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导数及其应用
第八讲
导数的综合应用
2019年
1.（2019全国Ⅲ文20）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当0
2.（2019北京文20）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．
3.（2019江苏19）设函数、为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；
（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．
4.（2019全国Ⅰ文20）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f
′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f
′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
5.（2019全国Ⅰ文20）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f
′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f
′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
6.（2019全国Ⅱ文21）已知函数.证明：
（1）存在唯一的极值点；
（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
7.（2019天津文20）设函数，其中.
（Ⅰ）若，讨论的单调性；
（Ⅱ）若，
（i）证明恰有两个零点
（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.
8.（2019浙江22）已知实数，设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）对任意均有
求的取值范围.
注：e=2.71828…为自然对数的底数.
2010-2018年
一、选择题
1．（2017新课标Ⅰ）已知函数，则
A．在单调递增
B．在单调递减
C．的图像关于直线对称
D．的图像关于点对称
2．（2017浙江）函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是
A．
B．
C．
D．
3．（2016年全国I卷）若函数在单调递增，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
4．（2016年四川）已知为函数的极小值点，则
A．4
B．2
C．4
D．2
5．（2014新课标2）若函数在区间（1，+）单调递增，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
6．（2014新课标2）设函数．若存在的极值点满足
，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
7．（2014辽宁）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是
A．
B．
C．
D．
8．（2014湖南）若，则
A．
B．
C．
D．
9．（2014江西）在同一直角坐标系中，函数与
的图像不可能的是
10．（2013新课标2）已知函数，下列结论中错误的是
A．
B．函数的图像是中心对称图形
C．若是的极小值点，则在区间单调递减
D．若是的极值点，则
11．（2013四川）设函数（，为自然对数的底数）．若存在使成立，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2013福建）设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是
A．
B．是的极小值点
C．是的极小值点
D．是的极小值点
13．（2012辽宁）函数的单调递减区间为
A．(－1,1]
B．(0,1]
C．
[1,+)
D．(0,+)
14．（2012陕西）设函数，则
A．为的极大值点
B．为的极小值点
C．为的极大值点
D．为的极小值点
15．（2011福建）若，，且函数在处有极值，则的最大值等于
A．2
B．3
C．6
D．9
16．（2011浙江）设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是
A
B
C
D
17．（2011湖南）设直线
与函数，
的图像分别交于点，则当达到最小时的值为
A．1
B．
C．
D．
二、填空题
18．（2016年天津）已知函数为的导函数，则的值为____.
19．（2015四川）已知函数，(其中)．对于不相等的实数，设＝，＝．现有如下命题：
①对于任意不相等的实数，都有；
②对于任意的及任意不相等的实数，都有；
③对于任意的，存在不相等的实数，使得；
④对于任意的，存在不相等的实数，使得．
其中真命题有___________(写出所有真命题的序号)．
20．（2011广东）函数在=______处取得极小值．
三、解答题
21．（2018全国卷Ⅰ）已知函数．
(1)设是的极值点．求，并求的单调区间；
(2)证明：当时，．
22．（2018浙江）已知函数．
(1)若在，()处导数相等，证明：；
(2)若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．
23．（2018全国卷Ⅱ）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)证明：只有一个零点．
24．（2018北京）设函数．
(1)若曲线在点处的切线斜率为0，求；
(2)若在处取得极小值，求的取值范围．
25．（2018全国卷Ⅲ）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，．
26．（2018江苏）记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
(1)证明：函数与不存在“点”；
(2)若函数与存在“点”，求实数a的值；
(3)已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．
27．（2018天津）设函数，其中，且是公差为的等差数列．
(1)若
求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求的极值；
(3)若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围．
28．（2017新课标Ⅰ）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
29．（2017新课标Ⅱ）设函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求的取值范围．
30．（2017新课标Ⅲ）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明．
31．（2017天津）设，．已知函数，
．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点处有相同的切线，
（i）求证：在处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求的取值范围．
32．（2017浙江）已知函数．
（Ⅰ）求的导函数；
（Ⅱ）求在区间上的取值范围．
33．（2017江苏）已知函数有极值，且导函数
的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：；
34．（2016年全国I卷）已知函数.
(I)讨论的单调性；
(II)若有两个零点，求的取值范围.
35．（2016年全国II卷）已知函数.
(Ⅰ)当时，求曲线在处的切线方程；
(Ⅱ)若当时，，求的取值范围.
36．（2016年全国III卷）设函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）证明当时，；
（III）设，证明当时，．
37．（2015新课标2）已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围．
38．（2015新课标1）设函数．
（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；
（Ⅱ）证明：当时．
39．（2014新课标2）已知函数，曲线在点（0，2）处的切线与轴交点的横坐标为－2．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：当时，曲线与直线只有一个交点．
40．(2014山东）设函数（为常数，是自然对数的底数）
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．
41．（2014新课标1）设函数，
曲线处的切线斜率为0
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若存在使得，求的取值范围．
42．（2014山东）设函数
，其中为常数．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数的单调性．
43．(2014广东)
已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，试讨论是否存在，使得．
44．(2014江苏)已知函数，其中e是自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：是R上的偶函数；
（Ⅱ）若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）已知正数满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．
45．（2013新课标1）已知函数，曲线在点处切线方程为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值．
46．（2013新课标2）已知函数．
（Ⅰ）求的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围．
47．（2013福建）已知函数（，为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（Ⅱ）求函数的极值；
（Ⅲ）当的值时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值．
48．(2013天津)已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）
证明：对任意的，存在唯一的，使．
（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的关于的函数为，
证明：当时，有．
49．（2013江苏）设函数，，其中为实数．
（Ⅰ）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；
（Ⅱ）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论．
50．（2012新课标）设函数f(x)=－ax－2
（Ⅰ）求的单调区间
（Ⅱ）若，为整数，且当时，，求的最大值
51．（2012安徽）设函数
（Ⅰ）求在内的最小值；
（Ⅱ）设曲线在点的切线方程为；求的值。
52．（2012山东）已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）设，其中是的导数．
证明：对任意的，．
53．（2011新课标）已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）证明：当，且时，．
54．（2011浙江）设函数，
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立．
注：为自然对数的底数．
55．（2011福建）已知，为常数，且，函数，（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）当时，是否同时存在实数和()，使得对每一个∈，直线与曲线（∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数和最大的实数；若不存在，说明理由．
56．（2010新课标）设函数
（Ⅰ）若=，求的单调区间；
（Ⅱ）若当≥0时≥0，求的取值范围．
专题三
导数及其应用
第八讲
导数的综合应用
答案部分
2019年
1.解析（1）．
令，得x=0或.
若a>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；
若a=0，在单调递增；
若a
（2）当时，由（1）知，在单调递减，在单调递增，所以在[0,1]的最小值为，最大值为或.于是
，
所以
当时，可知单调递减，所以的取值范围是.
当时，单调递减，所以的取值范围是.
综上，的取值范围是.
2.解析（Ⅰ）由得．
令，即，得或．
又，，
所以曲线的斜率为1的切线方程是与，
即与．
（Ⅱ）要证，即证，令．
由得．
令得或．
在区间上的情况如下：
所以的最小值为，最大值为．
故，即．
（Ⅲ），由（Ⅱ）知，，
当时，；
当时，；
当时，．
综上，当最小时，．
3.解析（1）因为，所以．
因为，所以，解得．
（2）因为，
所以，
从而．令，得或．
因为都在集合中，且，
所以．
此时，．
令，得或．列表如下：
1
+
–
+
极大值
极小值
所以的极小值为．
（3）因为，所以，
．
因为，所以，
则有2个不同的零点，设为．
由，得．
列表如下：
+
–
+
极大值
极小值
所以的极大值．
解法一：
．因此．
解法二：因为，所以．
当时，．
令，则．
令，得．列表如下：
+
–
极大值
所以当时，取得极大值，且是最大值，故．
所以当时，，因此．
4.解析
（1）设，则.
当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.
又，故在存在唯一零点.
所以在存在唯一零点.
（2）由题设知，可得a≤0.
由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.
又，所以，当时，.
又当时，ax≤0，故.
因此，a的取值范围是.
5.解析
（1）设，则.
当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.
又，故在存在唯一零点.
所以在存在唯一零点.
（2）由题设知，可得a≤0.
由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.
又，所以，当时，.
又当时，ax≤0，故.
因此，a的取值范围是.
6.解析（1）的定义域为（0，+）.
.
因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又，
，故存在唯一，使得.
又当时，，单调递减；当时，，单调递增.
因此，存在唯一的极值点.
（2）由（1）知，又，所以在内存在唯一根.
由得.
又，故是在的唯一根.
综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
7.解析（Ⅰ）由已知，的定义域为，且
，
因此当时，
，从而，所以在内单调递增.
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知.令，由，
可知在内单调递减，又，且
.
故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则.
当时，，所以在内单调递增；当时，，所以在内单调递减，因此是的唯一极值点.
令，则当时，，故在内单调递减，从而当时，
，所以.
从而，
又因为，所以在内有唯一零点.又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.
（ii）由题意，即，从而，即.因为当时，
，又，故，两边取对数，得，于是
，
整理得.
8.解析（Ⅰ）当时，．
，
所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）．
（Ⅱ）由，得．
当时，等价于．
令，则．
设
，则
．
（i）当
时，，则
．
记，则
.
故
1
+
单调递减
极小值
单调递增
所以，
．
因此，．
（ii）当时，．
令
，则，
故在上单调递增，所以．
由（i）得．
所以，．
因此．
由（i）（ii）得对任意，，
即对任意，均有．
综上所述，所求a的取值范围是．
2010-2018年
1．C【解析】由，知，在上单调递增，
在上单调递减，排除A、B；又，
所以的图象关于对称，C正确．
2．D【解析】由导函数的图象可知，的单调性是减增减增，排除
A、C；由导函数的图象可知，的极值点一负两正，所以D符合，选D．
3．C【解析】函数在单调递增，
等价于
在恒成立．
设，则在恒成立，
所以，解得．故选C．
4．D【解析】因为，令，，当
时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．所以．故选D．
5．D【解析】，，在（1，+）单调递增，
所以当
时，恒成立，即在（1，+）上恒成立，
，，所以，故选D．
6．C【解析】由正弦型函数的图象可知：的极值点满足，
则，从而得．所以不等式
，即为，变形得，其中．由题意，存在整数使得不等式成立．当且时，必有，此时不等式显然不能成立，故或，此时，不等式即为，解得或．
7．C【解析】当时，得，令，则，
，令，，
则，显然在上，，单调递减，所以，因此；同理，当时，得．由以上两种情况得．显然当时也成立，故实数的取值范围为．
8．C【解析】设，则，故在上有一个极值点，即在上不是单调函数，无法判断与的大小，故A、B错；构造函数，，故在上单调递减，所以，选C．
9．B【解析】当，可得图象D；记，
，
取，，令，得，易知的极小值为，又，所以，所以图象A有可能；同理取，可得图象C有可能；利用排除法可知选B．
10．C【解析】若则有，所以A正确。由得
，因为函数的对称中心为（0,0），
所以的对称中心为,所以B正确。由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间（∞,
）单调递减是错误的，D正确。选C.
11．A【解析】若在上恒成立，则，
则在上无解；
同理若在上恒成立，则。
所以在上有解等价于在上有解，
即，
令，所以，
所以．
12．D【解析】A．，错误．是的极大值点，并不是最大值点；B．是的极小值点．错误．相当于关于y轴的对称图像，故应是的极大值点；C．是的极小值点．错误．相当于关于轴的对称图像，故应是的极小值点．跟没有关系；D．是的极小值点．正确．相当于先关于y轴的对称，再关于轴的对称图像．故D正确．
13．B【解析】,,由，解得，又，
故选B．
14．D【解析】，，恒成立，令，则
当时，，函数单调减，当时，，函数单调增，
则为的极小值点，故选D．
15．D【解析】，由，即，得．
由，，所以，当且仅当时取等号．选D．
16．D【解析】若为函数的一个极值点，则易知，选项A，B的函数为，，为函数的一个极值点满足条件；选项C中，对称轴，且开口向下，
，，也满足条件；选项D中，对称轴
，且开口向上，，，与题图矛盾，故选D．
17．D【解析】由题不妨令，则，
令解得，因时，，当时，
，所以当时，达到最小．即．
18．3【解析】．
19．①④【解析】因为在上是单调递增的，所以对于不相等的实数，恒成立，①正确；因为，所以
=，正负不定，②错误；由，整理得．
令函数，则，
令，则，又，
，从而存在，使得，
于是有极小值，所以存
在，使得，此时在上单调递增，故不存在不相等的实数，使得，不满足题意，③错误；由得，即，设，
则，所以在上单调递增的，且当时，
，当时，，所以对于任意的，与的图象一定有交点，④正确．
20．2【解析】由题意，令得或．
因或时，，时，．
时取得极小值．
21．【解析】(1)的定义域为，．
由题设知，，所以．
从而，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
(2)当时，．
设，则
当时，；当时，．所以是的最小值点．
故当时，．
因此，当时，．
22．【解析】(1)函数的导函数，
由得，
因为，所以．
由基本不等式得．
因为，所以．
由题意得．
设，
则，
所以
16
+
所以在上单调递增，
故，
即．
(2)令，，则
，
所以，存在使，
所以，对于任意的及，直线与曲线有公共点．
由得．
设，
则，
其中．
由(1)可知，又，
故，
所以，即函数在上单调递减，因此方程至多1个实根．
综上，当时，对于任意，直线与曲线有唯一公共点．
23．【解析】(1)当时，，．
令解得或．
当时，；
当时，．
故在，单调递增，在单调递减．
(2)由于，所以等价于．
设，则，
仅当时，所以在单调递增．
故至多有一个零点，从而至多有一个零点．
又，，
故有一个零点．
综上，只有一个零点．
24．【解析】(1)因为，
所以．
，
由题设知，即，解得．
(2)方法一：由(1)得．
若，则当时，；
当时，．
所以在处取得极小值．
若，则当时，，
所以．
所以1不是的极小值点．
综上可知，的取值范围是．
方法二：．
(ⅰ)当时，令得．
随的变化情况如下表：
1
+
−
↗
极大值
在处取得极大值，不合题意．
(ⅱ)当时，令得．
①当，即时，，
在上单调递增，
无极值，不合题意．
②当，即时，随的变化情况如下表：
1
+
−
+
↗
极大值
极小值
↗
在处取得极大值，不合题意．
③当，即时，随的变化情况如下表：
+
−
+
↗
极大值
极小值
↗
在处取得极小值，即满足题意．
(ⅲ)当时，令得．
随的变化情况如下表：
−
+
−
极小值
↗
极大值
在处取得极大值，不合题意．
综上所述，的取值范围为．
25．【解析】(1)，．
因此曲线在点处的切线方程是．
(2)当时，．
令，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以．因此．
26．【解析】(1)函数，，则，．
由且，得，此方程组无解，
因此，与不存在“点”．
(2)函数，，
则．
设为与的“点”，由且，得
，即，（*）
得，即，则．
当时，满足方程组（*），即为与的“点”．
因此，的值为．
(3)对任意，设．
因为，且的图象是不间断的，
所以存在，使得．令，则．
函数，
则．
由且，得
，即，（**）
此时，满足方程组（**），即是函数与在区间内的一个“点”．
因此，对任意，存在，使函数与在区间内存在“点”．
27．【解析】(1)由已知，可得，故，
因此，=−1，
又因为曲线在点处的切线方程为，
故所求切线方程为．
(2)由已知可得
．
故．令=0，解得，或．
当变化时，，的变化如下表：
(−∞，
)
(，
)
(，
+∞)
+
−
+
↗
极大值
极小值
↗
所以函数的极大值为；函数小值为．
(3)曲线与直线有三个互异的公共点等价于关于的方程有三个互异的实数解，
令，可得．
设函数，则曲线与直线有三个互异的公共点等价于函数有三个零点．
．
当时，，这时在R上单调递增，不合题意．
当时，=0，解得，．
易得，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极大值=>0．
的极小值=−．
若，由的单调性可知函数至多有两个零点，不合题意．
若即，
也就是，此时，
且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意．
所以的取值范围是
28．【解析】（1）函数的定义域为，
，
①若，则，在单调递增．
②若，则由得．
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增．
③若，则由得．
当时，；当时，，
故在单调递减，在单调递增．
（2）①若，则，所以．
②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为
．从而当且仅当，即时，．
③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为
．
从而当且仅当，即时．
综上，的取值范围为．
29．【解析】（1）
令得
，．
当时，；当时，；当时，．
所以在，单调递减，在单调递增．
（2）．
当时，设函数，，因此在单调递减，而，故，所以
．
当时，设函数，，所以在单调递增，而，故．
当时，，，
取，则，，
故．
当时,取,则,．
综上，的取值范围是．
30．【解析】（1）的定义域为，．
若，则当时，，故在单调递增.
若，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为
．
所以等价于，
即．
设，则．
当时，；当时，．所以在单调递增，在单调递减.故当时，取得最大值，最大值为．所以当时，．从而当时，，即．
31．【解析】（I）由，可得
，
令，解得，或．由，得．
当变化时，，的变化情况如下表：
所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（II）（i）因为，由题意知，
所以，解得．
所以，在处的导数等于0．
（ii）因为，，由，可得．
又因为，，故为的极大值点，由（I）知．
另一方面，由于，故，
由（I）知在内单调递增，在内单调递减，
故当时，在上恒成立，
从而在上恒成立．
由，得，．
令，，所以，
令，解得（舍去），或．
因为，，，故的值域为．
所以，的取值范围是．
32．【解析】（Ⅰ）因为，
所以
（Ⅱ）由
解得或．
因为
x
（，1）
1
（1，）
（，）
-
+
-
↗
又，
所以在区间上的取值范围是．
33．【解析】(1)由,得.
当时，有极小值.
因为的极值点是的零点.
所以，又，故.
因为有极值，故有实根，从而，即.
时，，故在R上是增函数，没有极值；
时，有两个相异的实根，.
列表如下
+
–
+
极大值
极小值
故的极值点是.
从而，
因此，定义域为.
（2）由（1）知，．
设，则．
当时，，所以在上单调递增．
因为，所以，故，即．
因此．
（3）由（1）知,的极值点是，且，.
从而
记，所有极值之和为，
因为的极值为，所以，.
因为，于是在上单调递减.
因为，于是，故.
因此的取值范围为.
34．【解析】
(Ⅰ)
(i)设，则当时，；当时，.
所以在单调递减，在单调递增.
(ii)设，由得或．
①若，则，所以在单调递增.
②若，则,故当时，；
当时，，所以在单调递增，在单调递减.
③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.
(Ⅱ)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.
又，取b满足b
则，所以有两个零点.
(ii)设a=0，则，所以有一个零点.
(iii)设a
又当时，
综上，的取值范围为.
35．【解析】（Ⅰ）的定义域为.当时，
，
曲线在处的切线方程为
（Ⅱ）当时，等价于
令，则
，
（i）当，时，，
故在上单调递增，因此；
（ii）当时，令得
，
由和得，故当时，，在单调递减，因此.
综上，的取值范围是
36．【解析】（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为.
所以当时，.
故当时，，，即.
（Ⅲ）由题设，设，则，
令，解得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
由（Ⅱ）知，，故，又，
故当时，.
所以当时，.
37【解析】（Ⅰ）的定义域为，．
若，则，所以在单调递增．
若，则当时，；当时，．所以在单调递增，在单调递减．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在上无最大值；当时，在取得最大值，最大值为．
因此等价于．
令，则在单调递增，．
于是，当时，；当时，．
因此的取值范围是．
38．【解析】（Ⅰ）的定义域为，．
当时,，没有零点；
当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又，当满足且时，，故当时，存在唯一零点．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，；
当时，．
故在单调递减，在单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为．
由于，所以．
故当时，．
39．【解析】（Ⅰ）=，.
曲线在点（0,2）处的切线方程为．
由题设得，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设，由题设知．
当≤0时，，单调递增，，所以=0在有唯一实根．
当时，令，则．
，在单调递减，在单调递增，
所以，所以在没有实根.
综上，=0在R有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点．
40．【解析】（Ⅰ）函数的定义域为
由可得
所以当时，，函数单调递减，
所以当时，，函数单调递增，
所以
的单调递减区间为，的单调递增区间为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，在内单调递减，
故在内不存在极值点；
当时，设函数，，因此．
当时，时，函数单调递增
故在内不存在两个极值点；
当时，
函数在内存在两个极值点
当且仅当，解得
综上函数在内存在两个极值点时，的取值范围为．
41．【解析】（Ⅰ），
由题设知，解得．
（Ⅱ）的定义域为，由（Ⅰ）知，，
（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，
即，解得．
（ii）若，则，故当时，；
当时，，在单调递减，在单调递增．所以，存在，使得的充要条件为，
而，所以不合题意．
（iii）若，则．
综上，的取值范围是．
42．【解析】（Ⅰ）由题意知时，，
此时，可得，又，
所以曲线在处的切线方程为．
（Ⅱ）函数的定义域为，
，
当时，，函数在上单调递增，
当时，令，
由于，
①当时，，
，函数在上单调递减，
②当时，，，函数在上单调递减，
③当时，，
设是函数的两个零点，
则，，
由
，
所以时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减，
综上可知，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递增．
43．【解析】（Ⅰ）
（Ⅱ）
44．【解析】（Ⅰ），，是上的偶函数
（Ⅱ）由题意，，即
，，即对恒成立
令，则对任意恒成立
，当且仅当时等号成立
（Ⅲ），当时，在上单调增
令，
，，即在上单调减
存在，使得，，即
设，则
当时，，单调增；
当时，，单调减
因此至多有两个零点，而
当时，，；
当时，，；
当时，，．
45．【解析】．由已知得，，
故，，从而；
（Ⅱ）
由（I）知，
令得，或．
从而当时，；当时，．
故在，单调递增，在单调递减．
当时，函数取得极大值，极大值为．
46．【解析】（Ⅰ）的定义域为，
①
当或时，；当时，
所以在，单调递减，在单调递增．
故当时，取得极小值，极小值为；当时，取得极大值，极大值为．
（Ⅱ）设切点为，则的方程为
所以在轴上的截距为
由已知和①得．
令，则当时，的取值范围为；当时，的取值范围是．
所以当时，的取值范围是．
综上，在轴上截距的取值范围．
47．【解析】（Ⅰ）由，得．
又曲线在点处的切线平行于轴，
得，即，解得．
（Ⅱ），
①当时，，为上的增函数，所以函数无极值．
②当时，令，得，．
，；，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，且极小值为，无极大值．
综上，当时，函数无极小值；
当，在处取得极小值，无极大值．
（Ⅲ）当时，
令，
则直线：与曲线没有公共点，
等价于方程在上没有实数解．
假设，此时，，
又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故．
又时，，知方程在上没有实数解．
所以的最大值为．
解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．
（Ⅲ）当时，．
直线：与曲线没有公共点，
等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：
（*）
在上没有实数解．
①当时，方程（*）可化为，在上没有实数解．
②当时，方程（*）化为．
令，则有．
令，得，
当变化时，的变化情况如下表：
当时，，同时当趋于时，趋于，
从而的取值范围为．
所以当时，方程（*）无实数解，解得的取值范围是．
综上，得的最大值为．
48．【解析】（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2xln
x＋x＝x(2ln
x＋1)，令f′(x)＝0，得.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
－
＋
f(x)
极小值
所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.
（Ⅱ）证明：当0＜x≤1时，f(x)≤0.
设t＞0，令h(x)＝f(x)－t，x∈[1，＋∞)．
由(1)知，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．
h(1)＝－t＜0，h(et)＝e2tln
et－t＝t(e2t－1)＞0.
故存在唯一的s∈(1，＋∞)，使得t＝f(s)成立．
（Ⅲ）证明：因为s＝g(t)，由(2)知，t＝f(s)，且s＞1，从而
，
其中u＝ln
s.
要使成立，只需.
当t＞e2时，若s＝g(t)≤e，则由f(s)的单调性，有t＝f(s)≤f(e)＝e2，矛盾．
所以s＞e，即u＞1，从而ln
u＞0成立．
另一方面，令F(u)＝，u＞1.F′(u)＝，令F′(u)＝0，得u＝2.
当1＜u＜2时，F′(u)＞0；当u＞2时，F′(u)＜0.
故对u＞1，F(u)≤F(2)＜0.
因此成立．
综上，当t＞e2时，有.
49．【解析】：（Ⅰ）由题在上恒成立，在上恒成立，；
若，则在上恒成立，在上递增，
在上没有最小值，，
当时，，由于在递增，时，递增，时，递减，从而为的可疑极小点，由题，，
综上的取值范围为．
（Ⅱ）由题在上恒成立，
在上恒成立，，
由得
，
令，则，
当时，，递增，
当时，，递减，
时，最大值为，
又时，，
时，，
据此作出的大致图象，由图知：
当或时，的零点有1个,
当时，的零点有2个,
50．【解析】（Ⅰ）的定义域为，．
若，则，所以在单调递增．
若，则当时，当，，所以
在单调递减，在单调递增．
（Ⅱ）
由于，所以(x－k)
f´(x)+x+1=．
故当时，(x－k)
f´(x)+x+1>0等价于
（）
①
令，则
由（Ⅰ）知，函数在单调递增．而，所以在存在唯一的零点，故在存在唯一的零点，设此零点为，则．当时，；当时，，所以在的最小值为，又由，可得，所以
故①等价于，故整数的最大值为2．
51．【解析】（Ⅰ）设；则
①当时，在上是增函数
得：当时，的最小值为
②当时，
当且仅当时，的最小值为
（Ⅱ）
由题意得：
52．【解析】（Ⅰ）由
=
可得，而，
即，解得；
（Ⅱ），令可得，
当时，；当时，．
于是在区间内为增函数；在内为减函数．
（Ⅲ）
=
因此对任意的，等价于
设
所以，
因此时，，时，
所以，故．
设，则，
，，，，即
，对任意的，．
53．【解析】（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故
即,解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
考虑函数，则
所以当时，故
当时，
当时，
从而当
54．【解析】（Ⅰ）因为
所以
由于，所以的增区间为，减区间为
（Ⅱ）【证明】：由题意得，
由（Ⅰ）知内单调递增，
要使恒成立，
只要，解得
55．【解析】（Ⅰ）由
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得从而
，故：
（1）当；
（2）当
综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为（0，1）；
当时，函数的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为。
（Ⅲ）当时，
由（Ⅱ）可得，当在区间内变化时，的变化情况如下表：
－
+
单调递减
极小值1
单调递增
2
又的值域为[1，2]．
由题意可得，若，则对每一个，直线与曲线
都有公共点．并且对每一个，
直线与曲线都没有公共点．
综上，当时，存在最小的实数=1，最大的实数=2，使得对每一个，直线与曲线都有公共点．
56．【解析】（Ⅰ）时，，
。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在（1，0）单调减少．
（Ⅱ）。令，则。若，则当时，，为减函数，而，从而当x≥0时≥0，即≥0．
若，则当时，，为减函数，而，
数列
第十八讲
数列的综合应用
一、选择题
1．(2018浙江)已知，，，成等比数列，且．若，则
A．，
B．，
C．，
D．，
2．(2015湖北)设，．若p：成等比数列；q：，则
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
3．（2014新课标2）等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则的前项和=
A．
B．
C．
D．
4．（2014浙江）设函数，，
，记
，则
A．
B．
C．
D．
二、填空题
5．(2018江苏)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为
．
6．（2015浙江）已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则
，
．
7．（2013重庆）已知是等差数列，，公差，为其前项和，若成等比数列，则．
8．（2011江苏）设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是________．
三、解答题
9．（2018江苏）设是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列．
(1)设，若对均成立，求的取值范围；
(2)若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．
10*．（2017浙江）已知数列满足：，．
证明：当时
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
*根据亲所在地区选用，新课标地区（文科）不考．
11．（2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足
对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．
（1）证明：等差数列是“数列”；
（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．
12．（2016年四川）已知数列的首项为1，为数列的前项和，，其中，
(Ⅰ)若成等差数列，求数列的通项公式；
(Ⅱ)设双曲线的离心率为，且，求．
13．（2016年浙江）设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.
（I）求通项公式；
（II）求数列{}的前项和.
14．(2015重庆)已知等差数列满足，前3项和．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列满足，，求前项和．
15．（2015天津）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设，，求数列的前项和．
16．(2015四川)设数列（=1,2,3…）的前项和满足，且，+1，成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求．
17．（2015湖北）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）当时，记=，求数列的前项和．
18．(2014山东）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令=求数列的前项和．
19．（2014浙江）已知数列和满足．若为等比数列，且
（Ⅰ）求与；
（Ⅱ）设．记数列的前项和为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求正整数，使得对任意，均有．
20．（2014湖南）已知数列{}满足
（Ⅰ）若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；
（Ⅱ）若，且{}是递增数列，{}是递减数列，求数列{}的通项公式．
21．（2014四川）设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）．
（Ⅰ）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；
（Ⅱ）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列
的前项和．
22．(2014江苏)设数列的前项和为．若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H数列”．
（Ⅰ）若数列的前n项和(N)，证明:
是“H数列”；
（Ⅱ）设
是等差数列，其首项，公差．若
是“H数列”，求的值；
（Ⅲ）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得(N)成立．
23．（2013安徽）设数列满足，，且对任意，函数
，满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
24．（2013广东）设各项均为正数的数列的前项和为，满足
且构成等比数列．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数，有．
25．（2013湖北）已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，
且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；
若不存在，说明理由．
26．（2013江苏）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和.
记，，其中为实数.
（Ⅰ）
若，且，，成等比数列，证明：；
（Ⅱ）
若是等差数列，证明：．
27．
(2012山东)已知等差数列的前5项和为105，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和．
28．（2012湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元．
（Ⅰ）用表示，并写出与的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过（≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金的值（用表示）．
29．（2012浙江）已知数列的前项和为，且=，，数列满足，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的前项和．
30．（2012山东）在等差数列中，，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）对任意的，将数列中落入区间内的项的个数为，求数列的前项和．
31．（2012江苏）已知各项均为正数的两个数列和满足：．
（Ⅰ）设，求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）设，且是等比数列，求和的值．
32．（2011天津）已知数列满足，
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，证明是等比数列；
（Ⅲ）设为的前项和，证明
33．（2011天津）已知数列与满足：，
，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，证明：是等比数列；
（Ⅲ）设证明：．
34．（2010新课标）设数列满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和．
35．（2010湖南）给出下面的数表序列：
其中表（=1,2,3
）有行，第1行的个数是1，3，5，，21，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
（Ⅰ）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表（≥3）（不要求证明）；
（Ⅱ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，，记此数列为，求和：
．
专题六
数列
第十八讲
数列的综合应用
答案部分
1．B【解析】解法一
因为()，所以
，所以，又，所以等比数列的公比．
若，则，
而，所以，
与矛盾，
所以，所以，，
所以，，故选B．
解法二
因为，，
所以，则，
又，所以等比数列的公比．
若，则，
而，所以
与矛盾，
所以，所以，，
所以，，故选B．
2．A【解析】对命题p：成等比数列，则公比且；
对命题，
①当时，成立；
②当时，根据柯西不等式，
等式成立，
则，所以成等比数列，
所以是的充分条件，但不是的必要条件．
3．A【解析】，，成等比数列，，即，解得，所以．
4．B【解析】在上单调递增，可得，
，…，，
=
在上单调递增，在单调递减
，…，，，
，…，
==
=
在，上单调递增，在，上单调递减，可得
因此．
5．27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列
中，前面有16个正奇数，即，．当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；……；当时，=
441
+62=
503
+62=546>=540，符合题意．故使得成立的的最小值为27．
6．【解析】由题可得，，故有，又因为，即，所以．
7．64【解析】由且成等比数列，得，解得，故．
8．【解析】设，则，由于，所以，故的最小值是．
因此，所以．
9．【解析】(1)由条件知：,．
因为对=1，2，3，4均成立，
即对=1，2，3，4均成立，
即11，13，35，79，得．
因此，的取值范围为．
(2)由条件知：,．
若存在，使得(=2，3，···，+1)成立，
即(=2，3，···，+1)，
即当时，满足．
因为，则，
从而，，对均成立．
因此，取=0时，对均成立．
下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．
①当时，，
当时，有，从而．
因此，当时，数列单调递增，
故数列的最大值为．
②设，当时，，
所以单调递减，从而．
当时，，
因此，当时，数列单调递减，
故数列的最小值为．
因此，的取值范围为．
10．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：
当时，
假设时，，
那么时，若，则，矛盾，故．
因此
所以
因此
（Ⅱ）由得
记函数
函数在上单调递增，所以=0，
因此
故
（Ⅲ）因为
所以得
由得
所以
故
综上，
．
11．【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，
从而，当时，
，
所以，
因此等差数列是“数列”.
（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，
当时，，①
当时，.②
由①知，，③
，④
将③④代入②，得，其中，
所以是等差数列，设其公差为.
在①中，取，则，所以，
在①中，取，则，所以，
所以数列是等差数列.
12．【解析】（Ⅰ）由已知，
两式相减得到.
又由得到，故对所有都成立.
所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.
从而.
由成等差数列，可得，所以，故.
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.
所以双曲线的离心率.
由解得.所以，
13．【解析】（1）由题意得：，则，
又当时，由，
得，
所以，数列的通项公式为.
（2）设，，.
当时，由于，故.
设数列的前项和为，则.
当时，，
所以，.
14．【解析】（Ⅰ）设的公差为，则由已知条件得
化简得
解得，．
故通项公式，即．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
设的公比为，则，从而．
故的前项和
．
15．【解析】（Ⅰ）设数列的公比为q，数列的公差为d，由题意，由已知，有
消去d，整数得，又因为＞0，解得，所以的通项公式为，数列的通项公式为.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）有
,设的前n项和为，则
，
，
两式相减得，
所以．
16．【解析】(Ⅰ)
由已知，有
=(n≥2)，即(n≥2)，
从而，．
又因为，+1，成等差数列，即＋＝2(＋1)，
所以＋4＝2(2＋1)，解得＝2．
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列，故．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，
所以＝．
17．【解析】（Ⅰ）由题意有，
即，
解得
或
故或
（Ⅱ）由，知，，故，于是
，
①
．
②
①－②可得
，
故．
18．【解析】（Ⅰ）
解得
（Ⅱ），
当为偶数时
．
19．【解析】（Ⅰ）由题意，，，
知，又由，得公比（舍去），
所以数列的通项公式为，
所以，
故数列的通项公式为，；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，，
所以；
（ii）因为；
当时，，
而，
得，
所以当时，，
综上对任意恒有，故．
20．【解析】（I）因为是递增数列，所以。而，
因此又成等差数列，所以，因而，
解得
当时，，这与是递增数列矛盾。故.
（Ⅱ）由于是递增数列，因而，于是
①
但，所以
.
②
又①，②知，，因此
③
因为是递减数列，同理可得，故
④
由③，④即知，。
于是
.
故数列的通项公式为．
21．【解析】（Ⅰ）点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差为，所以
因为点在函数的图象上，所以，所以
又，所以
（Ⅱ）由，函数的图象在点处的切线方程为
所以切线在轴上的截距为，从而，故
从而，，
所以
故．
22．【解析】（Ⅰ）当时，
当时，
时，，当时，，是“H数列”．
（Ⅱ）
对，使，即
取得，
，，又，，．
（Ⅲ）设的公差为d
令，对，
，对，
则，且为等差数列
的前n项和，令，则
当时；
当时；
当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，
因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”．
的前n项和，令，则
对，是非负偶数，
即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”
因此命题得证．
23．【解析】（Ⅰ）由，
所以，
是等差数列.
而，，，，
（Ⅱ）
24．【解析】（Ⅰ）当时，，
（Ⅱ）当时，，
,
当时，是公差的等差数列.
构成等比数列，，，
解得．
由（Ⅰ）可知，
是首项,公差的等差数列.
数列的通项公式为.
（Ⅲ）
25．【解析】（Ⅰ）设数列的公比为，则，.
由题意得
即
解得
故数列的通项公式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有
.
若存在，使得，则，即
当为偶数时，，
上式不成立；
当为奇数时，，即，则.
综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的n的集合为．
26．【证明】（Ⅰ）若，则，，又由题，
，，
是等差数列，首项为，公差为，，又成等比数列，
，，，，，，
，（）．
（Ⅱ）由题，，，若是等差数列，则可设，是常数，关于恒成立．整理得：
关于恒成立．，
．
27．【解析】（Ⅰ）由已知得：
解得,
所以通项公式为.
（Ⅱ）由，得，即.
，
是公比为49的等比数列，
．
28．【解析】（Ⅰ）由题意得，
，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
．
整理得
．
由题意，
解得．
故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为4000元．
29．【解析】（Ⅰ）由=，得
当=1时，；
当2时，，.
由，得，.
（Ⅱ）由（1）知，
所以，
，
，．
30．【解析】：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，则
，，
于是，即.
（Ⅱ）对任意m∈，，则，
即，而，由题意可知，
于是
，
即.
31．【解析】（Ⅰ）由题意知，
所以，从而
所以数列是以1为公差的等差数列．
（Ⅱ）．所以，
从而
(*)
设等比数列的公比为，由知下证．
若，则．故当，，与（*）矛盾；
若，则．故当，，与（*）矛盾；
综上：故，所以．
又，所以是以公比为的等比数列，若，
则，于是，又由，得，
所以中至少有两项相同，矛盾．所以，从而，
所以．
32．【解析】（Ⅰ）由，可得
又，
当
当
（Ⅱ）证明：对任意
①
②
②-①，得
所以是等比数列。
（Ⅲ）证明：，由（Ⅱ）知，当时，
故对任意
由①得
因此，
于是，
故
33．【解析】（Ⅰ）由可得
又
当时，，由，，可得；
当时，，可得；
当时，，可得；
（Ⅱ）证明：对任意
①
②
③
②—③，得
④
将④代入①，可得
即
又
因此是等比数列.
（Ⅲ）证明：由（II）可得，
于是，对任意，有
将以上各式相加，得
即，
此式当k=1时也成立.由④式得
从而
所以，对任意，
对于=1，不等式显然成立.
所以，对任意
34．【解析】（Ⅰ）由已知，当n≥1时，
．而
所以数列{}的通项公式为．
（Ⅱ）由知
①
从而
②
①-②得
．
即
．
35．【解析】（Ⅰ）表4为
1
3
5
7
4
8
12
12
20
32
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别为4,8,16,32.
它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将结这一论推广到表（≥3），即表各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列.
将这一结论推广到表，即表各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列．
简证如下（对考生不作要求）
首先，表的第1行1，3，5，…，是等差数列，其平均数为；其次，若表的第行，，…，是等差数列，则它的第行，，…，也是等差数列．由等差数列的性质知，表的第行中的数的平均数与行中的数的平均数分别是
，．
由此可知，表各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）表第1行是1,3,5，…，2-1，其平均数是
由（Ⅰ）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列（从而它的第行中的数的平均数是），于是表中最后一行的唯一一个数为.因此
．(=1,2,3,
…,
一、考后反思概念的界定
作为一个日常概念，人们容易将“反思”等同于“反省”，在这个意义上，反思就是对自己的思想、心理感受的思考，对自己体验过的东西的理解或描述.反思是一种思维的形式，是个体在头脑中对问题进行反复、严肃、执着的沉思.考后反思是学生以自己的考试过程为思考对象，对自己所做出的行为、决策以及由此所产生的结果进行审视和分析的过程，是一种通过提高学生的自我觉察水平来促进能力发展的途径.
二、考后反思的理论基础
从认识论的角度看，人的有目的的实践活动都是受知识、观念支配的.学习反思亦是主观见之于客观的实践活动，它遵循辩证唯物主义“实践――认识――再实践――再认识”的认知规律.如果不反思实践活动，实践者可能不会清晰地认识其实际所使用的理论知识及其行为的合理性.建构主义认为知识的学习并非是对客观世界的被动反映，而是学习者能动选择、主动建构的过程.建构主义指出学习的实质是学习者积极主动地进行意义建构的过程，意义建构是双向的.考后反思是学生积极主动地进行意义建构的过程，是学生对考试的结果进行审视和分析后再建构，以期待下一次能考出更好成绩，特别期待高考能考出理想成绩.
三、指导学生进行考后反思
进入高三总复习，学生要参加多次的综合性考试，如果他们能不断反思，就可以明确自己存在问题并加以克服，进一步提高学习成绩.《普通高中数学课程标准》（实验）指出：数学学习评价应关注学生能否不断反思自己的数学学习过程，并改进学习方法；教师要注意肯定学生在数学学习中的发展和进步、特点和优点.我们老师要充分利用综合性考试机会，指导学生进行考后反思，让他们总结复习的成功和不足之处.以下笔者结合自己的实践，谈谈如何指导学生进行考后反思，从反思考试心理、反思考试策略、反思失误原因三个方面进行指导.
（一）反思考试心理 心理学家王极盛曾对74名全国高考状元做过《各种因素在高考成功中的作用》调查，结果显示，考生们普遍认为，考场心态排在第一位，他们最大感慨就是考试中保持一颗平常心至关重要.我们可以这样指导学生对考试心理进行自我反思：考试是否紧张？是否正常发挥？按老师考前指导进行心理调节哪些对自己有效？再比如进行心理暗示：平常训练有素，考试心里有数，不要去想后果如何，专心做好每一题.高考紧张在所难免，适当紧张是件好事，可以提高答题的兴奋度，但是过度紧张会影响答题；可以通过深呼吸，把注意力集中在答题，安慰自己：大部分题我会做，没啥好怕的等.遇到一时想不起来，尽量多联想相关的知识点和方法，也可以先跳过去，做完后面题再来思考.
（二）反思考试策略 指导学生对考试策略反思，从以下几个方面进行：1.是否合理定位？2.考试时间是否合理安排？3.答题速度是否正常？有否被他人干忧？4.对选择题作答是否“小题大做”？是否用到特殊法？如排除法、代入验证法、特值检验法、直觉估算、最值要想到最特殊的位置、对抽象函数要具体化、一般问题要特殊化等.5.对填空题作答是否准确？是否留心答案唯一？求解析式时是否写上定义域？解不等式、求单调区间、求值域、判断奇偶性等有否先求定义域？6.对解答题是否能“大题小做”？是否利用前面小题的结论？步骤是否简洁、规范？
关键词：高中数学；高考；复习；学习
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）23-041-01
高中数学对于很多同学来说都是一个十分头疼的科目，有些同学无论多么努力都不能够在高中数学科目上面取得理想的成绩。因为高三的时间本来就很紧迫，同学们为了高考艰苦奋斗，奈何高中数学是久攻不破，最后很多同学只好缴械投降，干脆放弃高中数学的学习，将时间和精力全部都用到其他的科目上面。
其实这些缴械投降的同学们在高中数学上面已经下了很多功夫，但就是不能取得应有的成绩，到底是什么原因？在学校中不乏那些在高中数学上面花费的时间很少，但是成绩却非常好的同学们，难道是这些学生的智力高于其他人？其实未必吧。这些同学的成绩之所以好过其他人，应该是他们找到了自己的学习方法。
学习方法对于同学们的学习来说是十分重要的。好的学习方法可以让同学们事半功倍，而坏的学习方法只能够让学生们事倍功半。只是在浪费同学们的学习时间，所以找对自己的学习方法对于同学们来说十分重要。
一、复习要掌握方法，好的复习才能够获得好的成绩
1、课后及时复习
每天课后，同学们要及时进行复习，将课上老师所传授的知识点进行总结和概括，仔细回想老师传授的重点。阅读书本，仔细的看书本中的知识点，将书本中的内容吃透，弄懂，另外还要整理出自己的笔记，好的笔记对于同学们的学习和复习都是十分有益的。
2、单元总体复习
每个单元学习完后，同学们要做好单元复习。整理、串联这一个单元所学习的知识点，形成单元的理论体系，构建出自己的知识点网络。归纳单元理论，这个单元主要学习的数学理论，数学思想和学习方法，达到更高层面的理解。筛选这个单元中的典型例题和习题，做好笔记，做一套单元的试卷，总结出自己的疑点，将不会的地方弄懂，如果自己思考不出解题方法或是没有解题思路的话，及时和老师沟通。
3、考前总复习和考后总结
考前复习和考后总结对于同学们来说十分关键，但是很多同学都找不到正确的方法，考前没有合适的复习，只是一味地做题，记题型。这样没有套路的复习根本没有效率，只能是让同学们偶尔碰到运气，遇到刚刚做过的题，侥幸获得一次好成绩。正确的复习应该要整理出知识体系，对知识点进行系统全面的复习，不要丢三落四。争取在考试中做对会做的，能够联想出不会做的解题思路，尽可能的在试卷上面答题。考前的复习很重要，同学们通过考前复习要能够发现知识点之间的内在联系，做到自主学习，弄懂理解知识点。
考后总结也十分重要，同学们在考试之后一定要做好总结。可以专门准备一个本子，做错题的收集。刚开始时同学们的错题可能有一大堆，但是在整理一些之后，同学们就会发现错题是越来越少，到最后基本上是没有了。而数学成绩也会较大提高。错题本可以让同学们总结做错的题。在进行总结的时候，同学们一定要能够将做错的题再仔细地做一遍，做到真正的弄懂，这样错题本才没有失去意义。这个错题本对于高三的学生来说更为关键，要参加高考的同学们一定心中十分慌乱，如果能拥有一个错题本，本上面积累了自己曾经做错的很多题目，这对于同学们数学成绩的提高很有帮助。
二、认清自我，认清学习状态
1、心理素质
同学们即将面临高考。高考是对同学们多年以来学习的一次大检验。其中考察的不仅是同学们的学习成绩，还有同学们的心理素质。在平常考试中同学们要积极勇敢的面对挫折，冷静分析问题，找出克服困难和走出困境的方法。一个好的心态对于同学们来说是十分重要的。积极的心态可以让同学们在挫折之中不后退，不畏惧，勇往直前。而很多同学在高中数学的学习中都没有这样积极的心态。有的同学在多次考试失利后，只会更加的消极，畏惧数学，缺乏自信，不相信自己可以学好数学，这都是十分可怕的心理。因为害怕，同学们对数学也就失去兴趣了，这样也就更加不能学好数学了。所以同学们一定要拥有一个积极向上乐观的心态。
2、了解自己的学习方式和学习习惯
习惯决定命运，这是一位名人流传千古的名言。而学习习惯决定学习成绩，这同样也是真理。好的学习习惯可以让同学们战无不胜攻无不克，在任何一个学科上面都能够获得优异的成绩，而坏的学习习惯只能让同学们丧失学习动力，失去学习兴趣，不能收获好的成绩。所以同学们一定要拥有好的学习习惯。高中数学的学习需要同学们积极主动地进行探索，不要过分依赖老师。同学们要结合自身实际的情况，结合老师的授课进度，制定自己的学习计划，不能够完全依赖于老师的授课。课上要有效率。不能够顾此失彼，因为没有做好预习，就在老师讲课的时候看书，或者是盲目地做笔记，完全没有弄懂老师所传授的内容，忽视了真正的听课任务，顾此失彼，完全是处于被动学习的状态。
————100以内数的认识(二)
内容：教科书6—9页
教学目标：
1、在能读写100以内数的基础上对数的读写规则进行概括。
2、 在将现实问题转化为数学问题（天上的鸟多还是冰上的鸟多，实际上是求47大还是32大） ，并经历用数学符号表示数的大小关系（数学思考、数感）的过程中，正确进行100以内数的大小比较（知识）。
3、感受数学与日常生活的密切联系，体验学习数学的作用。
学生知识经验分析：
20以内数的大小比较是100以内数的大小比较的知识基础。
100以内数的读写是学生在生活中积累的经验。
重难点关键分析：
本节课重点使学生学会将现实问题转化成数学问题来解决，体会数学在人们生活中的作用。100以内数的大小比较的方法的掌握以及用符号来表示是本节课的难点和关键。
教学设计：
（一） 创设情境，提出问题
师：上一节课我们随着小科学家们来到南极参观考察，这一节课继续我们的南极之行好吗？。
出示情境图（把文字遮盖），学生独立观察情境图。
师：说说你看到了什么？
师：根据这些信息你能提出哪些数学问题？
引导提出以下问题：天上有多少只海鸥？冰上有多少只海鸥？一共有多少只海豹？左边有多少只企鹅？右边有多少只企鹅？天上的海鸥多还是冰上的海鸥多？或天上的海鸥比冰上的海鸥多多少？左边的企鹅比右边的企鹅多多少？
师：同学们提的问题可真多，这些问题正好是小科学家想知道的，我们来帮他们解决吧！
（二） 合作探究 解决问题
1、估数、数数
师：大家都很想知道海鸥、海豹、企鹅的只数，现在就请大家来估计一下，它们各有多少只？
学生独立思考后，说出估计数，并简单说说是怎样估计的。
师：为了得到准确的数据，靠估计是不行的，我们还是要认真的数一数才行。
教师引导学生用喜欢的方法数出天上的海鸥（四十七只）、冰上的海鸥（三十二只）、海豹（二十五只）企鹅（三十九只）、数并在情境图上出示（用大写）。
2、写数、读数
（1）师：对于这次南极考察，这可都是重要的数据，赶紧帮小科学家记下来吧！
找一名学生写在黑板上，其余写在练习本上，共同订正时，可以纠正一下写法。
（2）请板演同学读出写的数，评价后全体同学齐读。
在计数器上拨出以上各数。按老师要求一个数一个数拨出，注意订正反馈，每拨完一个数就大声读出来。
3、概括读写法则
师：（指板书）这些数同学们既会读又会写，真了不起，那你发现我们在读数和写数时有什么规律吗？
小组讨论，可以让学生在计数器上拨数，先读出，再写出，然后总结。（学生可能会答读写都是从左向右，也可能答先读写十位上的数，再读写个位上的数，）先肯定学生以上的说法，然后用计数器演示使学生明白，左边这一位是十位，十位上一个珠子表示“十”；右边这一位是个位，1个珠子表示“1”，左边这一位十位对于个位来说就叫“高位”）。所以我们读写时都是从高位起。
4、数的大小比较
（1）师：小科学家们还想弄清是天上的海鸥多还是冰上的海鸥多？是企鹅多还是海豹多？大家还能帮助解决吗？
学生独立思考后回答。
师：你是怎么知道的？
学生可能回答：47比32大，所以天上的海鸥比冰上的海鸥多。39比25大，所以企鹅比海豹多。
师：噢！只要比一比这两个数的大小就知道谁多谁少了。
教师板书47和32 25和39
（2）师：那你又是怎样比较47和32的大小的呢？
学生独立思考后回答。学生答案可能为：47比40大，以40为支点比较说明，32比40小，32不够40，加上一些才够，所以47大，32小。
以数的组成说明：47比4个十要多，32不够4个十。
可能根据数的顺序来比较：47排在32后面，所以47比32大。
对以上说法，都给予肯定表扬。并用同样的方法比较25和39的大小。
（3）师：怎样用符号把47和32连接起来，还能看出哪个数大哪个数小？
引导学生用“＞”和“＜”连接。教师板书：
47＞32 32＜47
师：你能用符号连接25和39吗？
学生回答后，教师板书：
25＜39 39＞25
（5）拓展延伸
师：（指板书）能否写出几个这样的式子？
学生口述，教师板书。
师：（指板书）仔细观察，看能发现什么？
引导学生用语言简单总结大小比较的规律。
（三） 自主练习
1、做课本第1题写出计数器上表示的数，并读一读。
先让让学生表述出计数器每个数位上珠子的个数。独立填写，汇报答案。共同订正时注意纠正学生出现的错误，最后把所填数读出来。
2、做课本第3题填一填，比一比。
先表述出计数器每个数位上的珠子数，然后写出每个计数器上表示的数，比较出数的大小，最后填上“＞或＜”。
（四） 概括总结及评价
师：这一节课你有哪些收获？
引导学生梳理一下本节课所学知识。
关键词：考试 讲评 注意 问题
在教学活动中，考后的讲评工作作为教师工作的一个组成部分，是提高教学质量的不可缺少的一个重要环节，对于澄清学生的模糊观念、校正错误、提高分析问题的能力以及查缺补漏、激发求知欲，起着不可低估的作用。甚至可以说，考后讲评比考试本身更有意义。如何做好考后的讲评工作，考后讲评应注意哪些问题，笔者谈一点粗浅的看法。
1. 认真阅卷，掌握第一手材料
试卷讲评最重要的是做到对症下药、有的放矢，最忌讳的是教师从头到尾将试题讲解一遍，教师一题一题报答案，学生一题一题对答案、抄答案。如何对症下药？首先要找到“症结”，掌握第一手材料。这就要求教师必须认真阅卷，并在阅卷中有选择、有重点地将卷面情况，如一些典型性、普遍性的错误，学生中普遍存在的审题不清、概念模糊造成的失分较多的题目记录下来，以备课堂讲解、纠正和提高。最好是列举典型问题，师生共同分析得分点、扣分点，目的就是让学生能动脑，拓宽思路多方寻找答案。当然也只有在认真阅卷、掌握第一手材料的基础上，教师在讲评中才能胸有成竹，才能真正解决问题，提高考试效果，考试后做出试卷答案。教师自己仅看看分数，就草草去讲评的做法是不足取的。
2. 讲评要有启发性，注重复习与运用知识
试卷讲评，不应仅仅局限于帮助学生把个别错误答案纠正过来，而且应善于通过对某一问题的分析，使与此相关的一块或一片知识得到复习巩固和提高，通过讲评更好地发挥数学习题的“教学功能”和“发展功能”。所以教师在讲评试卷时要注意知识的横向和纵向的联系，注意区别容易混淆的问题，要根据学生答题的实际情况，精心设计、巧妙提问、恰当引导、耐心启发，让学生通过独立认真的思考获取知识和方法。例如，对y= 型的函数值域的求法，是一道解法比较灵活的题目，虽然解决此类问题的方法很多，但学生得分率还是很低，其关键是学生对解决此类问题思路方法没有真正的理解和掌握。我在讲评“求函数y= 的值域”一题时，先与学生共同分析解析式的结构特点，寻找解决问题的有效途径，经过教师的指导与点拨，学生们发现可以通过三种途径解决此题：一是通过恒等变形，将原式化为Asinx+Bcosx=C的形式，再利用弦函数的有界性来求解；二是根据题目解析式的结构特点以及直线的斜率公式，采用数形结合的方法，将问题转化为两点连线的斜率来确定最值；三是利用三角中的万能公式将问题转化为关于tan 的二次方程，再利用判别式求解。通过这样的师生互动使学生积极思考，变被动为主动，培养了学生认真思考的习惯，更重要的是通过一道三角函数的最值问题的讨论，学生对数学中三角变换、三角函数的性质及化归与转化、数形结合、函数与方程等教育思想都进行了有针对性的复习，从而达到举一反
三、讲解一题复习一片的目的。
3. 讲评要有重点，注重学法和解法指导
试卷讲评课与其他课型一样，同样要有目的、有步骤、有重点，注意提高针对性和实效性，切忌面面俱到。一份考卷不仅要将知识点分散考查。如果采取逐题讲评的方式，学生思维跳跃频繁，同类知识重复出现，势必造成学生的厌倦情绪，难以达到预期效果，因此教师应按试卷考查的知识点和数学思想方法，根据学生的“常见病”和“多发病”适当进行归类讲评，针对学生的实际情况和反馈的信息，区分好普遍性和倾向性问题，抓住问题的症结，突破热点和难点。可以采取如下方法进行讲评：
(1) 抓“通病”与典型错误
数学中常见到涉及函数的图象问题，这是学生比较薄弱的一个环节。函数图象的作法、函数图象的变换、函数图象的应用，都是近几年高考的热点。很多学生都会产生错误，原因就在于对反函数的概念和函数的图象的基本变换没有掌握，理解不到位。因此对这类问题就要在讲评试卷时认真分析错误的原因，帮助学生纠正偏差，使学生掌握正确的思考方法和解题方法。
（2） 抓“通法”与典型思路
数学中有很多问题是考查基础知识和基本技能的，解题也有“通法”和“特法”之分，根据高考的知识能力要求，学生要熟练掌握解决某些问题的“通法”。因此，在讲评试卷时要注意向学生介绍解决一类问题的基本方法，也就是我们所说“通法”，讲清楚一些题型的解题思路，使学生真正理解和掌握数学的思想方法。例如：“已知两等差数列
实现转化，从而解决问题。通过这一题的讲解，使学生学会灵活运用等差数列的公式和性质，有效地进行转化，使问题得到解决。
4. 讲评要有激励性，注重反思和总结的引导
一堂好的讲评课，首先应发现和肯定学生的成绩规律和表扬学生的进步，以期使学生处于爱学数学的最佳状态，激发学生的学习积极性。一位德国教育家说过：“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。”所以考试后的讲评要注意肯定和激励，特别是对学困生，更要因人而异，要从解题思路、运算过程、运算结果和书写格式上细心寻找他们的“闪光点”，并给予充分的表扬和肯定，使他们感到自己已有进步，从而增强他们的上进心。总之，通过讲评，要充分调动学生学习数学的情感、意志、兴趣、爱好等多方面的积极因素，促进智力因素与非智力因素的协调发展，以提高数学教学质量。
通过一节讲评课，研究了哪些问题，用了哪些数学思想方法，应及时引导学生回顾与反思，进行总结，纳入知识系统，做到纠正一例，预防一片；讲评一法，会解一类。教师要在讲评后有针对性地布置作业，让学生巩固和练习，使学生牢固地掌握所学知识；同时要求每一个学生准备一个纠错记录本，将平时作业、试卷中出现的错误记载下来，并进行订正。这样，日积月累的每一本纠错本，就是一个学生的高考兵法，考前复习时再回顾以前易出错的问题，就能做到有的放矢，收到成效。实践表明，引导学生反思与总结不仅能有效地纠错、防错，而且对于升学学生的解题能力有事半功倍之效。
关键词：目标；教学；案例
教学内容：人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级上册第10页—11页“相反数”.
教学目标：
1． 知识与技能：借助数轴理解相反数的概念，会求一个数的相反数，会用相反数的定义进行化简．
2． 过程与方法：培养学生分类讨论和数形结合的思想，提高观察、归纳与概括的能力．
3． 情感态度价值观：培养学生严谨的治学态度并初步感受数学文化的教育价值，认识对立统一的规律．
教学重点、难点：
重点：了解相反数的意义．
难点：多重符号的化简．
教学过程实录：
创设情境，导入新课
师生互动：教师请两位学生到讲台的课桌前，背靠背站好（分左右）后，听教师口令：“向前走两步”，并立正．
教师：同学们，现在我们规定向右为正（正号可以省略），那么向右走2步，向左走2步各记作什么？
学生：向右走2步记作2步；向左走2步记作-2步．
教师：同学们，现在我们规定两个同学未走时的点为原点，那么，能否用上一节课所学的知识（数轴）将上述问题情境中的2和-2表示出来？
学生：画数轴，在数轴上标出表示2和-2的点．
教师：多媒体展示图1并问：从数轴上观察，这两位同学各走的距离都是2步，但方向相反，可用2和-2表示，这两个数具有哪些意义？
学生1：2和-2这两个数具有相反意义．
教师：回答很好． 还有其他说法吗？
学生2：2和-2的数字相同（都是2），但性质符号不同．
学生3：2和-2这两个数表示距原点都是两个单位（距离相等）．
教师：在代数中，把具有上述特点的两个数称为互为相反数，今天我们就来学习相反数的概念．
教师板书课题：“相反数”．
评析：本节课的导入，教师通过生动有趣的情景互动和引导学生借助数轴的直观性，抓住了学生的注意力，激发了学生的学习兴趣． 学生在教师的引导下将实际问题数学化，体会出2和-2这两个数互为相反数的意义，感受到数学与生活密切相关，在轻松愉悦的活动中获得了知识，从感性上初步感知互为相反数的意义．
启发思考，学习新课
1． 互为相反数的概念的引出
教师：画一数轴如图2所示，请学生观察、讨论并回答：
图2
（1）在数轴上分别与1，－3，5到原点距离相等的点是哪些？
（2）在数轴上与原点距离都为1，3，5的点有几个？
（3）利用数轴说出与原点距离相等的点的两个数的位置特征和符号特征．
学生：利用已画出数轴，先描点，然后观察、讨论上述问题．
教师：巡视学生学习情况并及时对个别学生进行辅导．
教师：抽学生回答上述两个问题．
学生1：在数轴上与1，－3 ，5到原点距离相等的点分别是－1，3，－5．
图2
教师：板书并在数轴上标出到原点与1，－3 ，5距离相等的点．
学生2：在数轴上与原点距离相等的点有2个．它们表示的数分别是：1和－1，－3和3，5和－5．
学生3：这些点在数轴上的位置特征分别是：
①在原点的两旁；
②到原点的距离相等，
③关于原点对称．
学生4：1和－1，3和－3，5和－5这些数中每一对数的特点是数字相同，符号不同．
教师：根据上面对“1和－1”、“3和－3”、“5和－5”这三对数的特征的理解，怎样给相反数下一个定义？
众生：像1和－1、3和－3、5和－5这样只有符号不同的两个数叫做互为相反数
教师：板书（略）并强调“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除了符号不同以外，其他的完全相同．不能理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数，比如－3和2就不是相反数．
评析：在演示活动后，已出现了2、－2这两个数，教师及时阐明它们就是互为相反的两个数，这时不急于总结互为相反数的概念，而是提供了一个让学生经历利用数轴找一组互为相反数的两个数，先观察这两个数在数轴上的位置关系，再观察这两个数本身的特点，更形象直观地引导学生理性得出相反数的概念和培养学生严谨的治学态度，有效地落实了情感态度价值观的教学目标．
互为相反数的概念的理解
教师：（出示投影）请学生思考后解答下面的问题：
（1）根据相反数的意义，判断下列语句的正误，并说明理由．
①的相反数是（ ）
②和互为相反数（ ）
③0既非正数也非负数，所以它没有相反数（ ）．
师生活动：学生思考后并回答上述问题，教师讲评（过程略）．
评析：根据学生判断的结果加深对一个正（负）数都对应一个负（正）数，这两个数互为相反数中“互为”两字的理解，同时明确“0的相反数仍是0”，这也是相反数定义的一部分．
（2）解答下列问题：
①在前面画的数轴上任意标出4个数，并标出它们的相反数；
②分别说出9，－7，－0.2的相反数．
③指出－2.4，－1.7，1各是什么数的相反数？
④0的相反数是什么？
⑤a的相反数是什么？
师生活动：学生分成许多小组后，讨论解答上述题目，并选代表准备回答教师的检查提问． 教师巡视学生分组学习情况和提问，讲评（此过程略）．
评析：通过此组题目的解答，使学生再一次感知相反数的意义． ①题注意培养学生运用数形结合的方法理解相反数的概念，让学生深知：数轴上，在原点两旁，离开原点相等距离的两个点所表示的两个数互为相反数；②③④题是对相反数的概念的直接运用，由特殊的数到一般的字母，紧扣“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”这一概念． 最后得出结论“a的相反数是－a”． 这一环节使“理解相反数的概念”这一教学目标得到落实．
教师强调：“a的相反数是－a”还可说成“a和－a互为相反数”， “a”可表示任意数（正数、负数、0），求一个数的相反数就是在这个数前加一个“－”号．
教师问：把a分别换成＋5，－7，0时，这些数的相反数怎样表示？
学生思考后答：求任意一个数的相反数可以在这个数前加一个“－”号，即：＋5的相反数表示为－（+5），－7的相反数表示为－（－7），0的相反数是－0．
教师再提出问题：在一个数的前面加上“－”号表示这个数的相反数，那么－（＋1.1）表示什么意思？－（－7），－（－9.8）呢？它们的结果应是多少？
学生活动：讨论、分析、思考后回答：
学生1：－（＋1.1）表示＋1.1的相反数，结果是－1.1．
学生2：－（－7）表示－7的相反数，结果是+7．
学生3：－（－9.8）表示－9.8的相反数，结果是+9.8．
教师引导：在一个数前面加上“－”号表示这个数的相反数，如果在这些数前面加上“＋”号呢？
学生思考后回答：在一个数前面加上“＋”仍表示这个数，因为“＋”号可省略．
教师：通过前面的学习交流，我们基本了解了相反数的有关概念，请同学们思考后用自己的话说出相反数的意义？
学生1：相反数是指只有符号不同的两个数．
学生2：互为相反数的两个点到原点的距离相等．
学生3：还有在数轴上，互为相反数（0除外）的两个点位于原点的两旁，并且关于原点对称．
教师：同学们说得很好，对于相反数的概念理解得十分深刻． 怎样确定一个数的相反数呢？
学生4：由正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0来确定．
学生5：在一个数的前面添一个负号就能确定这个数的相反数．
评析：通过此环节，加深了对相反数概念的理解，学生在愉悦的课堂气氛中感悟学习数学的美好境界． 既体现了知识与技能、过程与方法目标的落实，又渗透情感态度价值观教学目标．
例题交流、总结方法
例1 求5、－4.5、的相反数．
教师：请几名学生根据相反数的意义到黑板上求出例题1这几个数的相反数． （学生解题过程略）
教师讲评后强调：求一个数的相反数，可以在这个数的前面添一个“一”号． 如－5的相反数可表示为－（－5），我们知道－5的相反数是5，所以－（－5）=5．
例2 化简：①+（+3），②+（－3），③－（+2．7），④－－，⑤-［-（-9）］ ．
教师：让学生先在练习本上试着做一做，指名学生说说化简的理由（学生答，教师板书过程略）．
评析：由于利用相反数的概念化简符号是这节课的难点．在例题的教学中，教师在讲评时紧紧抓住学生的心理及时提问：“既然a的相反数是－a，那么例1中的各数的相反数怎样表示呢？”在学生理解表示一个数的相反数的一般方法后，再引导学生由一般到特殊的思维得出例2各小题的结果，抓住了关键，突破了难点．
尝试练习，巩固提高
1． 填空
－（－2.8）=________；?摇+（－7）=________；
－（+3.4）的相反数是________；－（－2.6）是________的相反数；相反数等于本身的数是________．
2． 根据a+（－a）=0，由（－8）+x=0，可得x=________；由y+3.75=0可得y=________．
学生解答，教师讲评略．
总结经验，评价所学
教师：通过这节课的学习，你们对相反数的意义理解了些什么？还有什么缺憾？评价一下自己这节课的学习情况．
一部学生谈自己对相反数的意义的理解和这一节课的收获． 然后大家共同分享成功（略）．
教师：作业（略）
综述：本节课的教学内容对学生来说并不缺乏认识基础，学生已经掌握正数、负数和数轴的有关知识，如何借助数轴理解互为相反数的意义，具体地说，就是要解决这样两个层次：什么样的数叫互为相反数？怎样确定一个数的相反数？本节课紧紧围绕借助数轴理解互为相反数的意义这一教学目标，以教学生如何分析问题为突破口，以提升学生归纳能力为重点，以让学生形成积极探求新知的欲望为情感目标，成功设计出层层递进的“问题链”，用问题激活学生思维，用问题推进教学进程，用问题引导学生探究，最终以问题的解决落实教学目标．
