣，锻炼了学生的数学思维，加强了学生的数学修养，培养和发现了大批的优秀数学创新人才。另一方面，竞赛为教师提供了教学交流的良好平台，促进各高校之间数学教学的沟通，提高了教师的业务能力和数学教学质量，促进了高等教育学校数学课程建设的改革。
一、数学竞赛提高学生的数学素养
全面实施数学素质教育、培养学生数学创新能力是新时期高校教育的主要任务之一，其根本途径之一是重视学生数学基本功的培养。全国大学生数学竞赛是夯实数学基本功的有效途径，以赛促学，在实战中提升，不仅能够提高学生的数学思维能力，培养学生的创新能力，而且锻炼了意志品质。这对于学生后继专业课程的学习也能起到良好的促进作用，同时大大增强了学生在进修和就业中的竞争实力。
1.以比赛促进学习，激发兴趣和热情。高等数学类课程一贯以其抽象性、枯燥性让很多学生望而生畏，在教学改革的实践中，教师一直在寻找激发学生学习兴趣的突破口。高等数学竞赛就是有效的教育手段之一，很好地培养和激发了学生学习数学的热情。自2002年起，浙江省高等数学教育研究会开始在全省高校范围内举办“浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛”，为配合国家级、省级高等数学竞赛，学校也举办校级高等数学竞赛，包括高等数学竞赛的辅导和赛事举办。在这个过程中，学校安排教学经验丰富的教师对学生进行竞赛辅导。培训中不断夯实学生的基础知识，开阔学生的视野。
教师选择一些代表性的内容进行深入讲解，在一定层面上在提升式的练习，其中部分竞赛中的试题与考研试题非常类似，很多学生的学习积极性由此被调动起来。通过参加大学数学竞赛，学生从原来的被动接受数学知识变成了积极主动地去探讨，学习的目标变得很明确，学生学习更加有动力。另外，学校对获奖学生的奖励政策，也给予了数学教学很大的政策支持。学生在准备参加赛事的过程中，借竞赛的平台被鼓励和激励，提升了学习高等数学的兴趣。
2.以实战促进学习，提高应用数学能力。高等数学类课程除了要传授给学生数学基础知识，更重要的职责在于培养学生应用数学的能力，即分析问题和解决问题的能力。大学数学竞赛对提高应用数学的能力起到了重要的促进作用。在准备竞赛的过程中，教师和学生要重新梳理基本的定义及定理等相关内容，整理知识结构和各种题型相应的解题方法、技巧，进行系统的强化练习和训练。
通过对教学内容的更新和拓展，教学模式的改变，对原有的教学方式，从共性问题到个性问题重新进行了板块式设计，通过把数学实验内容与习题课相结合，传授科学发现的基本原理，突出数学建模和数学应用的思想，使学生的思维能力得到锻炼，扩大了学生的思维空间，提高了学生对数学知识和方法灵活运用的能力，使学生的数学知识和数学能力上升到一个较高的层面。
参加竞赛的同学，不论是否获奖，在自身的数学学习上都有很大的收获。如果获奖，学生会有成功的体验，为学生的数学学习增加了自信心，为之后的深入学习打下了良好的基础。即使没获奖，整个培训过程和学习过程也使得学生的数学能力和思维得到锻炼，竞赛是一次好的历练和体验，是一次鞭策与激励，为他们下一次的成功打下了坚实的基础。因此，竞赛是检验学生学习效果的一次实战性的机会，很好地锻炼了学生的各方面能力。
二、数学竞赛推动了高等数学的教学工作
数学竞赛不仅为广大学生提供了展示自我、锻炼自我的平台，同时也为教师们提供了沟通的平台，有利于促进学校间的教学交流，提高整体的教学水平。各参赛学校在彼此交流中，相互借鉴成功经验，互通有无。同时，交流也促进各学校在高等数学教学的投入力度，在学校政策支持、师资力量以及教学方法等方面都有不断的提升。高等数学竞赛通过有形和无形的方式，积极地开展高等数学教学方面的学术交流，促进了数学教学研究，发挥了一些独特的作用。
1.多元教学手段，促进教学改革。在数学竞赛培训的过程中，学生经常会有疑问需要及时解答，这也促进了网络教学平台的快速发展。除了利用QQ、微信等实时通讯工具进行答疑之外，数学竞赛促进了网络教学手段的改革。建设数学课程教学的网络平台，提供教师之间、师生之间、学生之间的一个有效交流的平台，实现学生间的很好的互助模式。同时，利用丰富的数学网络资源等平台，提高学生的自我学习能力和解决问题的能力，从而实现了学生数学素质全方面的整体提高。
2.培养人才，探索精英教育的有效途径。数学竞赛开阔学生视野，提高整体学习水平，同时也是在教学中探索精英教育的一个有效实践。参加高数竞赛的同学相对来讲，要求数学基础较好，具备一定的数学素养，因此如何培养数学优秀人才，数学竞赛是一个实践的契机。例如，在实践中，建立数学实验班，将数学基础好的学生集中教学，其目的就是培养和发掘有潜力的优秀学生。探索新的数学类课程的教学模式，为培养创新型人才探索一条新的途径。
3.锻炼教师，促进教师队伍的建设。将数学竞赛辅导融入到日常教学以及竞赛的培训工作都需要教师认真设计教学内容，积极探索教学教改方法，这都激发了教师教学改革的热情，直接提高了数学课程的教学水平和大学数学课教师的数学功底和教学能力，提升公共数学课程的学习效果和整体实力。
高等数学的教学工作，极大地激发了教师提高教学质量的热情，促进了师资队伍的建设，从而整体提高了数学的教学水平。同时，数学竞赛是教学反馈的机会，通过竞赛及时反思教学，从而促进教师自身提高，促进教学水平提高。比如，可以根据竞赛反馈以及竞赛交流，对数学课程的教学大纲、教学设计、课程体系等方面进行再思考，在教学理念、教学技能和方法等方面提升，从而不断探索更加适合的培养模式、课程平台体系等。
三、具体措施与探索
从第一届大学生数学竞赛开始，为了鼓励更多青年学子参与到赛事中，我们从学校、教师、学生多个角度实施了具体措施，效果良好。
1.学校政策大力支持保障竞赛良性开展。数学类课程是高校大学生理、工、管各专业的基础课程，学校大力支持学生参与各类竞赛，尤其是大学生数学竞赛。学校在竞赛所需的场地、费用、资源等方面都非常支持，对参赛获奖学生也有政策支持。学校相关部门每年在比赛前期组织竞赛培训。整个流程从学生报名、初赛筛选、竞赛培训、到参加比赛，整个过程都有条不紊地进行。
另外，对于在国家级、省级大学生数学竞赛中获奖的同学都有不同级别的学分奖励，这对于学生在以后的保研、考研、就业等方面都会有很大的帮助。学校相关政策的鼓励和支持，极大地刺激了学生参与的积极性。
2.优秀的竞赛教学团队。为了更好地参加数学竞赛，学校组建了一支优秀的教师培训团队。培训教师年龄层次合理，教学经验丰富，分工合作，利用周末等休息时间为学生进行讲解、答疑等辅导工作。
教学团队广泛地查阅相关的参考书，密切关注和留意高等数学教学改革的动态，不断地自我学习，提高教学能力以及自身的数学素养。教学团队在培训中将竞赛与考研相结合，在培训中不仅注重基础知识，同时在学生可接受的范围内不断提高，研究教学方法，使得学生更易于接受和理解。另外，教学团队将竞赛与平时教学密切结合，在教学中渗透竞赛的思想和方法，开阔学生的视野。
在高等数学竞赛中取得了一定的成绩，但在组织和培训的过程中仍发现一些不成熟的地方有待改善。比如部分同学对竞赛辅导的依赖性很强，过于看重竞赛成绩，反而不利于培养数学思维和数学精神。因此，在教学实践中，一是帮助学生端正学习态度，不以考试和竞赛为学习目的，树立良好的价值观。
引导学生参加数学竞赛培训的首要目的并不是为了获奖，而是为了能够提高学生的数学素养，更好地奠定学生的数学能力与数学思维。高等数学竞赛是推动高等数学教学研究，促进教学经验交流，推广教学研究成果，探索提高教学改革，积累资源的共享平台。对于培养学生数学思维，提高学生的应用数学解决问题的能力都有很大的帮助。对于教师提升自身教学素养、促进交流协作、提高整体教学质量都有积极的作用。
【关键词】数学竞赛；数学分析；高等代数；解析几何
1.引 言
全国大学生数学竞赛是一项面向本科生的全国性高水平学科竞赛，以激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新型人才为目的.从2009年开始举办，每届初赛定在当年10月底，复赛定于次年3月，参赛人数逐年上升，已成为全国大学生中最具影响力的赛事之一.
本文针对这几届的全国大学生数学竞赛试题（数学类）做了一些归纳、分析，并通过例子对解题方法进行一些总结.
2.竞赛题目分析
通过对2009年以来初赛及复赛的竞赛题进行分析，我们看出竞赛题主要包含数学分析、高等代数、解析几何三门课程，其中数学分析的比重50%，高等代数的比重35%，解析几何的比重15%，具体内容如下：
涉及数学分析的内容主要包含一元函数、多元函数及级数等，具体有：利用Taylor公式求变限积分的极限，将微分中值定理应用在确定函数或函数列零点等问题上，利用构造连续函数的方法来证明推广的微积分学基本定理，导函数的介值性在不等式方面的应用，利用比较法则或被积函数的单调性讨论反常积分的敛散性或反常积分的极限等问题，利用平均值不等式、Schwarz不等式、被积函数的单调性、变限积分等来证明积分不等式或反常积分不等式，用一元凸函数的连续性判断二元函数的连续性，用Hesses矩阵求二元函数极值问题，将三元函数最值问题转化为一元函数的极值问题，用Green公式、坐标变换、幂级数展开等计算二重积分，用迫敛性及平均值不等式求数列极限，构造条件收敛的数项级数使其收敛于任何指定的数，利用Cauchy收敛准则判断函数列一致收敛，利用函数项级数的一致收敛性讨论和函数的性质，利用幂级数展式求数项级数的和等内容.
涉及高等代数的内容主要包含矩阵、线性空间与线性变换、线性函数等，具体有：利用列相等证明矩阵的相等，利用正定矩阵性质来讨论半正定矩阵同时对角化，利用Jordan标准型判断矩阵方程是否有解，利用矩阵相似、合同的性质求解矩阵中未知量，利用不变子空间证明矩阵相似于由可逆矩阵和幂零矩阵构成的准对角矩阵，利用矩阵乘积AB与BA的非零特征值不变求解未知矩阵，利用多项式的性质证明矩阵相似不会因数域的变化而改变，利用不变子空间来研究线性变换的特征值及特征向量，通过选取一组基来确定空间维数及线性变换可对角化，利用矩阵的迹推导线性变换的迹及其性质，线性函数转化成方程组利用子空间的直和证明等式，利用双线性函数是迹的应用，利用线性函数的对偶基来证明所给定矩阵为数量矩阵.
涉及解析几何的内容主要包含空间直线及曲面方程等，具体有：利用向量垂直之间的关系确定直线方程，确定圆柱的轴线，从而确定圆柱面的方程，一条直线绕另一点旋转形成曲面的可能情形，给定曲面上的一些点判断曲面的类型，利用过原点的求解截线为圆周的平面方程，利用直线的参数方程求解锥面方程，给定四个点利用球面的一般方程求解球面方程.
通过竞赛题所涉及知识分析看出，竞赛题目基本没有超出这三门课程通常教材范围，但是竞赛分数却不是太高，是何原因呢？我们认为可能，由于学生掌握的基本知识不够扎实，缺少一些独立思考，还有知识间的联系与运用不太熟悉.因此，我们应该在平时的学习中首先要从基础抓起，做到没有不熟悉的知识点，理解并掌握每个定义、定理的证明及应用.其次建立知识框架，明晰知识之间的关系，以及知识在学科之间重合的部分，需要着重把握.最后我们应该通过做一些综合性比较强的题目，来熟练使用知识点，培养独立思考、分析问题的能力，还要学习一些解题技巧，从而提高数学思维，这样可以更好地提高处理问题的能力.
【关键词】大学生数学竞赛；矩阵；矩阵方程；特征值
【中图分类号】O151.2【文献标识码】C
【基金项目】河南省高等学校青年骨干教师资助计划项目（2014GGJS-193）
一、引言
2015年第七届全国大学生数学竞赛（数学类）预赛试题第三大题：
设A为n阶实方阵，其n个特征值皆为偶数.试证明关于X的矩阵方程X+AX-XA2=0只有零解.
证明如下.
设C=I+A，B=A2，A的n个特征值为λ1，λ2，…，λn，则B的n个特征值为λ21，λ22，…，λ2n；
C的n个特征值为μ1=λ1+1，μ2=λ2+1，…，μn=λn+1；C的特征多项式为pC（λ）=（λ-μ1）（λ-μ2）…（λ-μn）.
若X为X+AX-XA2=0的解，则有CX=XB；进而C2X=XB2，…，CkX=XBk，…，结果0=pC（C）X=XpC（B）=X（B-μ1I）…（B-μnI）.注意到B的n个特征值皆为偶数，而C的n个特征值皆为奇数，故（B-μ1I），…，（B-μnI）皆为可逆矩阵，结果由0=X（B-μ1I）…（B-μnI）立得X=0.
受此启发，考虑一般的问题：方阵A与B满足什么条件时，关于X的矩阵方程AX=XB只有零解.
二、主要结论
定义1设A∈Pn×n，λ∈P，如果存在X∈Pn且X≠0，使AX=λX，则称λ是矩阵A的一个特征值，称X是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量.
定义2设A∈Pn×n，λ∈P.矩阵λE-A的行列式
|λE-A|=λ-a11λ-a12…λ-a1n
λ-a21λ-a22…λ-a2n
λ-an1λ-an2…λ-ann
称为矩阵A的特征多项式，记为fA（λ）.
注fA（λ）是一个关于λ的n次多项式，其在P中的根即为矩阵A的全部特征值.
引理1[哈密顿-凯莱（Hamilton-Caylay）定理]设A∈Pn×n，fA（λ）=|λE-A|是矩阵A的特征多项式，则
fA（A）=An-（a11+a22+…+ann）An-1+…+（-1）n|A|E=0.
注这表明矩阵A的特征多项式是矩阵A的零化多项式.
引理2设A∈Cn×n，B∈Cm×m，则fA（B）（fB（A））是m阶（n阶）可逆矩阵的充分必要条件是矩阵A与B无公共特征值.
证设A的n个特征值为λ1，λ2，…，λn，B的m个特征值为μ1，μ2，…，μm，则
fA（λ）=|λE-A|n=（λ-λ1）（λ-λ2）…（λ-λn），
fB（λ）=|λE-B|m=（λ-μ1）（λ-μ2）…（λ-μm），
于是，fA（B）=（B-λ1E）（B-λ2E）…（B-λnE）.
注意到对任意1≤k≤n，有
|B-λkE|m=（-1）m|λkE-B|m=（-1）mfB（λk）=（-1）m（λk-μ1）…（λk-μm）=（-1）m∏mj=1（λk-μj），
故|fA（B）|m=|B-λ1E||B-λ2E|…|B-λnE|=（-1）mn∏ni=1∏mj=1（λi-μj）.
因此，若fA（B）可逆，则
|fA（B）|m=（-1）mn∏ni=1∏mj=1（λi-μj）≠0，
于是λi≠μj（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m），从而矩阵A与B无公共特征值；反之亦真.
同理可证fB（A）是n阶可逆矩阵的充分必要条件是矩阵A与B无公共特征值.（证完）
定理1设A∈Cn×n，B∈Cm×m，A与B无公共特征值，则矩阵方程AX=XB只有零解，其中X是n×m矩阵.
首先，X=0是AX=XB的一个解.其次，设X=X0是AX=XB的任一解，tAX0=X0B，于是A2X0=A（AX0）=A（X0B）=（X0B）B=X0B2，进而A3X0=X0B3，…，AkX0=X0Bk，…，（k∈N）.注意到A的特征多项式fA（λ）=λn+∑nk=1（-1）kbkλn-k，其中bk（k=1，2，…，n）是A的所有k阶主子式之和，于是有fA（A）X0=X0fA（B）.
由引理1知fA（A）=0，则X0fA（B）=0，又A与B无公共特征值，则由引理2知fA（B）是m阶可逆矩阵，于是X0=0.因此，矩阵方程AX=XB只有零解.（证完）
三、应用
解决第七届全国大学生数学竞赛（数学类）预赛试题第三大题.
数学竞赛按专业性质分为数学专业与非数学专业两类。数学专业预赛与决赛内容主要包括:《数学分析》,《高等代数》与《解析几何》三门课程中的内容。非数学专业预赛内容则主要是:《工科高等数学》中的内容。但从第五届开始，初赛内容不变，决赛内容将有所增加。
参加第四届大学生数学竞赛的预报名人数达到46708人，其中非数学专业35502人，数学专业11206人。目前已成为影响范围较广、参加人数较多的国家级学科竞赛。笔者相信在未来的几年中，预报名人数还会持续增长，这门学科竞赛的影响力也会越来越大，在全国本科院校中得以普及。
本文所要阐述的是如何在普通高校本科生中建立一个长效机制来开展大学生数学竞赛。包括如何稳固参加预赛的人数、制定合理有效的培训内容、师资队伍的建设以及经费来源等。
1普通高校开展数学竞赛培训的必要与可行性分析
在高科技产品日新月异的信息时代，笔者认为:数学是科学技术发展的必备技术工具，是各门学科发展的基础和升华。因此数学教育在现化教育中所占据地位举足轻重。数学竞赛的举办和发展为数学教育增添了新的活力，提供了新的契机，发掘了新的人才。从微观角度来说，为了提高学生的创新思维和发散性思维，在数学竞赛前进行培训显得尤为重要。从宏观角度来说，赛前培训对推进教学改革和提高教学质量，有着多方而的积极意义。应与课堂教学相互配合，相互渗透，但又有着课堂教学所无法代替的重要作用。
首先，数学竞赛培训能够巩固学生在课内所学的知识、扩大学生的视野、拓宽解题思路、增强逻辑推理能力以及解题和运用数学知识解决实际问题的能力;其次，数学竞赛培训能够帮助学生掌握正确的学习方法，促使大学数学教学更好地进行;再次，数学竞赛培训对提高学生学习兴趣，促进思维能力发展，增强探索精神和创新才能皆有促进作用;最后，数学竞赛在发现和发挥大学生的特长，选拔和培养具有数学天赋的学生等方而也有着积极的意义。 参加全国大学生数学竞赛除了上述的必要条件之外，还需具备四个充分条件:如何稳固参加预赛的人数、制定合理有效的培训内容、师资队伍的建设以及经费来源等。首先，如何有效地组织大学生参加竞赛，可谓是四个条件中最重要的一项，也是下一节笔者所研究的重点;另外，作为数学竞赛的主要内容:《高等数学》是工科类学生必修的基础理论课，《数学分析》, 《高等代数》,《解析几何》等课程是数学专业的专业基础课。这些是数学竞赛得以顺利开展的基础。第三，调动部分高校专仟的数学教师组成竞赛培训团队也是一项重要的环节，笔者将会在第三节做详细的研究。最后是竞赛活动经费，笔者认为可以从以下三个方而获得:第一方而，每所高校都会有专项的创新活经费，可以从此项经费中申请一部分;第二方而，各赛区的主办方会拔给每个学校一些经费;第三方而，适当地向参加培训的学生收取(或变相地收取)一部分。这些经费主要用于:参加竞赛的学生报名费、培训教师的课时费和学生竞赛时的考试相关费用等。
基于上述分析，在普通高校开展数学竞赛培训以及组织学生参加全国大学生数学竞赛是完全可行的并具有实际意义的。
2普通高校学生现状分析
为了吸引、鼓励更多的学生参与数学竞赛活动，必须先了解现在普通高校本科生的生源现状及其学习状态。不得不承认，全国高校自扩招以来，普通高校大学生的质量普遍下降。主要原因有两个:一是大学的教育已由精英式转为大众式;二是随着扩招的进行，大多数优质生源进入了985或211这样的重点高校，这样就导致普通高校中的优质生源比例相对减少。
限于优质生源比例小的问题，再加上数学理论繁杂与深奥，学习起来困难重重，多数学生在学习数学时会产生为难情绪从而心生畏惧。还有小部分的学生在进校时数学基础就比较差，(或由此产生的)学习数学的积极性很低。还有一部分学生认为数学无实际用途，从主观上学习数学的兴趣消极。基于以上几点原因加上一些来自普通高校教学条件的限制，很多大学生的实际数学水平较低，所引发的直接结果就是学习成绩下降、考试分数偏低、补考人数增多，更有甚者一些学生因为数学不及格而无法毕业。
现阶段普通高校多数强调实践，所以在大学一、二年级基础阶段会大量调减理论课时，特别是有关数学的理论课程。这样就导致了教师在上课时会对课程进行调整，例如内容增加、进度加快等等。数学课中部分核心内容由于难以理解，权衡之下只好放弃。因课时问题，数学习题课早已名存实亡。关于这一点在文中笔者会有详尽的论述。一些普通高校强调少讲精讲，但数学本身就是一门高深抽象的学科，没有理论基础实践就无从说起。一些内容略讲或是不讲，都有可能在学生在今后的实际应用中造成影响。但即使知道删减理论会有诸多的弊病，许多普通高校还是在课程中减少了很多的数学内容。
多数普通高校的本科学生所学的数学内容少，而且掌握的不扎实不牢固。这一点与数学竞赛产生了严重的予盾。那么哪些学生适合参加数学竞赛呢?笔者认为有两类学生比较合适一类是自主学习能力强，数学基础扎实，对数学非常感兴趣的学生;另一类就是考研的学生。这两部分学生对数学的求知欲望非常强烈，因此成为是参加数学竞赛的主力军。
3稳固参赛学生群体策略
据调查显示，有的普通高校因为这个问题而放弃参加全国大学生数学竞赛。即便参加人数也少的可怜，以我校为例，我校于2011年第一次参加全国大学生数学竞赛，当时仅有一个非数学专业的学生参加了竞赛，其余29名数学专业的学生也是被志愿的。为了保障全国性的数学竞赛活动在我校顺利开展，我校实行了以利益驱动的办法。使学生有两方而的既得利益:选修学分和考研辅导。
为了稳固参赛学生的群体，我校主要从以下三方而开展了工作。
3. 1有效宣传
根据经验，通过学生(或辅导员)在学生中进行数学竞赛宣传以及在学生中发放宣传小册子的方法收效甚微。为了能够在学生中得到有效的宣传，我院在大一的第二学期末，由《高等数学》任课教师负责向自己的任课班级做大量宣传，向学生讲清楚参加数学竞赛所能获得的利益，通过自愿报名的方式鼓励学生积极参与。
3. 2设立选修课
为能够顺利进行数学竞赛辅导培训，我们开设两门40学时的选修课《高等数学选修》与《数学基础研修》(这两门课程的学分均为2学分，他们的本质是数学竞赛辅导课程)。这样我们就解决了培训的时间与教室的安排问题(当然，我们可以给教务部门一些时间安排上的建议)。由于大学生在大学期间要修满一定的选修学分，所以这两门课程的开设对学生是有一定吸引力的。另外，培训内容要尽可能让学生理解。如果内容难度过大，就会造成多数学生在课堂的注意力不集中，甚至来上课仅仅是为了走形式。这样就达不到吸引学生参加竞赛的目的。总的来说，就是用选修课的学分来吸引学生参加数学竞赛培训，在学生能够接受的基础之上对其加以培训，并弱化对选修课的考核。提高学生对学习数学信心，自主自愿报名参加数学竞赛。
考虑到普通高校的教学内容(无论是专业的还是非专业的)无法满足竞赛的要求，而且还有一小部分竞赛内容不在工科教学大纲的范围内。我校选择了开设《高等数学选修》、《基础数学研修》两门选修课《高等数学选修》是为参加数学竞赛预赛的工科类学生准备的《基础数学研修》是为专业类的本科学生而开设的。这两门选修课的授课内容严格遵从《中国大学生数学竞赛大纲》的要求。对提高学生数学素养是有百利而无一害的。
3. 3考研辅导
数学竞赛的难度大大超过了考研数学的难度，为了吸引更多考研的学生，我们的辅导以考研数学的难度为基础的。让学生在参赛的同时得到专业教师的考研辅导，加大学生对竞赛的兴趣。竞赛辅导的基础目标是考研数学辅导，重要目标是数学竞赛辅导。我们的辅导内容遵从竞赛大纲、以历年考研真题结合历年的竞赛真题的解题技巧制定讲授内容。这样既能得学分，又能得到考研数学的辅导，在帮助考研学生的同时也达到了稳定参加数学竞赛人数的目的。
笔者认为上述条件能够吸引很大一批学生选修《高等数学选修》与《基础数学研修》。快速扩大数学竞赛在学生中的影响。一方而学生会因为选修学分易得而在学生群体广泛宣传;另一方而学生会因为能满足自己的求知欲望而踊跃报名，还有一些学生会因能得到免费的考研数学辅导而进行宣传。在参加竞赛培训的人数得以保障的情况想，在参加培训的学生中选择一些较好的参加竞赛，这样就能够提高获奖率，也可以减少一些费用(比如报名费、考务费等)。
另外，我校的学生在数学竞赛中获得的奖项，在物质上是没有任何奖励的。不过，按获得的奖项的等级不同会奖励不同的创新学分，创新学分可作为选修学分。比如，在初赛中获得国家一等奖，会得5个创新学分;二等奖，4个创新学分，依次类推。在决赛中获得奖项，在我校还从未有过，但笔者相信通过我校师生的共同努力，在不远的将来一定会实现这个梦想。
4建立一支德能兼备的培训团队
为了能够更好地让学生适应竞赛试题题型，组建一支具有奉献精神和敬业精神的培训教师团队是关键。组建这样的队伍需要两个条件。首先，培训教师虽然不计报酬但不能没有报酬，否则会使培训的教师缺乏教学兴趣。由于我校的数学竞赛培训是以选修课的形式进行教学的，故大部分的报酬是由学校以课时费的形式来支付的。但是与培训教师花费大量时间和精力进行试题和教法的研究相比，他们所得的课时费与付出是无法成正比的。其次，大学生的数学竞赛培训可以看作我们日常教学的有益补充。培训教师必须有较好的数学素养，教学方法，在解题能力和表达能力有较高的水平。同时，还要求培训教师广泛地查阅课外参考书、新近的考研参考书和各省市及国家的数学竞赛试卷等。可以说培训团队业务水平及敬业精神的高低直接决定着数学竞赛成绩的好坏。
以我校为例数学专业的培训团队有五人，非数学专业的团队有四人。他们每人分别负责一部分内容。大家的同感是:任何一门课程的全部培训内容由一人完成几乎是不可能的，竞赛培训备课所需的时间与精力不是正常课程备课所能比拟的。甚至，有时我们在一学时的时间里只能讲解一道例题，不是我们的培训教师没有能力，而是我们在将知识教授给学生们的同时还要保证学生能顺利消化，扎实的掌握解题技巧。
据笔者调查，各普通高校很少有专门的数学教师来辅导将要考研学生的数学知识。由于数学竞赛的难易程度在考研数学的难度之上，故数学竞赛的培训教师完全胜任考研数学辅导。这样一个专门的考研辅导团队是学校领导和所有将要考研的学生非常期待的。所以将考研团队与数学竞赛培训团队融为一体，从各个角度上看都是可以实现的，也是具有现实意义的。
5 结语
【Key words】The chinese mathematics competitions； Training mode； Innovation
全国大学生数学竞赛自2009年举办以来，已连续开展了六届，全国26个省（区、市）的数百所大学组织了学生参赛。全国大学生数学竞赛作为一项面向本科生的全国性高水平学科竞赛，为大学生提供了一个展示数学基本功和数学思维的舞台，激励了大学生学习数学的兴趣。因此，根据学校及学生的实际情况，探讨合理、高效、系统的竞赛培训方式有利于提高大学数学课程的教学水平和推动高等学校数学课程的改革建设。全国大学生数学竞赛（下文中简称数学竞赛）分为数学专业组和非数学专业组，本文主要探讨本科层次第二批次招生的理工科学校非数学专业的竞赛培训模式。
1 培训方式的改进与交流平台的建立
1.1 实现培训方式式的多样化
传统的教学与培训是指导教师课堂讲授、学生被动接受为主的方式，在此培训方式下，学生需在较短时间内接受、理解大量的信息，难度高，强度大，因此很难达到良好的培训效果。要达到良好的培训效果必须以本着以学生为主体[1]的原则实现培训方式的多样化。
除了指导教师讲授，学生听课的培训模式外，可采用的培训方式有：（1）学生分组讨论，指导老师可先将同一类型的题目分发至各个小组，各小组组织时间做题，将做题结果交回给指导老师，指导老师进行汇总讲解；（2）学生自己讲解题目，将题目指派到学生名下，课堂培训时由学生自己讲解其解题思路，再由老师点评更正；（3）对基础扎实，反应较快的同学增加额外的培训时间，由指导老师引导，组织小班讨论、讲解；（4） 定期进行测试，请成绩优秀的同学与其他师生一起分享解题心得。
1.2 建立良好、高效的交流平台
良好、高效的交流有利于问题的解决，有利于促进学生之间、师生之间的相互学习[2]。可创建数学竞赛的QQ群作为交流平台，要求所有指导老师与参赛学生都加入该群，学生可按年级或专业自行组成讨论小组。指导老师与学生都可将相关的资料上传至QQ共享，供大家下载、学习。一方面，学生在课堂听课之外有相应的习题供其练习与巩固，对于课堂以及练习中遇到疑问，学生在自主思考之后也未能解决的情况下与老师进行沟通，及时地解决了疑问。另一方面，学生将待解决的题目发至对话区，所有学生及老师均可对题目发表自己的观点，在讨论的过程中去寻找解题思路，这让所有参与讨论的人都深刻体会到别人从什么角度去思考解决同样的问题，让所有学生与老师都受益匪浅。
2 培训计划的制定与竞赛梯队的形成
2.1 制定循序渐进的培训计划
单一的赛前集中培训要求学生能在短时间内理解、消化大量的信息，可能导致一部分学生因跟不上进度而中途退出，因此制定循序渐进的培训计划能保障培训够顺利进行。培训可分为三个步骤：步骤一，入门培训。这一步骤可在学年的第一学期进行，对高数进行系统复习与知识点补充，并从课本和考研题中选取难度适中的题目作为练习题。步骤二，强化训练。这一步骤可在暑期时进行，内容为中等难度的竞赛题。步骤三，模拟冲刺。这一步骤在学年的第二学期数学竞赛预赛前进行，指导教师先将模拟试题上传至QQ共享，由学生先自行测验，之后再在培训时讲解。也可让学生讲解自己的思路和看法，形成良好的交流、探讨氛围。通过入门、强化与冲刺这三个阶段，学生洞察题意和解决问题的能力会有较大的提高。
2.2 实现分层培训，形成持续的竞赛梯队
参赛学生大致可分为三个层次：初次参加竞赛的大二学生；已参加过1～2次竞赛的学生；备战考研的学生。各年的参赛结果表明获奖的选手多为已参加过数学竞赛的学生及备战考研的学生，因此根据学生的情况实行分层培训可使培训更高效、更合理。对初次参加竞赛的大二学可从教材中的难题为起点，逐步加大题目难度对其进行培训；对已参加过1～2次竞赛的学生可适当复习基础知识，针对各知识点讲授新的题目；对备战考研的学生可不讲解基础知识，重点讲解考研题目，在此基础之上加入竞赛题目。
如何吸引更多优秀的大学生参与到竞赛中来并形成持续的竞赛梯队是竞赛的主办方和参赛学校都关注的问题。可通过下述途径解决该问题：（1）做好数学竞赛的宣传工作：通过赛前动员、赛后总结表彰及获奖选手报告参赛经验等一系列活动扩大数学竞赛的影响，让学生充分了解竞赛的宗旨、形式与作用。（2）将竞赛培训设置为选修课程，获奖选手除获奖励之外还可获得相应的兴趣学分。（3）将辅助考研学生作为竞赛培训的机能之一，通过针对性强的培训提高考研学生的考研成绩，为数学竞赛与竞赛培训建立良好形象。
3 培训资料的收集与整理
以往几届的竞赛试题无固定的规律和模式，题目灵活机动，综合性强，难度较大。提高学生竞赛成绩的有效方法之一就是让学生接触各种类型、各个层次的题目，掌握一定的做题技巧，增强学生的应变能力，所以培训资料的收集与整理尤为重要。全国各地区或高校的数学竞赛试题、考研试题以及往届数学竞赛的试题均可作为培训材料。可根据题型、难度对这些试题进行分类、排序，使学生尽可能多地接触各类题型，循序渐进地掌握好各类题型的解决方法。另外，也可从《数学分析》、《常微分方程》、《空间解析几何》等数学专业的专业书中选取与高等数学联系较密切的知识点，作为培训资料的一部分在培训时补充讲解，以拓宽学生的知识面，提高学生的解题能力。
4 竞赛培训与高等数学教学的紧密结合
对于本科层次第二批次招生的理工科学校而言，高等数学与其大多数专业的后续课程联系紧密[3]，因此这些学校均十分重视高等数学的教学。但是近年来，高校招生人数不断扩大，大学生总体入学水准和综合素质都不甚理想。因此授课教师在教授高等数学时更侧重于讲解基本的计算，而忽略了学生的思维能力和数学修养的培养，这限制了综合素质较强的学生的发展。竞赛培训与高等数学教学的紧密结合，可弥补日常教学中的不足，挖掘学生的数学潜能，发现数学创新人才。
竞赛的指导老师应承担高等数学课程的教学工作，并要对于非数学专业学生的学习状况和各章节应补充加强的知识点有较深入的了解。可在日常教学中选出需补充加深的知识点并寻找相应的练习题，经指导组成员讨论、筛选后确定具体内容，在入门培训阶段补充讲解。实践表明好学的学生对补充的知识点非常感兴趣，会在课后积极提问，也会主动完成相应的练习题。竞赛培训与高等数学教学的紧密结合巩固了学生的基础知识，激励了学生学习数学的兴趣，充分地体现和诠释了数学竞赛的宗旨。
1.1 赛事目标
全国大学生数学竞赛，又称为中国大学生数学竞赛（后面简称竞赛），是中国数学会面向本科生举办的一项全国性高水平学科竞赛，旨在发现和选拔数学创新人才，促进高等学校数学课程的改革和建设，增加大学生学习数学的兴趣，培养分析、解决问题的能力，为青年学子提供一个展示基础知识和思维能力的舞台。
1.2 竞赛内容
赛事包括预赛和决赛两部分，按专业性质又分为数学专业和非数学专业两类。参赛对象均为大学本科二年级及以上的在校大学生。其中数学专业类考查数学分析、高等代数、解析几何三门课程，而非数学专业类是面向工科类专业学生设置的，预赛考查的主要内容是高等数学，决赛从第五届开始增加了线性代数部分。
1.3 赛事现状
自2009年开始，每年一届，一般安排在10月份的最后一??周六举行。竞赛由中国数学会普及工作委员会举办，不同高校承办。截止2016年，该赛事已成功举办了8届，来自全国几百所本科院校的数十万学生参加了该项竞赛，成为影响力最大、参赛人数最多的高校学科竞赛之一。
1.4 赛事作用
竞赛试题一般都具有综合性、技巧性、探究性、开放性等特点，通常需要采用非常规的解题方法，答案可能也并不唯一。因此，竞赛更能激发学生的学习兴趣和创新意识，尝试进行多角度、全方位的思考，推动思维创新。学生在参赛的过程中，会系统的梳理所学的数学知识与解题技巧，加深对数学概念、定理的本质的理解和认识，逻辑思维、抽象思维、发散思维和创新思维都会有一定地提高，有利于学生良好数学素养的形成。
2 赛事组织
2.1 寻求政策支持
学校政策支持是竞赛培训工作长期开展的重要保障。我校非常重视包括学科竞赛在内的第二课堂建设，将第二课堂活动纳入人才培养方案，制定第二课堂活动学分管理办法及指导教师奖励办法等措施。在学校第二课堂专项活动经费的支持下，各系积极组织师资力量，培训学生参加各类学科专业竞赛。包括大学生数学竞赛、数学建模竞赛在内的数学学科竞赛培训工作也得到了全面开展。
2.2 建设辅导团队
辅导教师团队是竞赛培训工作顺利实施的前提条件。大学生数学竞赛培训不仅需要辅导教师具有高等数学相关课程的教学经验，还需要投入大量的精力，查阅课外参考书、各省市及其他国家的数学竞赛试题等，进行试题分析和教法研究。此外，由于竞赛培训必须在学生的课余时间进行，一般都安排在晚上、周末或者假期，需要辅导教师牺牲大量休息时间，具有奉献精神。我校数理系于2010年成立了数学竞赛辅导团队，目前共有6位辅导教师。
2.3 建设交流平台
由于非数学专业类的参赛学生都是来自不同的专业、不同的年级，因此在宣传动员、联系沟通、组织管理的难度上比数学专业类的学生要困难很多。为此，我们在系部网站首页、我校大学数学创新平台首页都设置了竞赛天地版块，对大学数学竞赛的参赛获奖情况进行宣传报道。此外，我们还专门建立了合肥学院数学竞赛交流群，供有兴趣或参赛意向的同学在线讨论交流，教师负责引导答疑。截止目前，该群已有成员近400人，日常交流活跃。
2.4 选拔参赛学生
为了在各专业中选拔优秀学生参赛，我校每年6月份，在大一新生高等数学课程结束后举行一次校级数学竞赛暨全国大学生数学竞赛选拔赛。除了海报等常规宣传外，我们积极动员所有高等数学课程的授课教师，在授课班级内进行校赛的宣传与动员工作，鼓励学有余力的同学参赛。实践证明，举办校赛能够很好的激励大学生学习高等数学的热情。除校赛选拔外，我们还欢迎高等数学授课教师以个人推荐的方式推荐优秀的学生参加竞赛培训。
3 培训实践
3.1 时间安排
由于我校大二年级的学生暑期要全部离校开展认知实习活动，所以暑期没有安排竞赛培训活动。校赛获奖名单确定后，我们会向获奖学生推荐部分竞赛辅导书及历年全国竞赛真题，要求其暑期自主学习。9月初，根据学习情况正式确定参赛名单并开始竞赛培训。培训时间一般是8周，每周3-4次课，一般安排在晚上和周末。据了解，很多学校数学竞赛实行暑期集中培训，可能更有利于提高竞赛成绩，但这涉及到暑期学生的住宿及安全管理问题，需要学校的政策支持。
3.2 培训方式
集中上课培训是常见的竞赛辅导方式。由于参赛学生来自不同的年级，数学基础差别较大，集中授课容易导致部分基础较弱的学生很难消化、被动接受，得不到有效的思维训练，学习积极性受阻；而一些基础较好的学生又觉得“吃不饱”，学习效率难以提高。为此，我校采取如下方式分层培训：
3.3 培训内容
对于初次参赛的大二学生，培训内容的难度应该由浅入深，分阶段逐步推进。我校集中培训环节安排如下：首先，对高等数学上下册的知识点进行复习巩固、融会贯通，让学生对知识点之间的内在联系有更深刻的认识；其次，讲解近十年考研数学一中的部分较难试题，既强化数学基础，也为有意向考研的同学提前复习准备；再次，详细讲解全国大学生数学竞赛预赛与决赛的部分真题，归纳总结历届考点的范围及难易程度；最后，精选各省市的一些其他竞赛真题或模拟题，让学生了解知识点的不同命题方式。
对于有参赛经历或正在准备考研的高年级学生，集中上课培训对竞赛成绩提升的效果并不明显。不仅如此，集中上课需要占用学生较多的课余时间，一些准备考研的优秀学生可能会放弃参赛。由于已经具备了一定的数学基础，对于这部分学生，建议成立讨论小组，利用在线交流平台开展讨论、交流，让同学们自主分析试题、试卷特点，围绕考点和一些典型试题，探索一题多解和变形推广，教师给予适当的指导，鼓励学生理论创新。
要想取得理想的竞赛成绩，培训课后适当的试题训练是必不可少的。除了推荐复习参考书，让学生自主学习外，我们还挑选部分试题，组成若干套竞赛辅导试卷，供学生分阶段练习，检验学习成效。赛前，我们还鼓励学生将自己复习过程中遇到的比较新颖的试题上传分享，引导大家在线交流发表自己的思路，既加深了学生对试题的理解，又培养了分析解决问题的能力。
3.4 培训成果
通过竞赛培训，我校在非数学专业类竞赛中取得了比较明显的进步，成绩逐年提高，近5年竞赛获奖人数如图2所示。
2016年，我校共39人参赛，20人获奖，获奖比例超过50%。截止目前，我校非数学专业类共有77人次获奖，其中一等奖18人，二等奖25人，三等奖34人，遍及化工、电子、机械、计算机等工科专业，获奖比例在省属高校中名列前茅。
4 存在问题
4.1 学生参与的积极性
受学业任务重、数学基础较弱、学习兴趣不足等多方面因素的影响，我校工科类专业学生起初参加校级数学竞赛的积极性并不高。我们尝试从多方面对学生的参赛积极性进行激励，包括通过高等数学授课老师动员和鼓励，提高获奖人数的比例，增设《高等数学选讲》选修课，认定第二课堂学分，提供考研内容辅导等方式。经过几年的努力，学生的参赛积极性有了较大的改善，参赛人数及优质生源增多，这也是参赛成绩逐年提高的一个重要影响因素。
4.2 学生的自主学习能力
众所周知，最优秀的学生往往并不是老师‘教’出来的。要想在竞赛中取得优异的成绩，学生还必须具备一定的自主学习和探究的能力。在当前高校扩招的大形势下，普通本科院校招到已具备良好自主学习能力的优秀生源的比例很低，需要在日常教学过程中不断的引导和强化。近年来，我校大力推行模块化教学改革，重点培养学生的实践应用和自主学习能力，学生的自主学习意识明显提升，自主学习能力逐步加强。
5 结语
关键词：大学生数学竞赛 竞赛共同体 培训模式
1.背景与问题描述
大学生数学竞赛最早出现在美国和前苏联，1981年我国各省市开始陆续组织大学生数学竞赛，有的中途中断，有的一直持续到现在。影响较大的有北京市、天津市、陕西省大学生数学竞赛，还有一些学校也举行数学竞赛，如南开大学、同济大学等。2009年中国数学学会普及委员会在全国范围内开始举办中国大学生数学竞赛，设立数学类和非数学类两组，分预赛和决赛两次进行。自从2009年全国大学生数学竞赛举办以来，关于竞赛效用、竞赛与教学及竞赛培训等方面的研究逐步展开。有些研究提出大学生数学竞赛活动是创新人才培养的重要载体之一，对培养大学生的数学思维能力、优化人才培养过程、提高教学质量、促进高校教育教学改革具有独特的和不可替代的作用[1]；有些研究指出大学生高等数学竞赛可以推动高校数学教学改革，促进教师业务水平提高[2]；有研究着眼于加强竞赛数学课程建设，提出以大学生数学竞赛为契机，不断增强数学教学实效性[3]；很多高校教师结合自身的竞赛培训工作探索与实践积累，针对普通高校大学生学习现状，设计了行之有效的培训组织模式，提出了相应的竞赛培训模式[4]。
上述研究对大学生数学竞赛发展和数学教学改革无疑有巨大的推动作用。本研究将在上述研究的基础上，从特训主体、客体及内容等方面讨论以下问题：（1）如何建设一支致力于大学生数学竞赛的教练团队；（2）竞赛共同体创建模式；（3）特训共同体学习模式研究；（4）特训内容与时间优化设计。
2.竞赛共同体的创建与活动
学习一向是心理学研究的主要课题，不同学派对学习定义各不相同，实际上是从不同侧面揭示学习本质。有人曾对学习提出这样的定义：学习是由经验引起的行为、能力和心理倾向比较持久的变化。这种经验不仅包括外部环境刺激和个体练习，更重要的包括个体与环境之间复杂的交互作用。由此可见，学习是学习者与学习环境不断相互作用的过程，这种相互作用包括三方面：（1）学习者和助学者之间；（2）学习者相互之间；（3）主体（学习者、助学者）与客体（学习内容）之间。由此不难看出学习活动是学习共同体性质的活动。在学校里创建各种学习共同体，不仅能提高学生在学科或专业方面的素养，更重要的是有利于推进高校学风建设。
2.1教练团队的创建
竞赛培训不同于一般教学，前者要求辅导教师对基本概念和基本定理及其联系有很透彻的领悟，要有敏锐的观察能力，要善于启发的学生思维，把握高等数学发展新动态。在组建教学团队之初，所有教师都没有辅导竞赛数学的经验，教练团队并不能一蹴而就。首先，自愿前提下，挑选一批长期从事高等数学教学的教师，有一定教学成果和敬业精神者优先。人数最好能固定，有退出再补充。经过三五年的发展，这个团队成员将基本稳定。
任何团队要获得成绩必须有一定的规章制度作为保证，如成员的权利与义务等，各学校有自己的做法，在此不做详细说明。主要介绍一下教练团队的活动，这些活动保证了竞赛教学质量。
2.1.1征订高等数学研究方面的期刊并让教师借阅；
2.1.2指定教材备课并编写教案、讲义或试卷；
2.1.3指定主题做教学报告并撰写教学论文；
2.1.4讨论课堂上传授赛点的时机、方式方法与度的把握等具体事宜；
2.1.5加强竞赛数学课程建设。
2.2引导学生加入共同体
创建大学生数学竞赛学习共同体，就是通过各种媒介创建一个由学习者、辅导教师共同构成的团体，彼此之间经常在学习过程中沟通、交流，分享各种学习资源，共同完成一定的学习任务，因而成员之间形成相互影响、相互促进的人际联系。实践经验表明，在引导学生加入共同体的过程中要重点把握六个原则：
2.2.1交流的互动性。学生与学生之间、教师与学生之间建立彼此信赖、和睦相处的融洽关系，每个人的感受是不仅从共同体中获益，而且为共同体作出贡献。
2.2.2参与的积极性。从“合法的边缘性参与者”逐步成为“共同体的核心成员”。这种成员间角色变化促进了身份重构，使其不再感觉自己只是被动的接受者，而是以主人翁的姿态参与学习。
2.2.3目标的一致性。拥有共同目标是共同体创建的基础，大学生数学竞赛共同体的共同目标就是提高数学分析与解题能力，在竞赛中取得好成绩。
2.2.4学习的开放性。这里每个成员都是知识的探索者、开发者，都要积极提出自己的观点，无论是对还是错，共同参与知识建构，加深对知识深层次理解。
2.2.5过程的渐进性。学习共同体的形成一定是一个渐进的过程，一般有三个时期――初级阶段、磨合阶段、成熟阶段，这个过程中成员从不了解到彼此认同，再到相互协作。
2.2.6训练的持久性。一个较高目标的实现必须把初期参与积极性转变成训练过程的持久性。国外已有研究表明，数学竞赛中那些最终成功的学生在很大概率上是训练最持久的学生。
经过几年理论和实践探索，共同体的创建过程及活动基本固定，大致进程包括：通过讲座或者课堂进行宣传全校范围内开设《竞赛数学》选修课举办校级数学竞赛（选拔赛）短期集训指导学生创建小组各小组展开研究型学习各小组报告及成果共享。
