高等数学中极限思政教学研究

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人类文明从生产力的角度可以分为以锄头为代表的农耕文明、以大机器流水线作业为代表的工业文明、以计算机为代表的信息文明.数学在这三次文明中发挥的都是深层次的动力，其作用一次比一次明显.数学可以锻炼人们的思维，其抽象性利于人们抓住事物的本质.伟大导师马克思在完成《资本论》的撰写中也有用到数学知识，从１９世纪４０年代中期到６０年代初期，为了推动政治经济学原理的研究，避免计算的错误对研究进展的阻碍，马克思重新系统地复习了初等数学，并且从初等数学发展史的角度展开了探讨.在此期间，马克思在他的笔记本中，做了大量的关于初等数学的札记并对代数加以练习、演算，为研究初等数学打下了牢固的基础.《马克思数学草稿》的第七章详细记载了马克思关于初等数学的札记.并且后面他又深入地研究了函数、微分、泰勒定理、曲边形面积等问题，尤其是对微分的历史发展过程及其本质特征做了详尽地考察［１］.

数学家克莱因说过，课本中字斟句酌的叙述，未能表现出创造过程中的斗争、挫折，以及在建立一个可观的结构之前，数学家所经历的艰苦漫长的道路，学生一旦认识到这一点，他将不仅获得真知灼见，还将获得顽强地追究他所攻的问题的勇气，并且不会因为自己的工作并非完美无缺而感到颓丧，实在说，叙述数学家如何跌跤，如何在迷雾中摸索前进，并且如何零零碎碎地得到他们的成果，应使研究工作的任一新手鼓起勇气.因此我们在教学中适当地增加数学史的介绍，会使学生感受到数学的魅力，起到事半功倍的效果.有位数学家说过，数学能唤起热情而抑制急躁，净化灵魂而使之杜绝偏见与错误.恶习乃是错误、混乱和虚伪的根源，所有的真理都与此抗衡，而数学真理更有益于青年人摒弃恶习.数学教学中我们也希望通过加入一些思政元素，达到润物细无声的教育效果.极限的学习是高等数学入门必修之路，但极限对学生来讲并非是初学，那我们大学中教学与中学的区别在哪里？让学生达到什么学习程度？如何为后续的学习做好铺垫打好基础呢？教学的逻辑安排是什么样的？带着这样的疑问，我们必修挖掘数学史中的有关极限的内容，并试图加入思政元素，打通学生通往高数学习大门的壁垒，让他们能够坚持不懈地学习下去.

一、极限实际上是在导数出现之后才逐渐完

善起来的———一项事业的发展需要前前后后无数人的贡献和努力

１．中国历史上的极限思想

首先是割圆术求解圆周率的方法.３世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.第二个是截丈问题，出自《庄子天下篇》，是由庄子提出的：一尺之捶，日取其半，万世不竭.这两个案例的极限，以及其它一些简单数列的极限，是通过观察得到的，那么要问，观察到的是否就一定是它们的极限呢？结论可靠吗？如何科学地证明呢？

２．第二次数学危机促使极限的发展和完善［２］

历史上微积分的诞生产生了第二次数学危机，危机的解决是柯西等人完善了极限.下面举例说明，一个小球做自由落体运动，我们已知其位移是ｓ＝１２ｇｔ２，我们想求小球在任意时刻ｔ０的瞬时速度ｖｔ０，牛顿等物理学家的办法是，先让小球飞一会，经过Δｔ时间，大家知道Δｔ越小，平均速度越接近ｔ０的瞬时速度ｖｔ０，然后令Δｔ＝０，结果得到ｔ０的瞬时速度ｖｔ０＝ｇｔ０，这样的处理对于求得结果是有帮助的，但是在数学逻辑上就讲不通了，因为Δｔ作为分母是不能为０的.这就是第二次数学危机，这次危机的化解促进了数学家对极限理论的研究，出现了柯西、维尔斯特拉斯等一批数学家创立了极限的定义.同时我们也会教育学生，书本上的内容有时候更多地是以知识的逻辑过程为排列原则的，实际上有些东西先讲，但诞生完善却晚于后篇章的知识点，课本上并没有体现出来其历史过程，所以我们在教学中以数学史为切入点，从历史的角度分析知识点发现完善的过程，让学生感受到数学家的工作历程有利于培养其学习兴趣，激发学习动机.

二、无穷小量和代表虚无的零密切相关———要用历史的眼光看待事物

无穷小量的定义如下：在某个过程中，以０为极限的变量叫做无穷小量.这一点要和负无穷大量进行区别，我们知道数轴上的点越往左边走代表的数字越小，当往左边无穷远处走时，实际上代表的数字是非常非常小的，教学中发现学生很容易将无穷小量直观理解为很小很小的数，因此认为无穷小量是数轴左边无穷远处代表的负无穷大量.这在教学中提醒我们，无穷小量概念的提出应该是有一定的历史原因的.通过观看由ＢＢＣ拍摄的纪录片《数学的故事———神奇的东方数学》，知道了阿拉伯数字是由印度人发明的，但起初只有１到９这９个数字，０是后面才发明的，据说印度人喜欢冥想，当沙地上的石子被拿走后，地上就留下了一个小窝坑，这代表着没有了、代表着虚无，所以直到公元９世纪，０才被发现，０代表着虚无、没有.如此一来，无穷小量的本身的含义也是在某个过程中越来越接近于虚无，接近于没有的变量，因此人们把在某个过程中以０为极限的变量叫做无穷小量.通过给学生看视频介绍资料，学生比较好的理解了无穷小量的定义，并且能够区分无穷大量和无穷小量了.这个知识点提示我们要注意研究细枝末节的问题，注意从学生的角度看待知识点，学生容易混淆的地方肯定有其原因存在的，并不能填鸭式的直接教给学生，而是要去研究知识点的来龙去脉，以达到更好的教学效果.

三、讲好数学故事，与学生专业相结合，提高教学效果

１．有关知识点的数学故事会提高学习兴趣

比如求极限的很重要的方法洛必达法则实际上是洛必达的老师约翰.伯努利发现的.在学习导数的应用时我们都会介绍一个非常好用的求极限的方法－洛必达法则，这里我们可以跟学生讲一下洛必达法则的历史故事［３］：法国数学家洛必达，１６６１年出生于法国的贵族家庭，１７０４年卒于巴黎.１６９１年秋天，约翰·伯努利到达巴黎见到了洛必达，并为其讲授微积分，二人成为亲密的朋友，建立了长达数十年之久的通信联系.约翰提出了现在微积分中的一个著名定理，它是用导数求一个分式当分子和分母都趋于零（或无穷大）时的极限的.这个定理是由洛必达在１６９６年编写的一本非常有影响的微积分教材《无穷小分析》中引入的，后称为洛必达法则.这个故事跟阿拉伯数字的来历差不多，学生会很快记住这个定理，也能认识到这个定理的重要性.

２.结合学生的专业知识引入极限的知识点，可以提高学生学习兴趣，感受前人探索过程，备受鼓舞

在给心理学专业的同学讲极限时，我总会引入艾宾浩斯遗忘曲线［４］，我会问学生艾宾浩斯遗忘曲线是如何得到的？反映了一个什么样的遗忘规律？随着时间的推移，人们会遗忘掉所有东西吗？也就是说随着时间轴无限增大，人们记忆的数量是趋向于０还是其它？通过这个遗忘曲线的研究，一方面让学生了解了数学在心理学中的应用：即保持和遗忘是时间的函数，另一方面让学生直观感受到了当自变量趋向于无穷大时函数的极限是否存在，有的话是多少等等.减少了抽象的讲解，多了具体的参照.在给药学等专业的学生讲解极限时，我会引入药时曲线［５］，即吃药后血药浓度的变化曲线，一般来说大家都会直观地感受到随着时间的推移，药物残留会趋向于０，但在此过程中，残留的药物对人体会造成什么样的影响？是不是趋向于０就不需要在意药物残留了呢？在这个教学过程中学生会参与讨论，用自己专业的知识去解释药时曲线，这时候药时曲线就变得立体起来，生动无比.总之，极限的思想方法作为人类发现数学问题并解决数学问题的一种重要手段，它解决了一次数学危机，巩固了微积分的发展，并在将来，随着科学技术的发展，必将发挥更大的作用.本文抛砖引玉，如果各位同行能在不同的专业教学中找到合适的思政元素结合点的话，也将会起到事半功倍的教学效果.

参考文献

［１］张雪琴．当马克思遇上数学，

［２］莫绍揆．数学三次危机与数理逻辑［Ｊ］．自然杂志．１９８０，（０６）：４０３４０９．

［３］崔艳．高等数学“故事教学”探析［Ｊ］．科教文汇，２０１４，（１０）：４２４４．

［４］艾宾浩斯著．记忆的奥秘［Ｍ］．王迪菲编译．北京：北京理工大学出版社，２０１３．

［５］周永治，严云良．医药高等数学［Ｍ］．４版．北京：科学技术出版社，２０１０．

［６］周钢．在一元函数微积分教学中融入经济专业知识的探索［Ｊ］．中国科教创新导刊，２０１０，（３２）：９０．

作者:易颖 单位:广州中医药大学 公共卫生与管理学院